Matemática Essencial :: Superior >> Álgebra Linear :: Teorema Fundamental da Algebra Linear

Sejam \(U\) e \(V\) espaços vetoriais de dimensão finita com \(\dim(U)=n\) e \(\dim(V)=m\) e sejam \(B_1\) e \(B_2\), respectivamente, bases de \(U\) e \(V\). Então, toda transformação linear de \(U\) sobre \(V\) determina uma única matriz de ordem \(m{\times}n\) relativamente a \(B_1\) e \(B_2\). Reciprocamente, toda matriz desse tipo determina uma única transformação linear de \(U\) em \(V\) definida por:

\[A(x) = x_1 A(e_1) + ... + x_n A(e_n)\]

pois toda transformação linear \(A:U\to V\) pode ser escrita nesta forma, sendo

\[A(e_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} f_i = a_{1j} f_1 + a_{2j} f_2 +...+ a_{mj} f_m\]

onde \(\{f_1,...,f_m\}\) é uma base de \(V\) e dada \(A:U\to V\) definida para cada inteiro \(j\) tal que \(1\leq j \leq n\), e os escalares são \(a_{ij}\).

Exemplo: A aplicação \(F:R^3 \to R^2\) definida por \(F(x,y,z)=M(x,y,z)^t\) onde

\[M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \cr 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]

é linear, pois se \(u=(x_1,y_1,z_1)\), \(v=(x_2,y_2,z_2)\) e \(p,q\in R\), então

\begin{align} F(pu+qv) &= F[p(x_1,y_1,z_1)+q(x_2,y_2,z_2)] \cr &= F[(px_1,py_1,pz_1)+(qx_2,qy_2,qz_2)] \cr &= F[(px_1+qx_2,py_1+qy_2,pz_1+qz_2)] \cr &= M (px_1+qx_2,py_1+qy_2,pz_1+qz_2)^t \cr &= M (px_1,py_1,pz_1)^t + M (qx_2,qy_2,qz_2)^t \cr &= p F(u) + qF(v) \end{align}

Exemplo: A transformação \(T:R^2\to R^2\) definida por \(T(x,y)=(y,x)\), que é uma reflexão no plano em torno da reta \(x=y\), é linear, pois tomando \(T(1,0)=(0,1)\) e \(T(1,1)=(1,1)\), então

\[(x,y) = a(1,0) + b(1,1) = (a+b,b)\]

logo, \(a+b=x\) e \(b=y\). Assim, \(a=x-y\). Assim \((x,y)=(x-y)(1,0)+y(1,1)\) e

\begin{align} T(x,y) &= T[(x-y)(1,0)+y(1,1)] \cr &= (x-y) T(1,0) + y T(1,1) \cr &= (x-y)(0,1) + y(1,1) \cr &= (y,x-y+y) = (y,x) \end{align}

\[T \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \cr 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix}\]

\[T(x,y) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \cr 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix}\]

é linear, mas neste caso, segunda linha é combinação linear da primeira, e o determinante desta matriz é nulo e o posto desta matriz é igual a 1.

Exemplo: Obter a forma geral \(T=T(x,y,z)\) da transformação linear \(T:R^3\to R^2\) tal que \(T(1,0,0)=(1,0)\), \(T(0,1,0)=(1,1)\) e \(T(0,0,1)=(1,-1)\).

Para resolver este problema devemos escrever o vetor \(v=(x,y,z)\) como combinação linear dos elementos \(e_1=(1,0,0)\), \(e_2=(0,1,0)\) e \(e_3=(0,0,1)\) de \(C=\{e_1,e_2,e_3\}\). Assim,

\begin{align} (x,y,z) &= a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) \cr &= (a,0,0) + (0,b,0) + (0,0,c) \cr &= (a,b,c) \end{align}

\begin{align} T(x,y,z) &= T[x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)] \cr &= T[x(1,0,0)] + T[y(0,1,0)] + T[z(0,0,1)] \cr &= x T(1,0,0) + y T(0,1,0) + z T(0,0,1) \cr &= x(1,0) + y(1,1) + z(1,-1) \cr &= (x+y+z,y-z) \end{align}

Qual é o vetor \(v\in R^3\), tal que \(T(v)=(1,2)\)? Como \(T(x,y,z)=(x+y+z,y-z)\), para que \(T(x,y,z)=(1,2)\), basta resolver o sistema:

\begin{align} x+y+z &= 1 \cr y-z &= 2 \end{align}

Somando membro a membro as duas equações, obtemos \(x+2z=3\), de onde segue que \(x=-2y+3\). Na verdade, existem infinitas soluções para este problema. Escolhendo \(y=1\), obtemos \(x=1\), \(z=3\) e \(v=(1,1,3)\).

Também podemos resolver este problema da seguinte forma: como \(x=-2y+3\) e \(y=z+2\), escrevendo \(x\) em função de \(z\), obtemos

\[x=-2(z+2)+3 = -2z-1\]

Assim, \((x,y,z)=(-2z-1,z+2,z)\). Fazendo \(z=t\), podemos escrever as equações da reta nas formas paramétricas que passam por \(P_0\) e têm a direção \(v\):

\[x(t)=-2t-1, y(t) = t+2, z(t) = t\]

\[\frac{x(t)+1}{-2} = \frac{y(t)-2}{1} = \frac{z(t)-0}{1}\]

Exemplo: Obter a forma geral \(T=T(x,y,z)\) da transformação linear \(T:R^3\to R^2\) tal que \(T(1,0,0)=(1,0)\), \(T(1,1,0)=(2,3)\) e \(T(1,1,1)=(4,7)\).

Para resolver este problema devemos escrever o vetor \(v=(x,y,z)\) como combinação linear dos elementos de \(D=\{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)\}\). Assim

\begin{align} (x,y,z) &= a(1,0,0)+b(1,1,0)+c(1,1,1) \cr &= (a,0,0)+(b,b,0)+(c,c,c) \cr &= (a+b+c,b+c,c) \end{align}

\begin{align} T(x,y,z) &= T[x(1,0,0) + y(1,1,0) + z(1,1,1)] \cr &= T[x(1,0,0)] + T[y(1,1,0)] + T[z(1,1,1)] \cr &= x T(1,0,0) + y T(1,1,0) + z T(1,1,1) \cr &= x(1,0) + y(2,3) + z(4,7) \cr &= (x+2y+4z,x+3y+7z) \end{align}

2 Alguns aspectos geométricos

Exemplo: A projeção \(P:R^3\to R^2\) tal que \(P(x,y,z)=(x,y)\) é linear, pois

Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

1 Teorema Fundamental da Álgebra Linear

2 Alguns aspectos geométricos