Aqui, mostramos 26 exemplos de aplicações que NÃO são lineares, destacando as funções reais definidas por s(x)=sen(x), c(x)=cos(x), e(x)=exp(x) e l(x)=log(x). Observamos ainda, a não linearidade da função modular, apesar de valer a importantíssima desigualdade triangular |x+y|<|x|+|y| reforçando que nem sempre vale a igualdade |x+y|=|x|+|y|. Encerramos este módulo, mostrando a não linearidade da função determinante. Em todos os exercícios abaixo, mostrar que NÃO são lineares as aplicações apresentadas nos respectivos domínios de definição indicados

  1. F:R toR definida por F(x)=ax+b, onde a neq0 e b neq0.

    1. F(x+y) = a(x+y)+b = ax+ay+b

    2. F(x)+F(y) = (ax+b)+(ay+b) = ax+ay+2b

    Em geral, tem-se que F(kx) neqk F(x), pois,

    1. F(kx) = a(kx)+b = akx+b

    2. k F(x) = k(ax+b) = kax+kb

  2. F:R toR definida por F(x)=ax²+bx+c, onde a neq0 e c neq0.

    Basta mostrar que F(0)=c neq0.

  3. F:R² toR definida por F(x,y)=2x+3y+4.

    Basta verificar que F(0)=4.

  4. F:R² toR definida por F(x,y)=ax+by+c (c neq0).

    Basta verificar que F(0)=c.

  5. F:R² toR definida por F(x,y)=xy.

    Para u=(x1,y1) inR² e v=(x2,y2) inR², segue que:

    F(u+v) = F((x1,y1)+(x2,y2)) = F(x1+x2,y1+y2)
      = (x1+x2)(y1+y2) = x1y1+x1y2+x2y1+x2y2
      neq x1y1 + x2y2 = F(x1,y1)+F(x2,y2) = F(u)+F(v)
  6. F:R² toR definida por F(x,y)=ax²+2bxy+cy².

    A multiplicação por escalar não é satisfeita. Realmente

    F(kx,ky) = a(kx)²+2b(kx)(ky)+c(ky)²
      = k²(ax²+2bxy+cy²) = k² F(x,y)
      neq k F(x,y)
  7. F:R² toR² definida por F(x,y)=(ax+by+c,dx+ey+f) sendo c neq0 ou f neq0.

    Basta verificar que F(0,0)=(c,f) neq(0,0).

  8. F:R² toR² definida por F(x,y)=(ax²,by).

    Se u=(c,d) inR² e v=(m,n) inR², então

    F(u+v) = F((c,d)+(m, n)) = F(c+m,d+n)
      = (a(c+m)²,b(d+n)) = (a(c²+2cm+m²),b(d+n))
      = (ac²+2acm+am²,bd+bn)
      neq (ac²,bd) + (am²,bn) = F(c,d)+F(m,n)) = F(u)+F(v)
  9. F:R² toR² definida por F(x,y)=(ax²,by²).

    Se u=(c,d) inR² e v=(m,n) inR², então:

    F(u+v) = F((c,d)+(m,n)) = F(c+m,d+n)
      = (a(c+m)²,b(d+n)²)
      = (a(c²+2cm+m²),b(d²+2dn+n²))
      = (ac²+2acm+am²,bd²+2bdn+bn²)
      neq (ac²,bd²)+(am²,bn²) = F(c,d)+F(m,n) = F(u)+F(v)
  10. F:R²toR² definida por F(x,y)=(axy,by).

    Para w=(x,y) inR², segue que k F(w) = k(axy,by) mas

    F(kw) = F(kx,ky) = (a(kx)(ky),b(ky)) = (akx ky,bky) = k(axyk,by)
  11. F:R² toR² definida por F(x,y)=(ax,bxy).

    Se w=(x,y) inR² então kF(w)=k(ax,bxy) mas

    F(kw) = F(kx,ky) = (a(kx), b(kx)(ky)) = (akx,bkxky) = k(ax,bxyk)
  12. F:R² toR² definida por F(x,y)=(axy,bxy).

    Se w=(x,y) inR² então kF(w)=k(axy,bxy) mas

    F(kw)=F(kx,ky)=(akxky, bkxky)=(a kx ky, b kx ky)=k²(axy,bxy)
  13. F:R² toR³ definida por F(x,y)=(x+y,1,3).

    Realmente, F(0,0)=(0,1,3) neq(0,0,0).

  14. F:R² toR³ definida por F(x,y)=(ay,bx,c) com cneq0.

    De fato, F(0,0)=(0,0,c) neq(0,0,0).

  15. F:R² toR³ definida por F(x,y)=(ax+by,c,d) com c.d neq0.

    F(0,0)=(0,c,d) neq(0,0,0).

  16. F:R³ toR² definida por F(x,y,z)=(x+y+z,a), sendo a neq0.

    Para u=(x1,y1,z1) inR³, v=(x2,y2,z2) inR³ e w=(x,y,z) inR³, tem-se que

    F(u+v) = F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)) = F(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
      = ((x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2),a)
      = ((x1+y1+z1)+(x2+y2+z2),a)
      neq ((x1+y1+z1),a) + ((x2+y2+z2),a)
      = F(x1,y1,z1)+F(x2,y2,z2) = F(u)+F(v)
  17. F:R³ toR² definida por F(x,y,z)=(a,x+y+z), com aneq0.

    Para u=(x1,y1,z1) inR³, v=(x2,y2,z2) inR³ e w=(x,y,z) in

    F(u+v) = F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)) = F(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
      = (a,((x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2))
      = (a,((x1+y1+z1)+(x2+y2+z2)))
      neq (a,(x1+y1+z1)) +(a,(x2+y2+z2))
      = F(x1,y1,z1)+F(x2,y2,z2) = F(u)+F(v)
  18. F:R³ toR² definida por F(x,y,z)=(a,x²+y+z), onde a neq0.

    Se u=(x1,y1,z1) inR³, v=(x2,y2,z2) inR³ e w=(x,y,z) inR³:

    F(u+v) = F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2))
      = F(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
      = (a,(x1+x2)²+(y1+y2)+(z1+z2))
      = (a,(x1²+2x1x2+x2²)+(y1+y2)+(z1+z2))
      neq (a,x1²+y1+z1) +(a,x2²+y2+z2)
      = F(x1,y1,z1) + F(x2,y2,z2) = F(u) + F(v)
  19. F:R³ toR² definida por F(x,y,z)=(x+1,y+2).

    Se u=(x1,y1,z1) inR³, v=(x2,y2,z2) inR³ e w=(x,y,z) inR³, então

    F(u+v) = F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2))
      = F(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
      = (x1+x2+1,y1+y2+2)
      neq (x1+1,y1+2) + (x2+1,y2+2)
      = F(x1,y1,z1) + F(x2,y2,z2) = F(u) + F(v)
  20. F:R³ toR² definida por F(x,y,z)=(x+a,z+b), com a.b neq0.

    Se u=(x1,y1,z1) inR³, v=(x2,y2,z2) inR³ e w=(x,y,z) inR³, então

    F(u+v) = F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2))
      = F(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
      = (x1+x2+a,z1+z2+b)
      neq (x1+a,z1+b) + (x2+a,z2+b)
      = F(x1,y1,z1) + F(x2,y2,z2) = F(u) + F(v)
  21. F:R³ toR² definida por F(x,y,z)=(ax+by,cx+z+1).

    See u=(x1,y1,z1) inR³, v=(x2,y2,z2) inR³ e w=(x,y,z) inR³, então

    F(u+v) = F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2))
      = F(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
      = (a(x1+x2)+b(y1+y2),c(x1+x2)+(z1+z2+1))
      = ((ax1+a x2)+(by1+by2),(cx1+cx2)+(z1+z2+1))
      neq (ax1+by1,cx1+z1+1) + (ax2+by2,cx2+z2+1))
      = F(x1,y1,z1) + F(x2,y2,z2) = F(u) + F(v)
  22. F:R³toR² definida por F(x,y,z)=(a,b−x−y−z), onde aneq0.

    Se u=(x1,y1,z1) inR³, v=(x2,y2,z2) inR³ e w=(x,y,z) inR³, então:

    F(u+v) = F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2))
      = F(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
      = (a,b−(x1+x2)−(y1+y2)−(z1+z2))
      = (a,b−x1−y1−z1)−(x2+y2+z2))
      neq (a,b−x1−y1−z1) + (a,b−x2−y2−z2)
      = F(x1,y1,z1) + F(x2,y2,z2) = F(u) + F(v)
  23. F:R³ toR² definida por F(x,y,z)=(2x,y−z+a) com aneq0.

    Para u=(x1,y1,z1) inR³, v=(x2,y2,z2) inR³ e w=(x,y,z) inR³, obtemos

    F(u+v) = F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2))
      = F(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
      = (2(x1+x2),(y1+y2)−(z1+z2)+a)
      = (2x1+2x2,y1+y2−z1−z2+a)
      neq (2x1,y1−z1+a) + (2x2,y2−z2+a)
      = F(x1,y1,z1) + F(x2,y2,z2) = F(u)+F(v)
  24. As funções reais definidas por S(x)=sen(x), C(x)=cos(x), E(x)=exp(x) e L(x)=log(x).

    Realmente, para um arbitrário x inR, tem-se que:

    S(2x) = sen(2x) = 2sen(x)cos(x) neq2 sen(x) = 2 S(x)
    C(2x) = cos(2x) = cos²(x)−sen²(x) neq2 cos(x) = 2 C(x)
    E(2x) = exp(2x) = exp(x)exp(x) neq2 exp(x) = 2 E(x)
    L(2x) = log(2x) = log(2)+log(x) neq2 log(x) = 2 L(x)
  25. A função modular F:R toR definida por F(x)=|x|.

    Para quaisquer números reais x e y, vale a importantíssima desigualdade triangular |x+y|<|x|+|y| mas nem sempre vale a igualdade |x+y|=|x|+|y|, assim

    F(x+y) = |x+y| neq|x|+|y| = F(x) + F(y)
  26. M2 é o espaço vetorial de todas as matrizes reais quadradas de ordem 2. A função determinante det: M2 toR definida por:

    det
    a b
    c d
    = ad−bc

    Realmente, se

    u =
    a1 b1
    c1 d1
    inM2    e    v =
    a2 b2
    c2 d2
    inM2

    então

    det(u+v) = det(
    a1 b1
    c1 d1
    +
    a2 b2
    c2 d2
    ) = det(
    a1+a2 b1+b2
    c1+c2 d1+d2
    ) = (a1+a2)(d1+d2)−(b1+b2)(c1+c2)

    ou seja

    det(u+v) = (a1d1−b1c1) + (a2d2−b2c2) + (a1d2+a2d1−b1c2− b2c1)

    que é diferente de

    det(u) + det(v) = det
    a1 b1
    c1 d1
    + det
    a2 b2
    c2 d2
    = (a1d1−b1c1) + (a2d2−b2c2)

Referências bibliográficas

  1. Carl Boyer. História da Matemática, Edgard Blücher, São Paulo. Pag.424-427. 1974.

  2. Howard Eves. Introdução à História da Matemática. 3a. ed. Campinas-SP: Editora da UNICAMP. Pag.552-556. 2002.

Construída por Carolina da Silva Gonçalves e Ulysses Sodré.