Aqui, mostramos 26 exemplos de aplicações que NÃO são lineares, destacando as funções reais definidas por s(x)=sen(x), c(x)=cos(x), e(x)=exp(x) e l(x)=log(x). Observamos ainda, a não linearidade da função modular, apesar de valer a importantíssima desigualdade triangular |x+y|<|x|+|y| reforçando que nem sempre vale a igualdade
F:R R definida por F(x)=ax+b, onde a 0 e b 0.
F(x+y) = a(x+y)+b = ax+ay+b
F(x)+F(y) = (ax+b)+(ay+b) = ax+ay+2b
Em geral, tem-se que F(kx) k F(x), pois,
F(kx) = a(kx)+b = akx+b
k F(x) = k(ax+b) = kax+kb
F:R R definida por F(x)=ax²+bx+c, onde a 0 e c 0.
Basta mostrar que F(0)=c 0.
F:R² R definida por F(x,y)=2x+3y+4.
Basta verificar que F(0)=4.
F:R² R definida por F(x,y)=ax+by+c (c 0).
Basta verificar que F(0)=c.
F:R² R definida por F(x,y)=xy.
Para u=(x1,y1) R² e v=(x2,y2) R², segue que:
F(u+v) | = | F((x1,y1)+(x2,y2)) = F(x1+x2,y1+y2) |
---|---|---|
= | (x1+x2)(y1+y2) = x1y1+x1y2+x2y1+x2y2 | |
x1y1 + x2y2 = F(x1,y1)+F(x2,y2) = F(u)+F(v) |
F:R² R definida por F(x,y)=ax²+2bxy+cy².
A multiplicação por escalar não é satisfeita. Realmente
F(kx,ky) | = | a(kx)²+2b(kx)(ky)+c(ky)² |
---|---|---|
= | k²(ax²+2bxy+cy²) = k² F(x,y) | |
k F(x,y) |
F:R² R² definida por F(x,y)=(ax+by+c,dx+ey+f) sendo c 0 ou f 0.
Basta verificar que F(0,0)=(c,f) (0,0).
F:R² R² definida por F(x,y)=(ax²,by).
Se u=(c,d) R² e v=(m,n) R², então
F(u+v) | = | F((c,d)+(m, n)) = F(c+m,d+n) |
---|---|---|
= | (a(c+m)²,b(d+n)) = (a(c²+2cm+m²),b(d+n)) | |
= | (ac²+2acm+am²,bd+bn) | |
(ac²,bd) + (am²,bn) = F(c,d)+F(m,n)) = F(u)+F(v) |
F:R² R² definida por F(x,y)=(ax²,by²).
Se u=(c,d) R² e v=(m,n) R², então:
F(u+v) | = | F((c,d)+(m,n)) = F(c+m,d+n) |
---|---|---|
= | (a(c+m)²,b(d+n)²) | |
= | (a(c²+2cm+m²),b(d²+2dn+n²)) | |
= | (ac²+2acm+am²,bd²+2bdn+bn²) | |
(ac²,bd²)+(am²,bn²) = F(c,d)+F(m,n) = F(u)+F(v) |
F:R²R² definida por F(x,y)=(axy,by).
Para w=(x,y) R², segue que k F(w) = k(axy,by) mas
F:R² R² definida por F(x,y)=(ax,bxy).
Se w=(x,y) R² então kF(w)=k(ax,bxy) mas
F:R² R² definida por F(x,y)=(axy,bxy).
Se w=(x,y) R² então kF(w)=k(axy,bxy) mas
F:R² R³ definida por F(x,y)=(x+y,1,3).
Realmente, F(0,0)=(0,1,3) (0,0,0).
F:R² R³ definida por F(x,y)=(ay,bx,c) com c0.
De fato, F(0,0)=(0,0,c) (0,0,0).
F:R² R³ definida por F(x,y)=(ax+by,c,d) com c.d 0.
F(0,0)=(0,c,d) (0,0,0).
F:R³ R² definida por F(x,y,z)=(x+y+z,a), sendo a 0.
Para u=(x1,y1,z1) R³, v=(x2,y2,z2) R³ e w=(x,y,z) R³, tem-se que
F(u+v) | = | F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)) = F(x1+x2,y1+y2,z1+z2) |
---|---|---|
= | ((x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2),a) | |
= | ((x1+y1+z1)+(x2+y2+z2),a) | |
((x1+y1+z1),a) + ((x2+y2+z2),a) | ||
= | F(x1,y1,z1)+F(x2,y2,z2) = F(u)+F(v) |
F:R³ R² definida por F(x,y,z)=(a,x+y+z), com a0.
Para u=(x1,y1,z1) R³, v=(x2,y2,z2) R³ e w=(x,y,z) R³
F(u+v) | = | F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)) = F(x1+x2,y1+y2,z1+z2) |
---|---|---|
= | (a,((x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2)) | |
= | (a,((x1+y1+z1)+(x2+y2+z2))) | |
(a,(x1+y1+z1)) +(a,(x2+y2+z2)) | ||
= | F(x1,y1,z1)+F(x2,y2,z2) = F(u)+F(v) |
F:R³ R² definida por F(x,y,z)=(a,x²+y+z), onde a 0.
Se u=(x1,y1,z1) R³, v=(x2,y2,z2) R³ e w=(x,y,z) R³:
F(u+v) | = | F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)) |
---|---|---|
= | F(x1+x2,y1+y2,z1+z2) | |
= | (a,(x1+x2)²+(y1+y2)+(z1+z2)) | |
= | (a,(x1²+2x1x2+x2²)+(y1+y2)+(z1+z2)) | |
(a,x1²+y1+z1) +(a,x2²+y2+z2) | ||
= | F(x1,y1,z1) + F(x2,y2,z2) = F(u) + F(v) |
F:R³ R² definida por F(x,y,z)=(x+1,y+2).
Se u=(x1,y1,z1) R³, v=(x2,y2,z2) R³ e w=(x,y,z) R³, então
F(u+v) | = | F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)) |
---|---|---|
= | F(x1+x2,y1+y2,z1+z2) | |
= | (x1+x2+1,y1+y2+2) | |
(x1+1,y1+2) + (x2+1,y2+2) | ||
= | F(x1,y1,z1) + F(x2,y2,z2) = F(u) + F(v) |
F:R³ R² definida por F(x,y,z)=(x+a,z+b), com a.b 0.
Se u=(x1,y1,z1) R³, v=(x2,y2,z2) R³ e w=(x,y,z) R³, então
F(u+v) | = | F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)) |
---|---|---|
= | F(x1+x2,y1+y2,z1+z2) | |
= | (x1+x2+a,z1+z2+b) | |
(x1+a,z1+b) + (x2+a,z2+b) | ||
= | F(x1,y1,z1) + F(x2,y2,z2) = F(u) + F(v) |
F:R³ R² definida por F(x,y,z)=(ax+by,cx+z+1).
See u=(x1,y1,z1) R³, v=(x2,y2,z2) R³ e w=(x,y,z) R³, então
F(u+v) | = | F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)) |
---|---|---|
= | F(x1+x2,y1+y2,z1+z2) | |
= | (a(x1+x2)+b(y1+y2),c(x1+x2)+(z1+z2+1)) | |
= | ((ax1+a x2)+(by1+by2),(cx1+cx2)+(z1+z2+1)) | |
(ax1+by1,cx1+z1+1) + (ax2+by2,cx2+z2+1)) | ||
= | F(x1,y1,z1) + F(x2,y2,z2) = F(u) + F(v) |
F:R³R² definida por F(x,y,z)=(a,b−x−y−z), onde a0.
Se u=(x1,y1,z1) R³, v=(x2,y2,z2) R³ e w=(x,y,z) R³, então:
F(u+v) | = | F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)) |
---|---|---|
= | F(x1+x2,y1+y2,z1+z2) | |
= | (a,b−(x1+x2)−(y1+y2)−(z1+z2)) | |
= | (a,b−x1−y1−z1)−(x2+y2+z2)) | |
(a,b−x1−y1−z1) + (a,b−x2−y2−z2) | ||
= | F(x1,y1,z1) + F(x2,y2,z2) = F(u) + F(v) |
F:R³ R² definida por F(x,y,z)=(2x,y−z+a) com a0.
Para u=(x1,y1,z1) R³, v=(x2,y2,z2) R³ e w=(x,y,z) R³, obtemos
F(u+v) | = | F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)) |
---|---|---|
= | F(x1+x2,y1+y2,z1+z2) | |
= | (2(x1+x2),(y1+y2)−(z1+z2)+a) | |
= | (2x1+2x2,y1+y2−z1−z2+a) | |
(2x1,y1−z1+a) + (2x2,y2−z2+a) | ||
= | F(x1,y1,z1) + F(x2,y2,z2) = F(u)+F(v) |
As funções reais definidas por S(x)=sen(x), C(x)=cos(x), E(x)=exp(x) e L(x)=log(x).
Realmente, para um arbitrário x R, tem-se que:
S(2x) | = sen(2x) | = 2sen(x)cos(x) | 2 sen(x) | = 2 S(x) |
---|---|---|---|---|
C(2x) | = cos(2x) | = cos²(x)−sen²(x) | 2 cos(x) | = 2 C(x) |
E(2x) | = exp(2x) | = exp(x)exp(x) | 2 exp(x) | = 2 E(x) |
L(2x) | = log(2x) | = log(2)+log(x) | 2 log(x) | = 2 L(x) |
A função modular F:R R definida por F(x)=|x|.
Para quaisquer números reais x e y, vale a importantíssima desigualdade triangular |x+y|<|x|+|y| mas nem sempre vale a igualdade |x+y|=|x|+|y|, assim
M2 é o espaço vetorial de todas as matrizes reais quadradas de ordem 2. A função determinante det: M2 R definida por:
det |
|
= ad−bc |
---|
Realmente, se
u = |
|
M2 e v = |
|
M2 |
---|
então
det(u+v) = det( |
|
+ |
|
) = det( |
|
) = (a1+a2)(d1+d2)−(b1+b2)(c1+c2) |
---|
ou seja
que é diferente de
det(u) + det(v) = det |
|
+ det |
|
= (a1d1−b1c1) + (a2d2−b2c2) |
---|
Carl Boyer. História da Matemática, Edgard Blücher, São Paulo. Pag.424-427. 1974.
Howard Eves. Introdução à História da Matemática. 3a. ed. Campinas-SP: Editora da UNICAMP. Pag.552-556. 2002.