Nesta página, apresentamos a importância das transformações lineares em diversas áreas. Além da definição usual, apresentamos outras duas definições alternativas de transformação linear. Definimos e exemplificamos expansão e contração uniforme que também são aplicações lineares. Apresentamos núcleo e imagem de uma aplicação linear e ainda mostramos o significado de aplicações injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Por fim definimos operador diferencial linear. As transformações lineares são de fundamental importância nos estudos de Álgebra, Álgebra Linear (Álgebra de Matrizes), Cálculo, Equações Diferenciais, Análise, Geometria Diferencial e muitos outros. Transformações lineares são usadas para descrever vários tipos de mudanças geométricas, como: rotação, homotetia, cisalhamento, reflexão, além de outras deformações no plano ou no espaço.
Definição: Sejam V e W espaços vetoriais. Diz-se que F:V W é uma aplicação linear se satisfaz às duas propriedades seguintes:
Para quaisquer u,vU: F(u+v)=F(u)+F(v).
Para qualquer kR e qualquer vU: F(kv)=k.F(v).
Definição alternativa 1: Sejam V e W espaços vetoriais. F:VW é uma aplicação linear se, para quaisquer u,vU e quaisquer a,bR se tem que
F(au+bv) = aF(u) + bF(v)
Definição alternativa 2: Sejam V e W espaços vetoriais. F:V W é uma aplicação linear se, para quaisquer u,v U e qualquer b R se tem que
F(u+bv) = F(u) + bF(v)
Graficamente temos algo como:
Observações importantes:
Uma aplicação linear também recebe o nome de Transformação linear.
Na literatura mais recente sobre Álgebra Linear, quando V=W, a aplicação F recebe o nome de operador linear e quando W=R, recebe o nome de funcional linear.
Se F:V W é uma aplicação linear, então F(0)=0, onde o primeiro 0 é o vetor nulo de V e o segundo 0 é o vetor nulo de W.
Para provar que uma aplicação é linear, devemos demonstrar que valem as duas propriedades descritas na definição, mas para mostrar que uma transformação não é linear, basta exibir a propriedade que não é satisfeita.
Teorema: Sejam F:UV e G:VW transformações lineares. A composta
Demonstração: Sejam u,vU e kR. Assim
(GoF)(u+kv) | = | G(F(u+kv)) | Definição de composta |
---|---|---|---|
= | G(F(u)+F(kv)) | Linearidade de F | |
= | G(F(u))+G(k.F(v)) | Aditividade de G | |
= | G(F(u))+k.G(F(v)) | Homotetia de G | |
= | (GoF)(u)+k.(GoF)(v) | Definição de composta |
Exemplo: Dadas as transformações lineares S:R³R² definida por S(x,y,z)=(x,y+z) e
(SoT)(x,y) = S(T(x,y))=S(3x,2y,x+y)=(3x,2y+x+y)=(3x,3y+x)
Teorema: Sejam V e W espaços vetoriais reais, uma base de V denotada por {v1,...,vn} e {w1,w2,...,wn} um conjunto de elementos de W. Existe uma única transformação linear
T(v1)=w1, T(v2)=w2, ..., T(vn)=wn
Se considerarmos a combinação linear
v = a1 v1 + a2 v2 + ... + an vn
então
T(v) = a1 T(v1) + a2 T(v2) + ... + an T(vn) = a1 w1 + a2 w2 + ... + an wn
Devemos provar que T é uma transformação linear, verificando que:
Para quaisquer u,v U: F(u+v)=F(u)+F(v).
Para qualquer k R e qualquer v U: F(kv)=k.F(v).
Exemplo: Seja a aplicação T: Rn Rm definida por
TA(v) = A . |
|
= |
|
---|
onde A é uma matriz de ordem m×n e
v | = |
|
---|
é um vetor coluna. T é linear pois,
TA(u+bv) = A(u+bv)= A(u) + A(bv)= A(u) + b.A(v)= TA(u)+ b.TA(v)
Exemplos: Se
A = |
|
---|
e TA: R² R³, então
TA(u) = |
|
. |
|
= |
|
---|
Então
A aplicação T:R²R² definida por T(u)=mu, onde u=(x,y) e m R, é linear. Se m>0, tal aplicação é dita expansão uniforme.
A função T(u)=mu leva cada vetor do plano sobre um outro vetor de mesmo sentido e mesma direção de u, porém de módulo maior.
A aplicação T:R²R² tal que T(u)=mu, onde u=(x,y), com m R, é linear. Se m<0, tal aplicação é dita contração uniforme.
A função T(u)=mu leva os vetores do plano num outro vetor de mesmo sentido e mesma direção de u, porém de módulo menor. Esta aplicação pode ser escrita na forma matricial:
T |
|
= k . |
|
= |
|
---|
Exemplo: A aplicação T:R²R² tal que T(u)=3u, onde u=(x,y) é uma expansão uniforme.
Exemplo: A aplicação T:R²R² tal que T(u)=u/3, onde u=(x,y) é uma contração uniforme.
Definição: Seja F:U V uma transformação linear. A Imagem de F é o conjunto de todos os vetores F(v) V, isto é;
Im(F) = { F(v)V: v V }
A imagem de F, denotada por Im(F), é um subespaço vetorial de V.
Definição: Seja F:UV uma transformação linear. O conjunto de todos os vetores
Nuc(F) = { v V: F(u)=0 }
O núcleo de F, denotado por Nuc(F), é um subconjunto de U e também é um subespaço vetorial de U.
Definição: Uma aplicação F:UV, F é Injetora se dados u,v U com F(u)=F(v) se tem necessariamente que u=v. Outro modo equivalente: F é Injetora, se dados u,v U com
Definição: Uma aplicação F:U V é Sobrejetora se a imagem de F coincide com V, isto é, F(U)=V, significando que, dado vV, existe u U tal que F(u)=v.
Definição: Uma aplicação F:U V, F é Bijetora se é injetora e sobrejetora.
Seja V o espaço vetorial de todas as funções reais infinitamente e contínuamente diferenciáveis no intervalo [a,b] da reta.
A aplicação D:V V definida por D(f)=f ', onde f ' é primeira derivada primeira da função. Esta aplicação é linear, pois
D(af+bg) = aD(f) + bD(g)
A partir do operador diferencial D é possível definir a composta D (2)=DoD. Pode-se mostrar que é linear a aplicação D (2):V V definida por D (2)(f)=f'', onde f'' é segunda derivada da função f, pois
D(2)(af+bg) = a D(2)(f) + b D(2)(g)
A aplicação D n+1: V V definida por Dn(f)=f (n) onde f (n) é a derivada de ordem n da função f. Demonstra-se que é linear a aplicação Dn definida recursivamente por D 0=In e para cada nN:
Dn = D o D n−1
A aplicação L: V V definida por L(D)=a D² + b D + c Id é linear.
A aplicação L: V V definida por
L(D) = | n k=0 |
ak Dk |
---|
é linear. Realmente,
[L(D)](f+g) | = |
|
||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
= |
|
Boyer,Carl Boyer. História da Matemática, Editora Edgard Blücher, São Paulo. Pag.424-427. 1974.
Howard Eves. Introdução à História da Matemática. 3a.ed. Campinas-SP: Editora da UNICAMP. Pag.552-556. 2002.