Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Superior >> Álgebra Linear
Adjunta de uma Matriz
Ulysses Sodré

Material desta página

1 O papel da matriz adjunta

Aqui, apresentamos primeiramente o determinante menor de uma matriz quadrada de ordem \(n\). Em seguida, definimos determinante menor complementar e usando tal definição exibimos o determinante cofator. Logo após, mostramos a definição de matriz cofatora de uma matriz quadrada para os casos \(n=2\) e \(n=3\).

A definição de matriz adjunta, que foi exibida na sequência, é de fundamental importância na determinação da matriz inversa de uma matriz quadrada de ordem \(n\) (quando existir) e também na demonstração do Teorema de Cayley-Hamilton.

Mostramos ainda, a definição de característica de uma matriz, primeiramente para matrizes quadradas e depois para uma matriz retangular. No final, exibimos algumas propriedades das matrizes adjuntas e algumas referências bibliográficas.

2 Determinante menor de uma matriz quadrada

Dada uma matriz quadrada \(A=(a_{ij})\) de ordem \(n\), o determinante menor da matriz \(A\), ou simplesmente menor de \(A\), como o determinante de uma submatriz quadrada de ordem menor ou igual a \(n\).

Exemplo: Seja a matriz quadrada de ordem 3:

\[M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \cr 2 & 3 & 4 \cr 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}\]
  1. Menor de ordem 3: A própria matriz M possui um determinante de ordem 3.
  2. Menor de ordem 2: A matriz M tem 3 linhas e 3 colunas e possui 9 submatrizes de ordem 2 e o determinante de cada uma dessas 9 submatrizes recebe o nome de determinante menor de ordem 2. Se retirarmos a segunda linha e a segunda coluna da matriz, obteremos a submatriz
    \[S_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \cr 3 & 7 \end{pmatrix}\]
    cujo determinante é \(d_{22}=-2\).
  3. Menor de ordem 1: Esta mesma matriz M possui também 9 submatrizes de ordem 1 e cada determinante menor de ordem 1 é dado por \(d_{ij}=a_{ij}\). Por exemplo: Para a matriz quadrada nula de ordem 2:
    \[M = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\]
    o determinante de ordem 2 é nulo e todos os 4 determinantes de ordem 1 são nulos.

3 Determinante menor complementar

Seja \(A\) uma matriz quadrada de ordem \(n\geq 1\) da forma

\[A_{n{\times}n} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1j} & ... & a_{1n} \cr a_{21} & a_{22} & ... & a_{2j} & ... & a_{2n} \cr ... & ... & ... & ... & ... & ... \cr a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{ij} & ... & a_{in} \cr ... & ... & ... & ... & ... & ... \cr a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nj} & ... & a_{nn} \end{pmatrix}\]

O determinante menor complementar (ou menor complementar) de \(A\) relativo ao elemento \(a_{ij}\), denotado por \(D_{ij}\), é o determinante da matriz quadrada obtida de \(A\) pela retirada da linha \(i\) e da coluna \(j\), que contém o elemento \(a_{ij}\) considerado. O menor complementar \(D_{ij}\) é um número real obtido como:

\[D_{ij} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & ... & a_{1,n-1} & a_{1n} \cr a_{21} & a_{22} & ... & a_{2,j-1} & a_{2,j+1} & ... & a_{2,n-1} & a_{2n} \cr ... & ... & ... & a_{3,j-1} & a_{3,j+1} & ... & ... & ... \cr a_{i-1,1} & a_{i-1,2}& ... & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & ... & a_{i-1,n-1} & a_{i-1,n}\cr a_{i+1,1} & a_{i+1,2}& ... & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & ... & a_{i+1,n-1} & a_{i+1,n}\cr ... & ... & ... & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & ... & ... & ... \cr a_{n-1,1} & a_{n-1,2}& ... & a_{n-1,j-1} & a_{n-1,j+1} & ... & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n}\cr a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & ... & a_{n,n-1} & a_{nn} \end{vmatrix}\]

A linha \(i\) e a coluna \(j\) da matriz \(A\) foram eliminadas para gerar este determinante.

Exemplo: Para a matriz de ordem \(n=2\), definida por

\[A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix}\]

Obtemos quatro menores complementares, que são

\[\begin{matrix} D_{11}{=}\det(5){=}5 & D_{12}{=}\det(3){=}3 \cr D_{21}{=}\det(2){=}2 & D_{22}{=}\det(1){=}1 \end{matrix}\]

pois o determinante de uma matriz de ordem 1 é o próprio elemento, isto é, se \(A=[a]\), então \(\det(A)=a\).

Exemplo: Para a matriz de ordem \(n=3\), definida por

\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

temos nove menores complementares:

\[\begin{matrix} D_{11}=\begin{vmatrix}1&2\cr 0&1\end{vmatrix}=1 \quad D_{12}=\begin{vmatrix}0&2\cr 0&1\end{vmatrix}=0 \quad D_{13}=\begin{vmatrix}0&1\cr 0&0\end{vmatrix}=0 \cr D_{21}=\begin{vmatrix}1&2\cr 0&1\end{vmatrix}=1 \quad D_{22}=\begin{vmatrix}2&2\cr 0&1\end{vmatrix}=2 \quad D_{23}=\begin{vmatrix}2&1\cr 0&0\end{vmatrix}=0 \cr D_{31}=\begin{vmatrix}1&2\cr 1&2\end{vmatrix}=0 \quad D_{32}=\begin{vmatrix}2&2\cr 0&2\end{vmatrix}=4 \quad D_{33}=\begin{vmatrix}2&1\cr 0&1\end{vmatrix}=2 \end{matrix}\]

4 Determinante cofator (ou cofator)

O determinante cofator (ou cofator) de uma matriz quadrada \(A=(a_{ij})\) de ordem \(n\geq 1\) de um elemento \(a_{ij}\) da matriz \(A\) como o número \(A_{ij}=(-1)^{i+j} D_{ij}\), em que \(D_{ij}\) é o menor complementar do elemento \(a_{ij}\) na matriz \(A\).

Exemplo: Para a matriz de ordem \(n=2\)

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix}\]

obtemos quatro cofatores que são

\[\begin{array}{rcr} A_{11} & =(-1)^{1+1}D_{11} = (+1)5 = & 5 \\ A_{12} & =(-1)^{1+2}D_{12} = (-1)3 = & -3 \\ A_{21} & =(-1)^{2+1}D_{21} = (-1)2 = & -2 \\ A_{22} & =(-1)^{2+2}D_{22} = (+1)1 = & 1 \end{array}\]

Exemplo: Para a matriz de ordem \(n=3\)

\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

temos nove cofatores que são

\[\begin{array}{lll} A_{11}=(-1)^{1+1} D_{11}= 1 & A_{12}=(-1)^{1+2} D_{12}= 0 & A_{13}=(-1)^{1+3} D_{13}= 0 \cr A_{21}=(-1)^{2+1} D_{21}=-1 & A_{22}=(-1)^{2+2} D_{22}= 2 & A_{23}=(-1)^{2+3} D_{23}= 0 \cr A_{31}=(-1)^{3+1} D_{31}= 0 & A_{32}=(-1)^{3+2} D_{32}=-4 & A_{33}=(-1)^{3+3} D_{33}= 2 \end{array}\]

5 Matriz cofatora (ou Cofatora)

A matriz dos cofatores da matriz quadrada \(A=(a_{ij})\) de ordem \(n\), denotada por \(\text{cof}(A)\), é a matriz obtida pela substituição de cada elemento \(a_{ij}\) de \(A\) pelo seu respectivo cofator \(A_{ij}\).

Exemplo: Seja a matriz de ordem \(n=2\)

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix}\]

a matriz cofatora de \(A\) é:

\[\text{cof}(A) = \begin{pmatrix} 5 & -3 \cr -2 & 1 \end{pmatrix}\]

Exemplo: Caso \(n=3\): Se

\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

então a matriz cofatora de \(A\) é:

\[\text{cof}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr -1 & 2 & 0 \cr 0 & -4 & 2 \end{pmatrix}\]

6 Adjunta de uma matriz

A matriz adjunta da matriz quadrada \(A=(a_{ij})\) de ordem \(n\), denotada por \(\text{adj}(A)\), é a transposta da matriz dos cofatores de \(A\), isto é,

\[\text{adj}(A) = [\text{cof}(A)]^t\]

Exemplo: Considere a matriz de ordem \(n=2\) definida por

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix}\]

Assim

\[\text{adj}(A) = [\text{cof}(A)]^t = = \begin{pmatrix} 5 & -3 \cr -2 & 1 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 5 & -2 \cr -3 & 1 \end{pmatrix}\]

Exemplo: Seja a matriz mais geral de ordem \(n=2\). Se

\[A = \begin{pmatrix} a & b \cr c & d \end{pmatrix}\]

então

\[\text{cof}(A) = \begin{pmatrix} d & -c \cr -b & a \end{pmatrix}\]

e

\[\text{adj}(A) = [\text{cof}(A)]^t = \begin{pmatrix} d & -b \cr -c & a \end{pmatrix}\]

Nota: A adjunta de uma matriz quadrada de ordem 2 da forma

\[A = \begin{pmatrix} a & b \cr c & d \end{pmatrix}\]

é obtida pela troca das posições dos elementos da diagonal principal e pela troca do sinais dos elementos da diagonal secundária e o determinante da adjunta é igual ao determinante da matriz original:

\[\det[\text{adj}(A)] = ad-bc = \det(A)\]

Exemplo: Caso \(n=3\): Para

\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

a matriz adjunta é:

\[\text{adj}(A) = [\text{cof}(A)]^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr -1 & 2 & 0 \cr 0 & -4 & 2 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \cr 0 & 2 & -4 \cr 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\]

Exemplo: Seja a matriz quadrada de ordem \(n=2\):

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix}\]

Assim, \(\det(A)=|A|=-1\), logo a sua matriz adjunta é

\[\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 5 & -2 \cr -3 & 1 \end{pmatrix}\]

Como \(\det[\text{adj}(A)]=-1\), podemos escrever

\[A\;\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -2 \cr -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \cr 0 & -1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & 1 \end{pmatrix} = |A| I_2\]

Temos ainda que

\[\text{adj}(A)\;A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \cr -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \cr 0 & -1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & 1 \end{pmatrix} = |A| I_2\]

onde \(I_2\) é a identidade de ordem 2.

Nota: Em particular, se as matrizes têm ordem \(n=2\), temos que:

  1. O produto das matrizes \(A\) e \(\text{adj}(A)\) é comutativo, isto é:
    \[A\;\text{adj}(A) = \text{adj}(A)\;A = \det(A) I_2\]
  2. O produto dos determinantes das matrizes \(A\) e \(\text{adj}(A)\) é igual ao quadrado do determinante da matriz \(A\), isto é,
    \[\det[\text{adj}(A)] \det(A) = \det(A) \det[\text{adj}(A)] = [\det(A)]^2\]
  3. Os determinantes das matrizes \(\text{adj}(A)\) e \(A\) são iguais, isto é,
    \[\det[\text{adj}(A)] = \det(A)\]

7 Característica de uma matriz quadrada

A característica de uma matriz quadrada \(A=(a_{ij})\) de ordem \(n\) é um número \(r\) (\(1\leq r\leq n\)) que indica que pelo menos um dos determinantes menores de ordem \(r\) é diferente de zero e todos os menores quadrados de ordem maior que \(r\) são nulos.

Exemplos:

  1. A característica de uma matriz nula é zero.
  2. A característica da matriz identidade de ordem \(n\) é igual a \(n\).
  3. Se uma matriz \(A\) tem inversa, isto é, \(\det(A)\neq 0\), então a característica de \(A\) é a ordem da matriz \(A\).
  4. Se uma matriz \(A\) não tem inversa, isto é, \(\det(A)=0\), então a característica de \(A\) é estritamente menor que a ordem da matriz \(A\).
  5. A matriz \(A=(a_{ij})\) definida por
    \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]
    tem característica \(r=2\), pois \(\det(A)=0\) pois a terceira linha é a soma das duas primeiras linhas, ou seja, a terceira linha é a combinação linear das linhas anteriores, mas
    \[\det \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & 1 \end{pmatrix} = 1\]
  6. Para a matriz \(B=(b_{ij})\) definida por
    \[B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
    segue que \(\det(B)=0\) e todos os determinantes menores de ordem 2 são nulos, mas a característica de \(A\) é \(r=1\), pois existe pelo menos uma submatriz de ordem 1 que é não nula, isto é, \(\det[1]=1\).
  7. Seja a matriz \(C=(c_{ij})\) definida por \[C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \cr 2 & 3 & 4 \cr 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}\] segue que \(\det(C)=0\) pois a terceira linha é a soma das duas primeiras linhas, ou seja, a terceira linha é a combinação linear das linhas anteriores, mas a característica de \(C\) é \(r=2\), pois
    \[\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 2 & 3 \end{pmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 2 \cr 2 & 3 \end{vmatrix}=-1\]
  8. Considere a matriz \(D=(d_{ij})\) tal que
    \[D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \cr 1 & 3 & 6 \cr 2 & 5 & 9 \end{pmatrix}\]
    Aqui \(\det(D)=0\), pois a terceira linha é a soma das duas primeiras linhas, ou seja, a terceira linha é combinação linear das linhas anteriores e a característica desta matriz é \(r=2\), pois
    \[\begin{vmatrix} 1 & 2 \cr 1 & 3 \end{vmatrix}= 1\]
  9. Para a matriz \(E=(e_{ij})\) definida por
    \[E = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \cr 0 & 4 & 6 \cr 0 & 6 & 9 \end{pmatrix}\]
    segue que \(\det(E)=0\), pois a terceira linha é a soma das duas primeiras linhas, ou seja, a terceira linha é combinação linear das linhas anteriores. A característica desta matriz é \(r=1\), pois cada um dos 9 menores de ordem 2 é 0, mas nem todo elemento é 0.
  10. A matriz quadrada \(F=(f_{ij})\) de ordem 2 definida por
    \[F = \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix}\]
    tem característica \(r=2\), pois \(\det(F)=-1\). 11. A matriz quadrada \(G=(g_{ij})\) de ordem 3 definida por
    \[G = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
    tem característica \(r=3\), pois \(\det(G)=2\). 12. Considere a matriz quadrada \(A=(a_{ij})\) definida por
    \[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix}\]
    Assim \(\det(A)=-1\). A adjunta de \(A\) é dada por
    \[\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 5 & -2 \cr -3 & 1 \end{pmatrix}\]
    e \(\det(\text{adj}(A))=-1\). Desse modo, temos que
    \[A\;\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -2 \cr -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \cr 0 & -1 \end{pmatrix} = |A| I_2\]
    Temos ainda que
    \[\text{adj}(A)\;A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \cr -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \cr 0 & -1 \end{pmatrix} = |A| I_2\]
    onde \(I_2\) é a identidade de ordem 2. Concluímos então que
    \[A\;\text{adj}(A) = \text{adj}(A)\;A = |A| I_2\]
  1. Tomando o produto dos determinantes das matrizes \(A\) e \(\text{adj}(A)\), obtemos:
    \[\det(A) \det(\text{adj}(A)) = [\det(A)]^2 = \det(\text{adj}(A)) \det(A)\]
    O produto dos determinantes das matrizes \(A\) e \(\text{adj}(A)\) é igual ao determinante da matriz \(A\) elevado à ordem da matriz \(A\). Como \(A\) é uma matriz quadrada de ordem \(2\) e como \(\det(A)\neq 0\), segue que a matriz é inversível, e
    \[\det(\text{adj}(A)) = (-1) = [\det(A)]^{2-1} = \det(A)\]
  1. Seja a matriz quadrada \(A=(a_{ij})\) definida por
\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

Assim, \(\det(A)=2\). O determinante dessa matriz é o produto dos elementos da diagonal principal, pois essa matriz é triangular (superior). A sua matriz adjunta é

\[\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \cr 0 & 2 & -4 \cr 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\]
  1. O determinante da matriz adjunta é o produto dos elementos da diagonal principal, pois a matriz adjunta é triangular (superior). Assim, \(\det(\text{adj}(A))=4\) e desse modo, temos que
\[\begin{array}{rll} A\;\text{adj}(A) &= \begin{pmatrix} 2&1&2 \cr 0&1&2 \cr 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&-1&0 \cr 0&2&-4 \cr 0&0&2 \end{pmatrix} \cr &= \begin{pmatrix} 2&0&0 \cr 0&2&0 \cr 0&0&2 \end{pmatrix} =2\begin{pmatrix} 1&0&0 \cr 0&1&0 \cr 0&0&1 \end{pmatrix} = \det(A)\;I_3 \end{array}\]

mas

\[\begin{array}{rll} \text{adj}(A)\;A &= \begin{pmatrix} 1&-1&0 \cr 0&2&-4 \cr 0&0&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&1&2 \cr 0&1&2 \cr 0&0&1 \end{pmatrix} \cr &= \begin{pmatrix} 2&0&0 \cr 0&2&0 \cr 0&0&2 \end{pmatrix} =2\begin{pmatrix} 1&0&0 \cr 0&1&0 \cr 0&0&1 \end{pmatrix} = \det(A)\;I_3 \end{array}\]

onde \(I_3\) é a identidade de ordem 3. Podemos concluir que

\[A\;\text{adj}(A) = \text{adj}(A)\;A = \det(A)\;I_3\]
  1. Tomando o produto dos determinantes das matrizes \(A\) e \(\text{adj}(A)\), obtemos:
  2. \[\det(A) \det(\text{adj}(A)] = [\det(A)]^3 = \det(\text{adj}(A)) \det(A)\]
  1. O produto dos determinantes das matrizes \(A=(a_{ij})\) e \(\text{adj}(A)\) é igual ao determinante da matriz \(A=(a_{ij})\) elevado à ordem da matriz \(A\). Como \(A\) é uma matriz quadrada de ordem 3 e como \(\det(A)\neq 0\), segue que a matriz é inversível e além disso
  2. \[\det(\text{adj}(A)) = 4 = 2^2 = [\det(A)]^{3-1} = [\det(A)]^2\]
  1. O determinante da adjunta da matriz \(A=(a_{ij})\) de ordem \(n\) é igual ao determinante da matriz \(A=(a_{ij})\) elevado à ordem de \(n-1\), isto é
  2. \[\det(\text{adj}(A)) = [\det(A)]^{n-1}\]

8 Característica de uma matriz retangular mxn

Seja \(A=(a_{ij})\) uma matriz de ordem \(m{\times}n\) (\(m\) linhas e \(n\) colunas). A característica da matriz \(A\) é um número \(r\), (\(1\leq r\leq \text{max}(m,n)\) que indica que existe pelo menos um determinante menor não nulo de ordem \(r\) e todos os determinantes menores de ordem maior do que \(r\) são nulos.

$Exemplo: Seja a matriz \(D=(d_{ij})\) tal que

\[D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \cr -7 & 0 & 6 \end{pmatrix}\]

A característica desta matriz é \(r=2\), pois

\[\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr -7 & 0 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \cr -7 & 0 \end{vmatrix} =14\]

e não existem menores complementares de ordem 3.

9 Algumas propriedades da adjunta

Nas propriedades seguintes, todas as matrizes \(A=(a_{ij})\) e \(B=(b_{ij})\) são quadradas.

  1. Se \(A\) é uma matriz de ordem \(n\) então \[A\;\text{adj}(A) = \det(A)\;I_n = \text{adj}(A)\;A\]
  2. Se \(A\) é uma matriz de ordem \(n\) então \[\det(A) \det[\text{adj}(A)] = [\det(A)]^n = \det[\text{adj}(A)] \det(A)\]
  3. Se \(A\) é uma matriz inversível de ordem \(n\), então \[\det(\text{adj}(A)) = \det(A)^{n-1}\]
  4. Se \(A\) é uma matriz não inversível de ordem \(n\), então \[A\;\text{adj}(A) = \text{adj}(A)\;A = \theta\]
  5. Se \(A\) é uma matriz de ordem 2, então \[\text{adj}[\text{adj}(A)] = A\]
  6. Se \(A\) e \(B=(b_{ij})\) são matrizes de mesma ordem \(n\), então \[\text{adj}(A\;B) = \text{adj}(B)\;\text{adj}(A)\]
  7. Se \(A\) é uma matriz inversível de ordem \(n\) então \[\text{adj}[\text{adj}(A)] = [\det(A)]^{n-2}\;A\]
  8. A adjunta de uma matriz de ordem 1 é a própria matriz.
  9. A adjunta de uma matriz diagonal é uma matriz diagonal.
  10. A adjunta de uma matriz escalar é uma matriz escalar.
  11. A adjunta de uma matriz triangular é uma matriz triangular.
  12. Se \(A\) é uma matriz simétrica, então a adjunta de \(A\) é uma matriz simétrica.
  13. Se \(A\) uma matriz de ordem \(n\) então \[\det[\text{adj}(\text{adj}(A))] = [\det(A)]^{2(n-1)}\]
  14. Se a matriz \(A\) de ordem \(n\) tem característica \(r=n-1\), então a adjunta de \(A\) tem característica 1.

Demonstração: Se a matriz \(A=(a_{ij})\) tem característica \(r=n-1\), então existe pelo menos um cofator não-nulo e a característica da adjunta de \(A\) é pelo menos 1.

10 Referências bibliográficas

  1. F. Ayres Jr. Matrizes Editora McGraw-Hill do Brasil, Ltda. Rio de Janeiro, 1971.
  2. C. Boyer. História da Matemática Edgard Blücher. S.Paulo. Pag.424-427. 1974.
  3. H. Eves. Introdução à História da Matemática Tradução de Hygino H. Domingues. 3a. ed. Campinas-SP: Editora da UNICAMP. Pag.552-556. 2002.
  4. P. R. Halmos. Finite-Dimensional Vector Spaces Van Nostrand Reinhold. second edition, New York, 1958.
  5. P. J. Kahn. Introducción al álgebra lineal Harper and Row Publ. 1970. Madrid.
  6. A. G. Kurosh. Curso de Álgebra Superior Editorial Mir. Moscu 1968.
  7. S. Lipschutz. Álgebra Linear Edit.McGraw-Hill do Brasil. 2a.ed., S.Paulo, 1974.
  8. L. H. Jacy Monteiro. Álgebra Linear vol.1. Liv.Nobel. 4a.ed., S.Paulo, 1969.
  9. L. H. Jacy Monteiro. Álgebra Linear vol.2. Liv.Nobel. 2a.ed., S.Paulo, 1970.
  10. F. Reza. Los espacios lineales en la ingeniería Edit.Reverté. Barcelona, 1977.
  11. G. C. Shepard. Vector Spaces of Finite Dimension Oliver,Boyd. London, 1966.