Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Superior >> Álgebra Linear
Símbolo Delta de Kronecker
Ulysses Sodré

Material desta página

1 Introdução

A Álgebra Linear e o Cálculo Vetorial são muito importantes na Matemática, Física e nas Engenharias. Em Mecânica dos Fluídos, usamos o triplo produto vetorial \(u{\times}(v{\times}w){=}(u{\cdot}w)v{-}(u{\cdot}v)w\) e relações envolvendo o operador Laplaciano, como \(\nabla{\times}(\nabla{\times}u){=}\nabla(\nabla{\cdot}u){-}\nabla^2{u}\).

Trabalhar com estas expressões é difícil e precisamos de algumas identidades para simplificar o problema. Estes problemas ficam mais complicados em campos vetoriais 4D (tetra-dimensionais).

2 Vetores escritos na base canônica de R3

Usamos \(I_3=\{1,2,3\}\) para o conjunto dos três primeiros números naturais e \(R^3\) denota o espaço vetorial cartesiano tridimensional, com eixos \(OX\), \(OY\) e \(OZ\). A base canônica de \(R^3\) é formada pelos vetores \(\mathbf{e_1}=(1,0,0)\), \(\mathbf{e_2}=(0,1,0)\), \(\mathbf{e_3}=(0,0,1)\), que são unitários (medindo 1 unidade). Na Física, tais vetores também são denotados por \(i,j,k\), que são vetores mutuamente ortogonais, isto é, dois a dois, formam ângulos de 90 graus.

Todo vetor de \(v\in R^3\) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores canônicos de \(R^3\), como:

\[v=(v_1,v_2,v_3)=v_1\mathbf{e_1}+v_2\mathbf{e_2}+v_3\mathbf{e_3}=\sum_{i=1}^3 v_i\mathbf{e_i}=v_i\mathbf{e_i}\]

e cada componente de \(v\) pode ser escrita como o produto escalar:

\[v_i = v\cdot\mathbf{e_i}\]

3 A notação de Einstein para a soma

Uma forma para simplificar somas é usar a convenção de soma de Einstein, onde os sinais de soma não aparecem mais. Neste trabalho, os termos em cor , indicam a convenção de Einstein. Mostramos o poder desta notação, escrevendo várias expressões da Álgebra Linear com a notação de Einstein.

Regras para a soma de Einstein:

  1. Devemos retirar todos os sinais de soma.
  2. Se um sufixo aparece duas vezes, existe uma soma. Na expressão seguinte, o índice \(i\) é mudo ou repetido:
    \[\sum_{i=1}^3 a_ib_i =a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 = \color{red}{a_ib_i}\]
  3. Se um indice aparece apenas uma única vez, ele pode assumir qualquer valor, ou seja, \(i=1\) ou \(i=2\) ou \(i=3\). O índice \(i\) é livre em:
    \[a_i=b_i, \qquad (i=1,2,3)\]
    Nota: Pode existir mais que um índice livre. Sempre analise se os índices livres aparecem em ambos os lados de uma equação, mas é errado escrever algo como: \(a_j=b_i\).
  4. Um dado sufixo não deve aparecer mais que duas vezes em qualquer termo da expressão.
    Nota: Sempre verifique que não existem mais que dois índices iguais. Por exemplo. é errado escrever: \(a_ib_ic_i\).

Exemplo: Todo vetor \(v\in R^3\), pode ser escrito em uma forma simplificada:

\[v=(\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\mathbf{w_3}) = \mathbf{v_1}\mathbf{e_1} + \mathbf{v_2}\mathbf{e_2} + \mathbf{w_3}\mathbf{e_3} = \sum_{i=1}^3 \mathbf{v_i} \mathbf{e_i} = \color{red}{\mathbf{v_i}\mathbf{e_i}}\]

4 Produto Escalar entre os vetores canônicos de R3

O produto escalar entre dois vetores \(u\) e \(v\) pode ser definido por

\[u \cdot v = |u| |v|\cos(\theta)\]

onde \(\theta\) é o ângulo formado pelos vetores \(u\) e \(v\).

Por exemplo, se \(u=\mathbf{e_1}\) e \(v=\mathbf{e_2}\), então \(u \cdot v = |\mathbf{e_1}| |\mathbf{e_2}| \cos(\pi/2)= 0\).

Podemos realizar 9 produtos escalares com os três vetores canônicos:

\[\begin{matrix} \mathbf{e_1}{\cdot}\mathbf{e_1}=1, & \mathbf{e_1}{\cdot}\mathbf{e_2}=0, & \mathbf{e_1}{\cdot}\mathbf{e_3}=0, \\ \mathbf{e_2}{\cdot}\mathbf{e_1}=0, & \mathbf{e_2}{\cdot}\mathbf{e_2}=1, & \mathbf{e_2}{\cdot}\mathbf{e_3}=0, \\ \mathbf{e_3}{\cdot}\mathbf{e_1}=0, & \mathbf{e_3}{\cdot}\mathbf{e_2}=0, & \mathbf{e_3}{\cdot}\mathbf{e_3}=0. \end{matrix}\]

Simplificando, podemos escrever todos estes 9 produtos escalares como:

\[\mathbf{e_i} \cdot \mathbf{e_j} = \left\{\begin{matrix} 1 & \text{se} & i=j \\ 0 & \text{se} & i\neq j \end{matrix}\right.\]

O produto escalar também pode ser obtido em função das coordenadas dos vetores. Se

\[\begin{matrix} u=(\mathbf{u_1},\mathbf{u_2},\mathbf{u_3}) = \mathbf{u_1}\mathbf{e_1}+\mathbf{u_2}\mathbf{v_2}+\mathbf{u_3}\mathbf{e_3} = \sum_{i=1}^3 \mathbf{u_i}\mathbf{e_i} = \color{red}{\mathbf{u_i}\mathbf{e_i}} \\ v=(\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\mathbf{w_3}) = \mathbf{v_1}\mathbf{e_1}+\mathbf{v_2}\mathbf{e_2}+\mathbf{w_3}\mathbf{e_3} = \sum_{j=1}^3 \mathbf{v_j}\mathbf{e_j} = \color{red}{\mathbf{v_j}\mathbf{e_j}} \end{matrix}\]

então, o produto escalar entre os vetores \(u\) e \(v\) é obtido por:

\begin{align} u \cdot v &= (\sum_{i=1}^3 \mathbf{u_i}\mathbf{e_i}) \cdot (\sum_{j=1}^3 \mathbf{v_j}\mathbf{e_j}) \\ &= \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \mathbf{u_i}\mathbf{v_j} \mathbf{e_i} \cdot \mathbf{e_j} \\ &= \sum_{i=1}^3 \mathbf{u_i}\mathbf{v_i} = \color{red}{\mathbf{u_i}\mathbf{v_i}} \end{align}

O mesmo produto escalar, pode ser obtido com a notação simplificada:

\[u \cdot v =(\mathbf{u_i}\mathbf{e_i})\cdot(\mathbf{v_j}\mathbf{e_j}) = \mathbf{u_i}\mathbf{v_j} (\mathbf{e_i}\cdot\mathbf{e_j}) = \color{red}{\mathbf{u_i}\mathbf{v_i}}\]

5 Produto de uma matriz por um vetor-coluna

\[\mathbf{y} = \mathbf{A} \mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}\]

Na notação de Einstein, escrevemos apenas:

\[y_i = a_{ij} x_j\]

O índice mudo \(j\) não repetido possui significado especial e só índices repetidos do mesmo lado da equação realizam soma.

6 Produto de um vetor-linha por uma matriz

\[\mathbf{y} = \mathbf{x} \mathbf{A}\\ \begin{pmatrix} y_1 & y_2 & y_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\]

Na notação de Einstein, escrevemos como:

\[y_j = x_i a_{ij}\]

Nota: Devemos ter muito cuidado com os índices! Observe a diferença na ordem dos indices nestes produtos.

  1. De matriz por vetor-coluna: \(y_i = a_{ij} x_j\).
  2. De vetor-linha por matriz : \(y_j = x_i a_{ij}\).

7 Delta de Kronecker

O Delta de Kronecker é definido por

\[\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1 & \text{se} & i=j \\ 0 & \text{se} & i\neq j \end{matrix}\right.\]

Exemplos:

  1. \(\delta_{ij}=\delta{ji}\).
  2. \(\mathbf{u_i} \delta_{ij} = \sum_{i=1}^3 \mathbf{u_i} \delta_{ij} = \mathbf{u_j} \delta_{jj} = \mathbf{u_j}\)
  3. \(\mathbf{v_j} \delta_{ji} = \mathbf{v_i}\)
  4. \(\delta_{1j}\delta_{j1} = \delta_{2j}\delta_{j2} = \delta_{3j}\delta_{j3}=1\)
  5. \(\delta_{ij}\delta_{ji} = \delta_{1j}\delta_{j1}+\delta_{2j}\delta_{j2}+\delta_{3j}\delta_{j3}=3\)
  6. se \(i\) e \(k\) são arbitrários mas fixados, então \(\delta_{ij}\delta_{jk}=\delta_{ik}\).

Usando a função delta de Kronecker, podemos escrever

\[\mathbf{e_i}{\cdot}\mathbf{e_j} = \delta_{ij}\]

Se \(u,v\in R^3\), então

\[\begin{matrix} u=(\mathbf{u_1},\mathbf{u_2},\mathbf{u_3})=\mathbf{u_1}\mathbf{e_1}+\mathbf{u_2}\mathbf{v_2}+\mathbf{u_3}\mathbf{e_3}=\sum_{i=1}^3\mathbf{u_i}\mathbf{e_i} = \color{red}{\mathbf{u_i}\mathbf{e_i}} \\ v=(\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\mathbf{w_3})=\mathbf{v_1}\mathbf{e_1}+\mathbf{v_2}\mathbf{v_2}+\mathbf{w_3}\mathbf{e_3}=\sum_{j=1}^3\mathbf{v_j}\mathbf{e_j} = \color{red}{\mathbf{v_j}\mathbf{e_j}} \end{matrix}\]

Com o delta de Kronecker, escrevemos o produto escalar entre \(u\) e \(v\), como:

\begin{align} u \cdot v &= (\sum_{i=1}^3 \mathbf{u_i}\mathbf{e_i}) \cdot (\sum_{j=1}^3 \mathbf{v_j}\mathbf{e_j}) \\ &= \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \mathbf{u_i}\mathbf{v_j} (\mathbf{e_i}{\cdot}\mathbf{e_j}) = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \mathbf{u_i}\mathbf{v_j} \delta_{ij} \\ &= \sum_{i=1}^3 \mathbf{u_i}\mathbf{v_i} \delta_{ii} = \sum_{i=1}^3 \mathbf{u_i}\mathbf{v_i} = \color{red}{\mathbf{u_i}\mathbf{v_i}} \end{align}

A \(j\)-ésima componente de um vetor \(u\) sobre é obtida pelo produto escalar entre \(u\) e \(\mathbf{e_j}\), isto é:

\begin{align} u \cdot \mathbf{e_j} &= \left(\sum_{i=1}^3 \mathbf{u_i}\mathbf{e_i} \right) \cdot \mathbf{e_j} \\ &= \sum_{i=1}^3 \mathbf{u_i} (\mathbf{e_i} \cdot \mathbf{e_j}) = \sum_{i=1}^3 \mathbf{u_i} \delta_{ij} = \color{red}{\mathbf{u_j}} \end{align}

que também pode ser obtida com a notação simplificada:

\[u \cdot \mathbf{e_j} = (\mathbf{u_i}\mathbf{e_i}) \cdot \mathbf{e_j} = \mathbf{u_i} (\mathbf{e_i}\cdot\mathbf{e_j}) = \mathbf{u_i} \delta_{ij} = \color{red}{\mathbf{u_j}}\]

Exercício: Analisar a expressão desenvolvida:

\begin{align} u &= \sum_{i=1}^3 \mathbf{u_i}\delta_{ij} \\ &= \mathbf{u_1}\delta_{1j} + \mathbf{u_2}\delta_{2j} + \mathbf{u_3}\delta_{3j} \\ &= (u\cdot\mathbf{e_1})\delta_{1j} +(u\cdot\mathbf{e_2})\delta_{2j} +(u\cdot\mathbf{e_3})\delta_{3j} \\ &= \sum_{i=1}^3 (u\cdot\mathbf{e_i})\delta_{ij} =\color{red}{(u\cdot\mathbf{e_i})\delta_{ij}} \end{align}

8 Permutações com três elementos

Uma permutação \(\pi\) em \(I_3=\{1,2,3\}\) é uma função bijetora \(\pi:I_3 \to I_3\). Por exemplo, a função \(\pi:I_3\to I_3\), definida por \(\pi(1)=1\), \(\pi(2)=2\) e \(\pi(3)=3\) é uma permutação, conhecida como a permutação identidade.

Domínio Imagem
1 1
2 2
3 3

Exemplo: A função \(\pi:I_3 \to I_3\), definida por \(\pi(1)=1\), \(\pi(2)=3\) e \(\pi(3)=2\) é uma permutação, onde ocorre uma troca entre os elementos \(2\) e \(3\).

Domínio Imagem
1 1
2 3
3 2

Teorema: Seja \(X\) um conjunto finito não vazio e \(f:X \to X\). \(f\) é bijetora se, e somente se, \(f\) é injetora se, e somente se, \(f\) sobrejetora.

Notações mais simples para permutações são:

\[\pi = \binom{123}{132} = (132)\]

onde \(\pi(1)=1\), \(\pi(2)=3\) e \(\pi(3)=2\), sendo que os números da parte superior indicam o domínio e os número da parte inferior indicam a imagem da (função) permutação.

Nota: Existem \(3!=6\) permutações em \(I_3\), que são:

\[\begin{matrix} \pi_1=\binom{123}{123}, \pi_2=\binom{123}{132}, \pi_3=\binom{123}{213}, \\ \pi_4=\binom{123}{231}, \pi_5=\binom{123}{312}, \pi_6=\binom{123}{321}. \end{matrix}\]

Podemos obter o número de trocas necessárias para transformar os números da imagem de forma a obter o número \((123)\).

  1. Em \(\pi_1 = \binom{123}{123}\), a imagem já está na forma \((123)\).
  2. Em \(\pi_2 = \binom{123}{132}\), a imagem está na forma \((132)\). Com 1 troca entre os números 2 e 3 da imagem obtemos \((123)\).
  3. Em \(\pi_3 = \binom{123}{213}\), a imagem está na forma \((213)\). Com 1 troca entre os números 1 e 2 da imagem obtemos \((123)\).
  4. Em \(\pi_4 = \binom{123}{231}\), a imagem está na forma \((231)\). Com 1 troca entre os números 1 e 3 da imagem obtemos \((213)\). Ainda devemos trocar os números 1 e 2 da nova imagem para obter \((123)\). Neste caso, realizamos 2 trocas.
  5. Em \(\pi_5 = \binom{123}{312}\), a imagem está na forma \((312)\). Com 1 troca entre os números 1 e 3 da imagem obtemos \((132)\). Ainda devemos trocar os números 2 e 3 da nova imagem para obter \((123)\). Neste caso, realizamos 2 trocas.
  6. Em \(\pi_6 = \binom{123}{321}\), a imagem está na forma \((321)\). Com 1 troca entre os números 1 e 2 da imagem obtemos \((312)\). Com mais 1 troca entre os números 1 e 3 da nova imagem, obtemos \((132)\). Ainda devemos trocar os números 2 e 3 da nova imagem para obter \((123)\). Neste caso, realizamos 3 trocas.

O sinal de uma permutação, é obtido por

\[\sigma(\pi) = \text{sinal}(\pi) = (-1)^N\]

onde \(N\) é o número de trocas da permutação \(\pi\).

Uma tabela resume estas informações com os sinais das permutações:

Número de trocas Permutação sinal
par par +1
ímpar ímpar -1

9 Produto vetorial entre os vetores canônicos de R3

O produto vetorial entre dois vetores \(v\in R^3\) e \(w\in R^3\) pode ser definido por

\[v \times w = |v|\; |w| \; U \sin(\theta)\]

onde \(\theta\) é o ângulo formado pelos vetores \(v\) e \(w\) e \(U\) é um vetor unitário ortogonal ao vetor \(v\) e também ortogonal ao vetor \(w\).

Exemplo:

  1. Se \(v=w=\mathbf{e_1}\), então \(\mathbf{e_1}\times\mathbf{e_1}=|\mathbf{e_1}|\;|\mathbf{e_1}|\;\mathbf{e_3}\sin(0)=\theta\);
  2. Se \(v=\mathbf{e_1}\) e \(w=\mathbf{e_2}\), então \(\mathbf{e_1}\times\mathbf{e_2}=|\mathbf{e_1}|\;|\mathbf{e_2}|\;\mathbf{e_3}\sin(\pi/2)=\mathbf{e_3}\).

Os 9 produtos vetoriais entre os três vetores canônicos são:

\[\begin{matrix} \mathbf{e_1}\times\mathbf{e_1}=\quad\;0, \; & \mathbf{e_1}\times\mathbf{e_2}=+\mathbf{e_3}, \; & \mathbf{e_1}\times\mathbf{e_3}=-\mathbf{e_2}, \\ \mathbf{e_2}\times\mathbf{e_1}=-\mathbf{e_3}, \; & \mathbf{e_2}\times\mathbf{e_2}=\quad\;0, \; & \mathbf{e_2}\times\mathbf{e_3}=+\mathbf{e_1}, \\ \mathbf{e_3}\times\mathbf{e_1}=-\mathbf{e_2}, \; & \mathbf{e_3}\times\mathbf{e_2}=-\mathbf{e_1}, \; & \mathbf{e_3}\times\mathbf{e_3}=\quad\;0. \end{matrix}\]

que também podem ser obtidos como:

\[\begin{matrix} i \times i=\;\;0, & i\times j=+k, & i \times k=-j, \\ j \times i=-k, & j\times j=\;\;0, & j \times k=+i, \\ k \times i=-j, & k\times j=-i, & k \times k=\;\;0. \end{matrix}\]

sendo que usamos o círculo em anexo, que se assemelha à regra da mão esquerda, para obter facilmente os produtos vetoriais em \(R^3\):

Nota: O vetor \(u\) ocupa a posição do dedo médio, o vetor \(v\) ocupa a posição do dedo indicador e o vetor \(u{\times}v\) ocupa a posição do dedo polegar.

O produto entre dois vetores iguais é o vetor nulo, mas, o produto entre vetores distintos \(\mathbf{e_i}\) e \(\mathbf{e_j}\) do triângulo é realizado no sentido:

  1. anti-horário, o resultado é o terceiro vetor \(\mathbf{e_k}\) do triângulo com o sinal positivo, significando que a permutação de \((i,j,k)\) é par.
  2. horário, o resultado é o terceiro vetor \(\mathbf{e_k}\) do triângulo com o sinal negativo, significando que a permutação de \((i,j,k)\) é ímpar.

Nota: Se os índices dos vetores \(\mathbf{e_i}\) e \(\mathbf{e_j}\):

  1. são \(i=j\) ou \(i=k\) ou \(j=k\), o produto vetorial é nulo, mas
  2. se os índices dos três vetores \(\mathbf{e_i}\), \(\mathbf{e_j}\) e \(\mathbf{e_k}\) (nessa ordem)
    1. indicam uma permutação par, o produto vetorial é \(+\mathbf{e_k}\);
    2. indicam uma permutação ímpar, o produto vetorial é \(-\mathbf{e_k}\).