A importância das transformações lineares

Nesta página, apresentamos a importância das transformações lineares em diversas áreas. Além da definição usual, apresentamos outras duas definições alternativas de transformação linear. Definimos e exemplificamos expansão e contração uniforme que também são aplicações lineares. Apresentamos núcleo e imagem de uma aplicação linear e ainda mostramos o significado de aplicações injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Por fim definimos operador diferencial linear. As transformações lineares são de fundamental importância nos estudos de Álgebra, Álgebra Linear (Álgebra de Matrizes), Cálculo, Equações Diferenciais, Análise, Geometria Diferencial e muitos outros. Transformações lineares são usadas para descrever vários tipos de mudanças geométricas, como: rotação, homotetia, cisalhamento, reflexão, além de outras deformações no plano ou no espaço.

Transformação Linear

Definição: Sejam V e W espaços vetoriais. Diz-se que F:V toW é uma aplicação linear se satisfaz às duas propriedades seguintes:

  1. Para quaisquer u,vinU: F(u+v)=F(u)+F(v).

  2. Para qualquer kinR e qualquer vinU: F(kv)=k.F(v).

Definição alternativa 1: Sejam V e W espaços vetoriais. F:VtoW é uma aplicação linear se, para quaisquer u,vinU e quaisquer a,binR se tem que

F(au+bv) = aF(u) + bF(v)

Definição alternativa 2: Sejam V e W espaços vetoriais. F:V toW é uma aplicação linear se, para quaisquer u,v inU e qualquer b inR se tem que

F(u+bv) = F(u) + bF(v)

Graficamente temos algo como:

fig

Observações importantes:

  1. Uma aplicação linear também recebe o nome de Transformação linear.

  2. Na literatura mais recente sobre Álgebra Linear, quando V=W, a aplicação F recebe o nome de operador linear e quando W=R, recebe o nome de funcional linear.

  3. Se F:V toW é uma aplicação linear, então F(0)=0, onde o primeiro 0 é o vetor nulo de V e o segundo 0 é o vetor nulo de W.

  4. Para provar que uma aplicação é linear, devemos demonstrar que valem as duas propriedades descritas na definição, mas para mostrar que uma transformação não é linear, basta exibir a propriedade que não é satisfeita.

Teorema sobre a composta de transformações lineares

Teorema: Sejam F:UtoV e G:VtoW transformações lineares. A composta GoF:UtoW também é uma transformação linear.

Demonstração: Sejam u,vinU e kinR. Assim

(GoF)(u+kv) = G(F(u+kv)) Definição de composta
  = G(F(u)+F(kv)) Linearidade de F
  = G(F(u))+G(k.F(v)) Aditividade de G
  = G(F(u))+k.G(F(v)) Homotetia de G
  = (GoF)(u)+k.(GoF)(v) Definição de composta

Exemplo: Dadas as transformações lineares S:R³toR² definida por S(x,y,z)=(x,y+z) e T:R²to definida por T(x, y)=(3x,2y,x+y), a transformação composta P:R² toR² tal que P=SoT é linear, pois

(SoT)(x,y) = S(T(x,y))=S(3x,2y,x+y)=(3x,2y+x+y)=(3x,3y+x)

Teorema: Sejam V e W espaços vetoriais reais, uma base de V denotada por {v1,...,vn} e {w1,w2,...,wn} um conjunto de elementos de W. Existe uma única transformação linear T:VtoW tal que

T(v1)=w1, T(v2)=w2,    ...,   T(vn)=wn

Se considerarmos a combinação linear

v = a1 v1 + a2 v2 + ... + an vn

então

T(v) = a1 T(v1) + a2 T(v2) + ... + an T(vn) = a1 w1 + a2 w2 + ... + an wn

Devemos provar que T é uma transformação linear, verificando que:

  1. Para quaisquer u,v inU: F(u+v)=F(u)+F(v).

  2. Para qualquer k inR e qualquer v inU: F(kv)=k.F(v).

Exemplo: Seja a aplicação T: Rn toRm definida por

TA(v) = A .
v1
v2
...
vn
=
w1
w2
...
wn

onde A é uma matriz de ordem m×n e

v =
v1
...
vn

é um vetor coluna. T é linear pois,

TA(u+bv) = A(u+bv)= A(u) + A(bv)= A(u) + b.A(v)= TA(u)+ b.TA(v)

Exemplos: Se

A =
1 0
0 0
0 0

e TA: R² toR³, então

TA(u) =
1 0
0 0
0 0
.
u1
u2
=
u1
0
0

Então

TA(u1,u2) = (u1, 0, 0)

Expansão e Contração Uniforme

  1. A aplicação T:R²toR² definida por T(u)=mu, onde u=(x,y) e m inR, é linear. Se m>0, tal aplicação é dita expansão uniforme.

    fig

    A função T(u)=mu leva cada vetor do plano sobre um outro vetor de mesmo sentido e mesma direção de u, porém de módulo maior.

  2. A aplicação T:R²toR² tal que T(u)=mu, onde u=(x,y), com m inR, é linear. Se m<0, tal aplicação é dita contração uniforme.

    A função T(u)=mu leva os vetores do plano num outro vetor de mesmo sentido e mesma direção de u, porém de módulo menor. Esta aplicação pode ser escrita na forma matricial:

    T
    x
    y
    = k .
    x
    y
    =
    k.x
    k.y

Exemplo: A aplicação T:R²toR² tal que T(u)=3u, onde u=(x,y) é uma expansão uniforme.

fig

Exemplo: A aplicação T:R²toR² tal que T(u)=u/3, onde u=(x,y) é uma contração uniforme.

Imagem e Núcleo de uma aplicação linear

Definição: Seja F:U toV uma transformação linear. A Imagem de F é o conjunto de todos os vetores F(v) inV, isto é;

Im(F) = { F(v)inV: v inV }

A imagem de F, denotada por Im(F), é um subespaço vetorial de V.

Definição: Seja F:UtoV uma transformação linear. O conjunto de todos os vetores uinU tal que F(u)=0 é denominado Núcleo de F, sendo denotado por Nuc(F), isto é;

Nuc(F) = { v inV: F(u)=0 }

O núcleo de F, denotado por Nuc(F), é um subconjunto de U e também é um subespaço vetorial de U.

Aplicações: injetora, sobrejetora e bijetora

Definição: Uma aplicação F:UtoV, F é Injetora se dados u,v inU com F(u)=F(v) se tem necessariamente que u=v. Outro modo equivalente: F é Injetora, se dados u,v inU com uneqv implicar que F(u)neqF(v).

Definição: Uma aplicação F:U toV é Sobrejetora se a imagem de F coincide com V, isto é, F(U)=V, significando que, dado vinV, existe u inU tal que F(u)=v.

Definição: Uma aplicação F:U toV, F é Bijetora se é injetora e sobrejetora.

Operador Diferencial linear

Seja V o espaço vetorial de todas as funções reais infinitamente e contínuamente diferenciáveis no intervalo [a,b] da reta.

  1. A aplicação D:V toV definida por D(f)=f ', onde f ' é primeira derivada primeira da função. Esta aplicação é linear, pois

    D(af+bg) = aD(f) + bD(g)

  2. A partir do operador diferencial D é possível definir a composta D (2)=DoD. Pode-se mostrar que é linear a aplicação D (2):V toV definida por D (2)(f)=f'', onde f'' é segunda derivada da função f, pois

    D(2)(af+bg) = a D(2)(f) + b D(2)(g)

  3. A aplicação D n+1: V toV definida por Dn(f)=f (n) onde f (n) é a derivada de ordem n da função f. Demonstra-se que é linear a aplicação Dn definida recursivamente por D 0=In e para cada ninN:

    Dn = D o D n−1

  4. A aplicação L: V toV definida por L(D)=a D² + b D + c Id é linear.

  5. A aplicação L: V toV definida por

    L(D) = n
    soma
    k=0
    ak Dk

    é linear. Realmente,

    [L(D)](f+g) =
    [
    n
    soma
    k=0
    akDk](f+g)=
    n
    soma
    k=0
    akDk(f+g)=
    n
    soma
    k=0
    ak[Dk(f)+Dk(g)]
      =
    n
    soma
    k=0
    ak Dk(f) +
    n
    soma
    k=0
    ak Dk(g) = [L(D)](f) + [L(D)](g)

Referências bibliográficas

  1. Boyer,Carl Boyer. História da Matemática, Editora Edgard Blücher, São Paulo. Pag.424-427. 1974.

  2. Howard Eves. Introdução à História da Matemática. 3a.ed. Campinas-SP: Editora da UNICAMP. Pag.552-556. 2002.

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