Matemática Essencial

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Bases Canônicas

Ulysses Sodré

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1 Bases Canônicas

1 Bases Canônicas

Para construir uma base \(B=\{e_1, e_2,..., e_n\}\) para o espaço \(R^n\) precisamos de um conjunto maximal de vetores linearmente independentes (LI) desse espaço, que pode ser:

\[B = \{ e_1=(1,0,...,0), e_2=(0,1,0,...,0), ..., e_n=(0,0,...,0,1) \} \]

Este conjunto é denominado a base canônica de \(R^n\).

Da mesma forma, para construir uma base para o espaço vetorial \(P_n[x]\) dos polinômios de grau menor ou igual a \(n\) precisamos dos monômios \(1, x, x^2,...,x^n\) e uma base canônica para este espaço é obtida por:

\[P = \{ p_0(x)=1, p_1(x)=x^1, p_2(x)=x^2, p_3(x)=x^3,..., p_n(x)=x^n \} \]

A base canônica do espaço \(R^2\) é

\[B_2 = \{ e_1=(1,0), e_2=(0,1) \} \]

e a base canônica do espaço \(R^3\) é

\[B_3 = \{ e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1) \}.\]

A base canônica do espaço vetorial das matrizes \(M_{2{\times}2}\) (duas linhas e duas colunas) tendo entradas reais é

\[M = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \cr 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \cr 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \cr 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}\]