Nesta página definimos potências de matrizes, polinômios de matrizes, polinômio característico e a partir de exemplos numéricos, construímos as demonstrações preliminares para n=2 e para n=3, para gerar a demonstração geral para uma matriz quadrada arbitrária.
William Rowan Hamilton (1805-1865), nasceu em Dublin na Irlanda. O teorema de Cayley-Hamilton é um resultado dado em 1858.
Seja A=An×n uma matriz com n linhas e n colunas. Definimos recursivamente as potências da matriz A com expoente natural n {0,1,2,3,...} através de
sendo A 0=In a matriz identidade com n linhas e n colunas.
Exemplo: Se
A = |
|
---|
então A 0=I, A 1=A e
A² = |
|
. |
|
= |
|
---|
Para obter A³, basta usar a recursividade, como:
A³ = A² . A = |
|
. |
|
= |
|
---|
Observação: Se uma matriz A tem ordem 2, então A² pode ser escrita como combinação linear das matrizes A e I2, isto é, existem escalares p0 e p1 do corpo que estamos trabalhando tal que
Da mesma forma, se a matriz A tem ordem 3, então A³ pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes A², A e I2, isto é, existem escalares p0, p1 e p2 no corpo tal que
Seja a função polinomial da variável x, definida por
Definimos a função polinomial de uma matriz A, relativa a esta função p=p(x) através de
De um ponto de vista elementar, é como substituir a variável x pela matriz A.
Exemplo: Se p(x)=x²−4x+5 uma função polinomial associada à matriz quadrada A, então p(A)=A²−4A+5I. Se tomarmos a matriz
A = |
|
---|
então
p(A)=A²−4A+5I = |
|
−4 |
|
+5 |
|
= |
|
---|
Se aplicarmos a matriz A ao polinômio p(x)=x²−4x+3, obteremos a função polinomial de matrizes
p(A)=A²−4A+3I = |
|
−4 |
|
+3 |
|
= |
|
---|
Observação: Como A²−4A+3I=0, podemos expressar A² como uma combinação linear das matrizes A e I2, isto é: A²=4A−3I2, como já tínhamos observado antes.
Você pode encontrar mais detalhes sobre este assunto vendo o nosso link sobre Autovalores.
Exemplo: Seja a matriz de ordem 2 definida por:
A = |
|
---|
Por definição, o polinômio característico associado à matriz A é:
p(x) = det(A−x I2) = det |
|
= (1−x)(3−x)= x²−4x+3 |
---|
O polinômio p(x)=x²−4x+3 associado à matriz A tem a forma
e observamos que
p(A) = |
|
− |
|
+ |
|
= |
|
---|
e verificamos que A é um zero deste polinômio de matrizes, que é um caso particular de um dos mais importantes teoremas da Álgebra Linear.
Exemplo (caso n=2): Mostraremos que se
A = |
|
---|
e p=p(x) é o polinômio característico associado à matriz A, então p(A)=0.
O polinômio característico p=p(x) associado à matriz A pode ser escrito como:
onde I2 é a matriz identidade de ordem 2.
Ao substituir x por A em p=p(x), podemos garantir a existência de escalares p1 e p2 tal que p(A) pode ser escrito como uma combinação linear de A², A e de I2, logo
Tomando a matriz B(x) como a transposta da matriz dos cofatores de A−x I2, isto é, B(x)=adj(A−x I2). Como cada cofator é obtido como um determinante da matriz A−x I2, pela eliminação de uma linha e uma coluna, segue que cada elemento da matriz B=B(x) só poderá possuir potências de x com expoentes menores ou iguais a 1 e a matriz matriz B=B(x) será escrita como uma combinação linear das matrizes quadradas B1, B0 de ordem 2 com coeficientes escalares na variável x, da forma:
sendo que as matrizes B1 e B0 são independentes de x.
Pela definição de matriz adjunta, segue que
Tomando Z=A−x I2 e p(x)=det(A−x I2), segue que
Como B(x)=adj(A−x I2), segue que
O desenvolvimento de (A−x I2).B(x), que é o membro da esquerda da igualdade acima, fornece:
(A−x I2).B(x) | = | (A−x I2)(x B1 + B0) |
---|---|---|
= | A (x B1 + B0) −x I2 (x B1 + B0) | |
= | x A B1 + A B0 −x² B1 − x B0 | |
= | x² [−B1] + x[A B1 − B0] + [A B0] |
Como o membro da direita da igualdade anterior é dado por:
Pela identidade de polinômios matriciais, obtemos a igualdade de diversas matrizes:
I2 | = | −B1 |
---|---|---|
p1 I2 | = | A B1 − B0 |
p2 I2 | = | A B0 |
Multiplicando a primeira igualdade por A², a segunda por A e a terceira por I2, obtemos
A² I2 | = | −A² B1 |
---|---|---|
p1 A I2 | = | +A² B1 −A B0 |
p2 I2 | = | +A B0 |
Somando membro a membro, obtemos à esquerda a expressão de p(A) e à direita a matriz nula, em virtude do cancelamento que ocorre entre as matrizes, isto é,
Exemplo (caso n=3): Mostraremos que se
A = |
|
---|
e p=p(x) é o polinômio característico associado à matriz A, então p(A)=0.
O polinômio característico p=p(x) associado à matriz A pode ser escrito como:
onde I3 é a matriz identidade de ordem 3.
Ao substituir x por A em p=p(x), podemos garantir que existem escalares p1, p2 e p3 tal que a matriz p(A) pode ser escrita como uma combinação linear de A³, A², A e de I2, logo
Tomaremos a matriz B(x) como a transposta da matriz dos cofatores de A−x I3, isto é, B(x)=adj(A−x I3). Como cada elemento cofator da matriz B=B(x) é obtido como um determinante da matriz A−x I3, pela eliminação de uma linha e uma coluna, segue que cada elemento da matriz B=B(x) só poderá possuir potências de x com expoentes menores ou iguais a 2 e a matriz matriz B=B(x) será escrita como uma combinação linear de matrizes quadradas B2, B1, B0 de ordem 3 com coeficientes escalares na variável x, da forma:
Observamos que as matrizes B2, B1 e B0 são independentes de x.
Pela definição de matriz adjunta, segue que
Tomando Z=A−x I3 e p(x)=det(A−x I3), segue que
Como B(x)=adj(A−x I3), segue que
O membro esquerdo da igualdade acima é o desenvolvimento de (A−x I3)B(x), isto é:
(A−x I3).B(x) | = | (A−x I3)(x² B2 + x B1 + B0) |
---|---|---|
= | A (x² B2 + x B1 + B0) −x I3 (x² B2 + x B1 + B0) | |
= | x² A B2 + x A B1 + A B0 −x³ B2 − x² B1 − x B0 | |
= | x³ [−B2] + x²[A B2 − B1] + x[A B1 − B0] + [A B0] |
O membro da direita da igualdade anterior, obtido pelo desenvolvimento de p(x) I3 é:
Pela identidade de polinômios matriciais, obtemos a igualdade de diversas matrizes:
−I3 | = | −B2 |
---|---|---|
p1 I3 | = | A B2 − B1 |
p2 I3 | = | A B1 − B0 |
p3 I3 | = | A B0 |
Multiplicando a primeira igualdade por A³, a segunda por A², a terceira por A e a quarta por I3, obtemos
−A³ I3 | = | −A³ B2 |
---|---|---|
p1 A² I3 | = | +A³ B2 − A² B1 |
p2 A I3 | = | +A² B1 − A B0 |
p3 I3 | = | +A B0 |
Somando membro a membro, obtemos à esquerda a expressão de p(A) e à direita a matriz nula, em virtude do cancelamento que ocorre entre as matrizes, isto é,
Se p=p(x) é o polinômio característico associado à matriz A, então p(A)=0, onde 0 é a matriz nula de mesma ordem de A.
Demonstração: Demonstraremos que toda matriz quadrada A é um zero do seu próprio polinômio característico p=p(x).
Seja a matriz quadrada A=aij de ordem n:
A = |
|
---|
e p=p(x) o polinômio característico associado à matriz A. Assim
p(A) = det(A−x In) = det |
|
---|
Este polinômio pode ser escrito na forma
O polinômio de matrizes p(A) associado a p=p(x) é obtido ao substituir x por A, significando que existem escalares p1, p2,...,pn tal que p(A) pode ser expresso como uma combinação linear das potências Ak com k=0,1,2,...,n, assim
onde In é a matriz identidade de ordem n.
Se tomarmos a matriz B(x) como a transposta da matriz dos cofatores de A−x In, obteremos, B(x)=adj(A−x In). Como cada cofator é obtido como um determinante da matriz A−x In, pela eliminação de uma linha e uma coluna, segue que cada elemento da matriz B=B(x) só poderá possuir potências da forma xk com k<n.
A matriz B=B(x) pode ser escrita como uma combinação linear de matrizes quadradas Bn−1, Bn−2,...,B2, B1 e B0 de ordem n com coeficientes escalares na variável x, da forma:
sendo as matriz Bi independentes de x.
Pela definição de matriz adjunta, segue que
Tomando Z=A−x In e p(x)=det(A−x In), segue que
Como B(x)=adj(A−x In), segue que
O desenvolvimento de (A−x In)B(x), que é o membro da esquerda da igualdade acima, fornece:
(A−x In).B(x) | = | (A−x In).(x n−1 Bn−1 + x n−2 Bn−2 + ... + x B1 + B0) |
---|---|---|
= | A.(x n−1 Bn−1 + x n−2 Bn−2 + ... + x B1 + B0) | |
−x In (x n−1 Bn−1 + x n−2 Bn−2 + ... + x B1 + B0) | ||
= | x n−1 ABn−1 + x n−2 ABn−2 + ... + x AB1 + AB0 | |
−x n Bn−1 − x n−1 Bn−2 − ... − x² B1 − x B0 | ||
= | −x n Bn−1 +x n−1[−Bn−2+ABn−1] +x n−2[−Bn−3+ABn−2] | |
+ ... | ||
+ x² [−B1 +AB2] +x [−B0 + AB1] +A B0 |
Como o membro da direita da igualdade anterior é dado por:
Pela identidade de polinômios matriciais, obtemos a igualdade de diversas matrizes cujos coeficientes são os mesmos, isto é:
(−1) n In | = | −Bn−1 | |
---|---|---|---|
p1 In | = | −Bn−2 | +ABn−1 |
p2 In | = | −Bn−3 | +ABn−2 |
p3 In | = | −Bn−4 | +ABn−3 |
... | = | ... | ... |
pn−2 In | = | −B1 | + AB2 |
pn−1 In | = | −B0 | + AB1 |
pn In | = | + AB0 |
Multiplicando a primeira igualdade por An, a segunda por A n−1, a terceira por A n−2 e contínuando até a última potência A 0=In, obtemos
(−1) n An | = | −A n Bn−1 | |
---|---|---|---|
p1 A n−1 | = | −A n−1 Bn−2 | +A n Bn−1 |
p2 A n−2 | = | −A n−2 Bn−3 | +A n−1 Bn−2 |
p3 A n−3 | = | −A n−3 Bn−4 | +A n−2 Bn−3 |
... | = | ... | ... |
pn−3 A | = | −A³ B2 | + A 4 B3 |
pn−2 A | = | −A² B1 | + A³ B2 |
pn−1 A | = | −A 1 B0 | + A² B1 |
pn In | = | + A 1 B0 |
Somando membro a membro, obtemos a expressão de p(A) à esquerda da igualdade, enquanto que a soma à direita gera a matriz nula, em virtude do cancelamento que ocorre entre as matrizes, isto é,
F. Ayres Jr. Matrizes. McGraw-Hill do Brasil. Rio de Janeiro. 1971
C. Boyer. História da Matemática. Edgard Blücher. S.Paulo. Pag.424-427. 1974
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