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Seja \(V\) um espaço vetorial de dimensão \(n\) sobre um corpo \(K\), A uma matriz quadrada de ordem \(n\) e \(T:V\to V\) uma transformação linear, definida por
Pergunta: Será que existe algum vetor \(v\in V\), cuja imagem pela transformação \(T\) tenha a mesma direção que o vetor \(v\), ou seja, será que existe um escalar \(k\in K\) tal que
É claro que o vetor nulo tem essa propriedade para qualquer escalar, mas notamos que o vetor nulo não pode ser utilizado em uma base do espaço vetorial \(V\), objetivo fundamental no contexto do estudo de autovalores e autovetores.
Estamos procurando escalares \(k\in K\) para os quais
Subjacente ao processo de descoberta desses escalares e vetores estão as soluções de muitos problemas aplicados da Matemática, Física, Engenharias Civil e Elétrica, etc.
Seja \(A\) uma matriz quadrada de ordem \(n\) sobre um corpo \(K\). Se existe um escalar \(k\in K\) e um vetor \(v\neq\theta\) tal que
este escalar \(k\) é denominado um autovalor de \(A\) e \(v\) é um autovetor associado a este escalar \(k\).
Sinônimos para a palavra autovalor são: valor próprio e valor característico.
Exemplo 1: Seja uma matriz \(A\) e um vetor genérico \(v\) tal que:
Observamos que:
Procuramos escalares \(k\) tal que \(Av=kv\), isto é:
Na verdade, devemos resolver o sistema de equações:
com a condição que \(v=(x,y,z)\neq (0,0,0)\).
Temos três possibilidades para os autovalores:
Neste caso específico, concluímos que para cada autovalor existe um único autovetor associado.
Exemplo 2: Seja agora uma matriz \(A\) e um vetor genérico \(v\) tal que:
Procuramos escalares \(k\) tal que \(Av=kv\), isto é:
Basta resolver o sistema de equações
exigindo que \(v=(x,y,z)\neq (0,0,0)\).
Existem duas possibilidades para os autovalores.
Neste caso, notamos que para o autovalor \(k=1\) existe apenas um autovetor, mas para o autovalor \(k=2\) existem dois autovetores.
Exemplo 3: Seja agora uma matriz \(A\) e um vetor genérico \(v\) tal que:
Procuramos escalares \(k\) tal que \(Av=kv\), isto é:
Basta resolver o sistema de equações
com a condição que \(v=(x,y,z)\neq (0,0,0)\).
Existe um único autovalor \(k=2\). Realmente, se \(x\neq 0\) ou \(y\neq 0\) ou \(z\neq 0\) ou \(xyz\neq 0\) então \(k=2\), garantindo que existem infinitas opções para \(x\), \(y\) e \(z\), mas vamos escolher três bastante simples:
Neste caso, observamos que o mesmo autovalor \(k=2\) gerou três autovetores.
Levando em consideração os três exemplos, tem sentido definir o conceito de autoespaço associado a cada autovalor.
Se \(k\) é um autovalor de uma matriz \(A\), definimos o auto-espaço associado a \(k\) como o conjunto de todos os vetores obtidos pela combinação linear dos autovetores associados a \(k\). Denotamos este conjunto por:
Proposição: O conjunto \(S_k\) é um subespaço vetorial de \(V\) gerado pelos autovetores associados a \(k\).
Demonstração: O vetor nulo não é um autovetor mas \(0\in S_k\) pois \(A\theta=k\theta=\theta\).
Se \(v\in S_k\) e \(w\in S_k\), então \(Av=kv\) e \(Aw=kw\), logo
e concluímos que \(v+w\in S_k\).
Analogamente, se \(v\in S_k\) e \(k\in K\), então:
e concluímos que \(kv\in S_k\).
Ao invés de trabalhar diretamente com a resolução de sistemas como nos exemplos, existe um processo mais simples para obter os autovalores de \(A\).
Seja \(A\) uma matriz \(n{\times}n\) sobre \(K\). Definimos o polinômio característico de \(A\) como:
Exemplo: Seja a matriz definida por:
Assim:
Algumas vezes vemos na literatura o polinômio característico da matriz A definido na forma trocada
Lema: Seja \(M\) uma matriz quadrada de ordem \(n{\times}n\). Um sistema \(Mv=0\) tem solução não trivial se, e somente se, \(\det(M)=0\).
Teorema: Os autovalores de uma matriz quadrada \(A\) de ordem \(n{\times}n\) são zeros do polinômio característico de \(A\), isto é, são escalares \(k\) para os quais \(f(k)=0\).
Demonstração: Os autovalores da matriz \(A\) podem ser obtidos a partir da existência de escalares \(k\) e vetores não nulos \(v=(x,y,z)^t\) para os quais
Este sistema pode ser reescrito como:
ou seja
e este sistema tem uma solução não trivial se, e somente se, o determinante da matriz \(kI-A\) é nulo (consequência da Regra de Cramer), isto é:
Notamos que \(\det(A-kI)\) é uma função polinomial na variável \(k\), daí indicarmos esta expressão por:
A partir deste Teorema podemos obter os autovetores se resolvermos o sistema
Exemplo: Seja a matriz dada por
O polinômio característico associado à matriz \(A\) é
Como a soma dos coeficientes deste polinômio é igual a zero, segue que \(k=1\) é um zero de \(f=f(k)\) e temos que \(f(1)=0\). Assim dividimos este polinômio por \((k-1)\) para obter a forma decomposta:
e usando a fórmula quadrática (que não é de Bhaskara), obtemos:
o que significa que os autovalores de \(A\) são \(k=1\), \(k=1\) e \(k=2\).
Em geral, o sistema \((kI-A)v=0\) toma a forma
Para \(k=1\), o sistema toma a forma:
e este sistema se reduz a apenas uma equação \(x-y-z=0\).
Como temos duas variáveis livres, podemos escrever \(x=y+z\), para obter valores para \(x\) em função de \(y\) e de \(z\).
Se \(y=1\) e \(z=0\) então \(x=1\) e \(v_1=(1,1,0)^t\) é um autovetor. Se \(y=0\) e \(z=1\) então \(x=1\) e \(v_2=(1,0,1)^t\) é outro autovetor.
Para \(k=2\), o sistema toma a forma:
e este sistema se reduz a apenas uma relação \(x=y=z\) e tomando \(x=y=z=1\), obtemos o terceiro autovetor de \(A\): \(v_3=(1,1,1)^t\).
Duas matrizes \(A\) e \(B\) são semelhantes, se existe uma matriz inversível \(P\) tal que
Exercício: Seja a matriz \(A\) do exemplo anterior:
Exercício: Considere uma matriz \(A\) (com autovalores complexos) definida por:
Mostrar que o polinômio característico de \(A\) é dado por: \(f(k)=k^3-k^2-1\).
Para obter os autovalores de \(A\), devemos resolver a equação \(f(k)=0\), cujos zeros são:
Uma matriz \(M\) é ortogonal se \(M^{-1}=M^t\).
Exemplo: Uma típica matriz ortogonal é a matriz de rotação de \(\theta\) radianos, definida por:
pois a inversa de \(R_{\theta}\) é igual à transposta de \(R_{\theta}\).
Seja a curva plana determinada pela forma quadrática \(ax^2+2bxy+cy^2=d\) onde \(a^2+b^2+c^2\neq 0\).
Podemos reescrever o membro da esquerda da equação acima como:
onde
Pergunta: Será que podemos escrever \(x\) e \(y\) em função de duas novas variáveis \(x_1\) e \(y_1\) de modo que a nova forma quadrática nas novas variáveis \(x_1\) e \(y_1\) não possui o termo misto \(x_1y_1\) para que a forma quadrática esteja na forma canônica?
Uma resposta adequada é dada pela rotação de eixos, uma vez que o termo em \(xy\) que aparece na equação acima é responsável pela inclinação dos eixos principais associados à curva no sistema cartesiano.
Como a matriz de rotação de radianos é dada por:
podemos realizar a mudança de variáveis com:
Tomando a relação acima, podemos escrever:
Para simplificar um pouco, tomamos \(P=R_{\theta}\) e como esta matriz \(P\) é ortogonal, podemos escrever a relação na forma:
Escolhendo adequadamente o valor de \(\theta\) em função das constantes \(a\), \(b\) e \(c\) da forma quadrática, podemos escrever a matriz:
e a nova forma quadrática não contém o termo misto \(x_1y_1\), pois:
Conclusão: Os valores \(k_1\) e \(k_2\) são os autovalores da matriz \(A\) e a matriz \(P\) é a matriz cujas colunas são os autovetores obtidos a partir da matriz \(A\).
Seja a equação diferencial ordinária (EDO)
O polinômio característico associado a esta EDO é dado por:
cujos zeros (autovalores) são \(k_1=1\) e \(k_2=2\). Assim, as autofunções (autovetores) são: \(y_1(x)=\exp(k_1 x)\) e \(y_2(x)=\exp(k_2 x)\), garantindo que o conjunto de autofunções (autovetores) é:
e a solução geral da EDO é a combinação linear dos elementos de W: