Matemática Essencial
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Transformacoes Lineares
Ulysses Sodré
Material desta página
1 A importância das transformações lineares
Aqui, apresentamos a importância das transformações lineares em diversas áreas. Além da definição usual, apresentamos outras duas definições alternativas de transformação linear. Definimos e exemplificamos expansão e contração uniforme que também são aplicações lineares. Apresentamos núcleo e imagem de uma aplicação linear e ainda mostramos o significado de aplicações injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Por fim definimos operador diferencial linear. As transformações lineares são de fundamental importância nos estudos de Álgebra, Álgebra Linear (de Matrizes), Cálculo, Equações Diferenciais, Análise, Geometria Diferencial e muitos outros. Transformações lineares são usadas para descrever vários tipos de mudanças geométricas, como: rotação, homotetia, cisalhamento, reflexão, além de outras deformações no plano ou no espaço.
2 Transformação Linear
Definição: Sejam \(V\) e \(W\) espaços vetoriais. Diz-se que \(F:V\to W\) é uma aplicação (ou transformação) linear se satisfaz às duas propriedades seguintes:
- Para quaisquer \(u,v\in V\): \(F(u+v)=F(u)+F(v)\).
- Para qualquer \(k\in R\) e qualquer \(v\in V\): \(F(kv)=k F(v)\).
Definição alternativa 1: Sejam \(V\) e \(W\) espaços vetoriais. \(F:V\to W\) é uma aplicação (ou transformação) linear se, para quaisquer \(u,v\in V\) e quaisquer \(a,b\in R\) se tem que
\[F(au+bv) = aF(u) + bF(v)\]
Definição alternativa 2: Sejam \(V\) e \(W\) espaços vetoriais. \(F:V\to W\) é uma aplicação (ou transfomação) linear se, para quaisquer \(u,v \in V\) e qualquer \(b\in R\) se tem que
\[F(u+bv) = F(u) + b F(v)\]
Graficamente temos algo como:
Observações importantes:
- Uma aplicação linear também recebe o nome de Transformação linear.
- Na literatura recente sobre Álgebra Linear, quando \(V=W\), a aplicação \(F\) recebe o nome de operador linear e quando \(W=R\), recebe o nome de funcional linear.
- Se \(F:V\to W\) é uma aplicação linear, então \(F(\theta)=\theta\), onde o primeiro \(\theta\) é o vetor nulo de \(V\) e o segundo \(\theta\) é o vetor nulo de \(W\).
- Para provar que uma aplicação é linear, devemos mostrar que valem as duas propriedades descritas na definição, mas para mostrar que uma aplicação não é linear, basta exibir a propriedade que não satisfaz.
3 Teorema sobre a composta de transformações lineares
Teorema: Sejam \(F:U\to V\) e \(G:V\to W\) transformações lineares. A composta \(G{\circ}F:U\to W\) também é uma transformação linear.
Demonstração: Sejam \(u,v\in U\) e \(a,b\in R\). Assim
\begin{align}
(G{\circ}F)(au+bv) &= G(F(au+bv)) & \text{Composição} \cr &= G(F(au)+F(bv)) & \text{Linearidade de F} \cr &= G(aF(u))+G(kF(v)) & \text{Aditividade de G} \cr &= a G(F(u))+b G(F(v)) & \text{Homotetia de G} \cr &= a (G{\circ}F)(u)+b (G{\circ}F)(v) & \text{Composição}
\end{align}
Exemplo: Dadas as transformações lineares \(S:R^3\to R^2\) definida por
\(S(x,y,z)=(x,y+z)\) e \(T:R^2\to R^3\) definida por \(T(x,y)=(3x,2y,x+y)\), a
transformação composta \(P:R^2\to R^2\) tal que \(P=SoT\) é linear, pois
\[(S{\circ}T)(x,y) = S(T(x,y))=S(3x,2y,x+y)=(3x,2y+x+y)=(3x,3y+x)\]
Teorema: Sejam \(V\) e \(W\) espaços vetoriais reais, uma base de \(V\) denotada por \(\{v_1,...,v_n\}\) e \(\{w_1,w_2,...,w_n\}\) um conjunto de elementos de \(W\). Existe uma única transformação linear \(T:V\to W\) tal que
\[T(v_1)=w_1, T(v_2)=w_2,..., T(v_n)=w_n\]
Se tomarmos a combinação linear \(v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + ... + a_n v_n\) então
\[T(v) = a_1T(v_1)+a_2T(v_2)+...+a_n T(v_n) = a_1w_1+a_2 w_2+...+a_n w_n\]
Ainda devemos provar que \(T\) é uma transformação linear, verificando que:
- Para quaisquer \(u,v\in U\): \(F(u+v) = F(u)+F(v)\).
- Para qualquer \(k\in R\) e qualquer \(v\in U\): \(F(kv) = k F(v)\).
Exemplo: Seja a aplicação \(T_A:R^n\to R^m\) definida por
\[T_A(v) = A \begin{pmatrix} v_1 \cr v_2 \cr ... \cr v_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w_1 \cr w_2 \cr ... \cr w_n \end{pmatrix}\]
onde \(A\) é uma matriz de ordem \(m{\times}n\) e
\[v = \begin{pmatrix} v_1 \cr ... \cr v_n \end{pmatrix}\]
é um vetor coluna. \(T_A\) é linear pois,
\[T_A(u+bv) = A(u+bv)= A(u)+A(bv)= A(u)+b A(v)= T_A(u)+ b T_A(v)\]
Exemplos: Se
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & 0 \cr 0 & 0 \end{pmatrix}\]
e \(T_A: R^2\to R^3\), então
\[T_A(u) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & 0 \cr 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \cr u_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 \cr 0 \end{pmatrix}\]
Então, podemos escrever:
\[T_A(u_1,u_2) = (u_1,0,0)\]
4 Expansão e Contração Uniforme
- A aplicação \(T:R^2\to R^2\) definida por \(T(u)=mu\), onde \(u=(x,y)\) e \(m\in R\), é linear. Se m>0, tal aplicação recebe o nome de expansão uniforme. Esta aplicação \(T(u)=mu\) leva cada vetor do plano sobre um outro vetor de mesmo sentido e mesma direção de \(u\), mas de módulo maior.
- A aplicação \(T:R^2\to R^2\) tal que \(T(u)=mu\), onde u=(x,y), com mR, é linear. Se \(m<0\), tal aplicação é uma contração uniforme. Esta aplicação \(T(u)=mu\) leva os vetores do plano num outro vetor de mesmo sentido e mesma direção de \(u\), porém de módulo menor. Esta aplicação pode ser escrita na forma matricial:
\[T \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \cr ky \end{pmatrix}\]
- Exemplo: A aplicação \(T:R^2\to R^2\) tal que \(T(u)=3u\), onde \(u=(x,y)\) é uma expansão uniforme.
- Exemplo: A aplicação \(T:R^2\to R^2\) tal que \(T(u)=\frac13 u\), onde \(u=(x,y)\) é uma contração uniforme.
5 Imagem e Núcleo de uma aplicação linear
Definição: Seja \(F:U\to V\) uma transformação linear. A Imagem de \(F\) é o conjunto de todos os vetores \(F(v)\in V\), isto é;
\[\text{Im}(F) = \{F(v)\in V: v \in V\}\]
A imagem de \(F\), denotada por \(\text{Im}(F)\), é um subespaço vetorial de \(V\).
Definição: Seja \(F:U\to V\) uma transformação linear. O conjunto de todos os vetores \(u\in U\) tal que \(F(u)=\theta\) é denominado Núcleo de F, sendo denotado por \(\text{Nuc}(F)\), isto é;
\[\text{Nuc}(F) = \{v \in V: F(u)=\theta\}\]
O núcleo de \(F\), denotado por \(\text{Nuc}(F)\), é um subconjunto de \(U\) e também é um subespaço vetorial de \(U\).
6 Aplicações: injetora, sobrejetora e bijetora
Definição: Uma aplicação \(F:U\to V\) é injetora se dados \(u,v \in U\) com \(F(u)=F(v)\) se tem necessariamente que \(u=v\). Outro modo equivalente: \(F\) é Injetora, se dados \(u,v \in U\) com \(u \neq v\) implicar que \(F(u) \neq F(v)\).
Definição: Uma aplicação \(F:U\to V\) é sobrejetora se a imagem de \(F\) coincide com \(V\), isto é, \(F(U)=V\), significando que, dado \(v\in V\), existe \(u\in U\) tal que \(F(u)=v\).
Definição: Uma aplicação \(F:U\to V\) é bijetora se é injetora e sobrejetora.
7 Operador Diferencial linear
Seja \(V\) o espaço vetorial de todas as funções reais infinitamente e continuamente diferenciáveis no intervalo \([a,b]\) da reta.
- A aplicação \(D:V\to V\) definida por \(D(f)=f^{(1)}\) (primeira derivada de \(f\)). Esta aplicação é linear, pois \(D(af+bg) = aD(f) + bD(g)\).
- Com o operador diferencial \(D\) podemos definir a composta \(D^2=D{\circ}D\). Pode-se mostrar que é linear a aplicação \(D^2:V\to V\) definida por \(D^2(f)=f^{(2)}\) (segunda derivada da função \(f\)), pois \(D^2(af+bg) = a D^2(f) + b D^2(g)\).
- A aplicação \(D^n:V\to V\) definida por \(D^n(f)=f^{(n)}\) que é a derivada de ordem \(n\) da função \(f\). Demonstra-se que é linear a aplicação \(D^n\) definida recursivamente por \(D^0=I_n\) (aplicação identidade) e para cada \(n\in N\): \(D^n = D \circ D^{n-1} \tag{\)n 1\(}\).
- A aplicação \(L:V\to V\) definida por \(L(D)=a D^2+bD+ cI_n\) é linear.
- A aplicação \(L:V\to V\) definida por \(L(D)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k D^k\) é linear. Realmente:
\begin{align}
[L(D)](f+g) &= \sum_{k=0}^n a_kD^k(f+g) \cr &= \sum_{k=0}^n a_k[D^k(f)+D^k(g)] \cr &= \sum_{k=0}^n a_k D^k(f) + \sum_{k=0}^n a_k D^k(g) \cr &= [L(D)](f) + [L(D)](g)
\end{align}
8 Referências bibliográficas
- Boyer,Carl Boyer. História da Matemática, Editora Edgard Blücher, São Paulo. Pag.424-427. 1974.
- Howard Eves. Introdução à História da Matemática. 3a.ed. Campinas-SP: Editora da UNICAMP. Pag.552-556. 2002.