Matemática Essencial

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Operações com Subespaços

Ulysses Sodré

Material desta página

1 Soma de subespaços vetoriais
2 Interseção de subespaços vetoriais
3 Soma direta de subespaços
4 Teorema caracterizando a soma direta

1 Soma de subespaços vetoriais

A soma dos subespaços \(U\) e \(W\), de um espaço vetorial \(V\), denotada por \(U+W\), é o conjunto de todos os vetores da forma \(v=u+w\), onde \(u\in U\) e \(w\in W\), isto é:

\[U+W = \{u+w: u\in U \text{ e } w\in W \}\]

Proposição: Se \(U\) e \(W\) são subepaços de um espaço vetorial \(V\), então a soma \(U+W\) é um subespaço de \(V\).

Demonstração: Sejam \(U\) e \(W\) subespaços do espaço vetorial \(V\).

O vetor nulo \(\theta\) é o mesmo em \(U\), \(W\) e \(V\), isto é, \({\theta}_U={\theta}_W={\theta}\) e segue que \(U+W\) não é vazio pois contém o vetor nulo \(\theta=\theta_U+\theta_W\).
Se \(v_1=u_1+w_1\in U+W\) e \(v_2=u_2+w_2 \in U+W\), então
\[v_1+v_2=(u_1+w_1)+(u_2+w_2)=(u_1+u_2)+(w_1+w_2)\in U+W\]
Se \(v=u+w\in U+W\) e \(p\in K\) (corpo), então
\[pv = p(u+w) = pu + pw\in U+W\]

Exemplo: Sejam os subespaços de \(R^3\) definidos por:

\begin{align} U &=\left\langle(1,0,0),(0,1,0)\right\rangle=\{(x,y,0):x\in R,y\in R \} \cr W &=\left\langle(0,0,1)\right\rangle=\{(0,0,z):z\in R\} \end{align}

O conjunto \(U+W\) é um subespaço de \(R^3\) e na realidade, segue que \(U+W=R^3\).

Exercício: Sejam os subespaços de \(R^3\) definidos por:

\begin{align} U &= \left\langle(1,0,0)\right\rangle = \{x(1,0,0): x\in R \} \cr W &= \left\langle(0,1,0)\right\rangle = \{y(0,1,0): y\in R \} \end{align}

Mostrar que \(U+W\) é um subespaço de \(R^3\) e que \(U+W=\{(x,y,z)\in R^3: z=0\}\) (plano \(z=0\)).

2 Interseção de subespaços vetoriais

A interseção dos subespaços de \(U\) e \(W\), de um espaço vetorial \(V\), denotada por \(U\cap W\), é o conjunto de todos os vetores pertencentes a ambos os subespaços, isto é:

\[U\cap W =\{v: v\in U \text{ e } v\in W \}\]

Proposição: Se \(U\) e \(W\) são subespaços de um espaço vetorial \(V\), então a interseção \(U\cap W\) é um subespaço de \(V\).

Demonstração: Sejam \(U\) e \(W\) subespaços do espaço vetorial \(V\).

O vetor nulo \(\theta\) é o mesmo em \(U\), \(W\) e \(V\), isto é, \(\theta_U=\theta_W=\theta\), logo \(U\cap W\) é não vazio.
Se \(v_1\in U \cap W\) e \(v_2\in U\cap W\), então \(v_1\in U\), \(v_1\in W\), \(v_2\in U\) e \(v_2\in W\), assim \(v_1+v_2\in U\) e \(v_1+v_2\in W\) e concluímos que \(v_1+v_2 \in U\cap W\).
Se \(v\in U\cap W\) e \(p\in K\), então \(v\in U\), \(v\in W\), logo \(pv\in U\) e \(pv\in W\) o que garante que \(pv\in U \cap W\).

Exemplo: Sejam os subespaços de \(R^3\) definidos por:

\begin{align} U &= \left\langle(1,0,0),(0,1,0)\right\rangle = \{(x,y,0): x\in R, y\in R\} \cr W &= \left\langle(0,0,1)\right\rangle = \{(0,0,z): z\in R \} \end{align}

O conjunto \(U\cap W\) é um subespaço de \(R^3\) e \(U\cap W ={\theta}\) é o subespaço nulo.

Exercício: Sejam os subespaços de R^3 definidos por:

\begin{align} U &= \left\langle{(1,0,0),(0,1,0)}\right\rangle = \{(a,b,0):a\in R, b\in R \} \cr W &= \left\langle{(1,0,0),(0,0,1)}\right\rangle = \{(c,0,d):c\in R, d\in R \} \end{align}

Mostrar que \(U\cap W\) é o subespaço vetorial de \(R^3\), conhecido como o Eixo \(OX\).

3 Soma direta de subespaços

A soma direta dos subespaços \(U\) e \(W\), de um espaço vetorial \(V\), denotada por \(U \oplus W\), é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos de modo único como \(v=u+w\), onde \(u\in U\) e \(w\in W\).

4 Teorema caracterizando a soma direta

Sejam \(U\) e \(W\) subepaços de um espaço vetorial \(V\). \(V=U \oplus W\) se, e somente se, \(V=U+W\) e além disso \(U\cap W=\{\theta\}\).

Exemplo: Seja \(V\) o espaço vetorial das matrizes quadradas reais de ordem 2, \(S\) o subespaço de \(V\) das matrizes simétricas (da forma)

\[\begin{pmatrix} x & y \cr y & z \end{pmatrix}\]

e \(T\) o subespaço de \(V\) das matrizes anti-simétricas (da forma)

\[\begin{pmatrix} 0 & w \cr -w & 0 \end{pmatrix}\]

Assim \(V=S \oplus T\), pois \(V=S+T\) e \(S\cap T=\{\theta\}\).

Isto significa que toda matriz quadrada de números reais de ordem \(2{\times}2\), pode ser decomposta, de forma única, com a soma de uma matriz simétrica e uma matriz anti-simétrica.

Exemplo: Se \(M\) é uma matriz quadrada arbitrária de ordem \(2{\times}2\):

\[M = \begin{pmatrix} a & b \cr c & d \end{pmatrix}\]

então é possível obter uma matriz simétrica a partir de \(M\)

\[M_S = \frac12(M + M^t) = \begin{pmatrix} \frac{a}{2} & \frac{b+c}{2} \cr \frac{b+c}{2} & \frac{d}{2} \end{pmatrix}\]

e uma matriz anti-simétrica usando \(M\)

\[M_T = \frac12(M-M^t) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{b-c}{2} \cr \frac{c-b}{2} & 0 \end{pmatrix}\]

de modo que existe uma decomposição única para \(M\), isto é, \(M=M_S + M_T\).

Exercício: Seja \(F=\{f:R\to R\}\) o espaço vetorial de funções, \(F_p\) o subespaço de \(F\) das funções pares e \(F_i\) o subespaço de \(F\) das funções ímpares, isto é,

\begin{align} F_p &= \{f\in F: f(-x)=f(x), x\in R\} \cr F_i &= \{f\in F: f(-x)=-f(x), x\in R\} \end{align}

Então, \(F=F_p \oplus F_i\), pois \(F_p+F_i=F\) e \(F_p \cap F_i =\{\theta\}\).

Sugestão: Tomar \(f\in F\), tal que \(f(x)=p(x)+i(x)\) e mostrar que

\[p(x)=\frac12[f(x)+f(-x)] \quad e \quad i(x)=\frac12[f(x)-f(-x)]\]

Depois, mostrar que \(p=p(x)\) é uma função par e que \(i=i(x)\) é uma função ímpar.