Matemática Essencial
Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil
Superior >> Álgebra Linear
Adjunta de uma Matriz
Ulysses Sodré
Material desta página
1 O papel da matriz adjunta
Aqui, apresentamos primeiramente o determinante menor de uma matriz quadrada de ordem \(n\). Em seguida, definimos determinante menor complementar e usando tal definição exibimos o determinante cofator. Logo após, mostramos a definição de matriz cofatora de uma matriz quadrada para os casos \(n=2\) e \(n=3\).
A definição de matriz adjunta, que foi exibida na sequência, é de fundamental importância na determinação da matriz inversa de uma matriz quadrada de ordem \(n\) (quando existir) e também na demonstração do Teorema de Cayley-Hamilton.
Mostramos ainda, a definição de característica de uma matriz, primeiramente para matrizes quadradas e depois para uma matriz retangular. No final, exibimos algumas propriedades das matrizes adjuntas e algumas referências bibliográficas.
2 Determinante menor de uma matriz quadrada
Dada uma matriz quadrada \(A=(a_{ij})\) de ordem \(n\), o determinante menor da matriz \(A\), ou simplesmente menor de \(A\), como o determinante de uma submatriz quadrada de ordem menor ou igual a \(n\).
Exemplo: Seja a matriz quadrada de ordem 3:
\[M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \cr 2 & 3 & 4 \cr 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}\]
- Menor de ordem 3: A própria matriz M possui um determinante de ordem 3.
- Menor de ordem 2: A matriz M tem 3 linhas e 3 colunas e possui 9 submatrizes de ordem 2 e o determinante de cada uma dessas 9 submatrizes recebe o nome de determinante menor de ordem 2. Se retirarmos a segunda linha e a segunda coluna da matriz, obteremos a submatriz
\[S_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \cr 3 & 7 \end{pmatrix}\]
cujo determinante é \(d_{22}=-2\).
- Menor de ordem 1: Esta mesma matriz M possui também 9 submatrizes de ordem 1 e cada determinante menor de ordem 1 é dado por \(d_{ij}=a_{ij}\).
Por exemplo: Para a matriz quadrada nula de ordem 2:
\[M = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\
0 & 0 \end{pmatrix}\]
o determinante de ordem 2 é nulo e todos os 4 determinantes de ordem 1 são nulos.
3 Determinante menor complementar
Seja \(A\) uma matriz quadrada de ordem \(n\geq 1\) da forma
\[A_{n{\times}n} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1j} & ... & a_{1n} \cr a_{21} & a_{22} & ... & a_{2j} & ... & a_{2n} \cr ... & ... & ... & ... & ... & ... \cr a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{ij} & ... & a_{in} \cr ... & ... & ... & ... & ... & ... \cr a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nj} & ... & a_{nn} \end{pmatrix}\]
O determinante menor complementar (ou menor complementar) de \(A\) relativo ao elemento \(a_{ij}\), denotado por \(D_{ij}\), é o determinante da matriz quadrada obtida de \(A\) pela retirada da linha \(i\) e da coluna \(j\), que contém o elemento \(a_{ij}\) considerado. O menor complementar \(D_{ij}\) é um número real obtido como:
\[D_{ij} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & ... & a_{1,n-1} & a_{1n} \cr a_{21} & a_{22} & ... & a_{2,j-1} & a_{2,j+1} & ... & a_{2,n-1} & a_{2n} \cr ... & ... & ... & a_{3,j-1} & a_{3,j+1} & ... & ... & ... \cr a_{i-1,1} & a_{i-1,2}& ... & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & ... & a_{i-1,n-1} & a_{i-1,n}\cr a_{i+1,1} & a_{i+1,2}& ... & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & ... & a_{i+1,n-1} & a_{i+1,n}\cr ... & ... & ... & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & ... & ... & ... \cr a_{n-1,1} & a_{n-1,2}& ... & a_{n-1,j-1} & a_{n-1,j+1} & ... & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n}\cr a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & ... & a_{n,n-1} & a_{nn} \end{vmatrix}\]
A linha \(i\) e a coluna \(j\) da matriz \(A\) foram eliminadas para gerar este determinante.
Exemplo: Para a matriz de ordem \(n=2\), definida por
\[A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix}\]
Obtemos quatro menores complementares, que são
\[\begin{matrix} D_{11}{=}\det(5){=}5 & D_{12}{=}\det(3){=}3 \cr D_{21}{=}\det(2){=}2 & D_{22}{=}\det(1){=}1 \end{matrix}\]
pois o determinante de uma matriz de ordem 1 é o próprio elemento, isto é, se \(A=[a]\), então \(\det(A)=a\).
Exemplo: Para a matriz de ordem \(n=3\), definida por
\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
temos nove menores complementares:
\[\begin{matrix} D_{11}=\begin{vmatrix}1&2\cr 0&1\end{vmatrix}=1 \quad D_{12}=\begin{vmatrix}0&2\cr 0&1\end{vmatrix}=0 \quad D_{13}=\begin{vmatrix}0&1\cr 0&0\end{vmatrix}=0 \cr D_{21}=\begin{vmatrix}1&2\cr 0&1\end{vmatrix}=1 \quad D_{22}=\begin{vmatrix}2&2\cr 0&1\end{vmatrix}=2 \quad D_{23}=\begin{vmatrix}2&1\cr 0&0\end{vmatrix}=0 \cr D_{31}=\begin{vmatrix}1&2\cr 1&2\end{vmatrix}=0 \quad D_{32}=\begin{vmatrix}2&2\cr 0&2\end{vmatrix}=4 \quad D_{33}=\begin{vmatrix}2&1\cr 0&1\end{vmatrix}=2 \end{matrix}\]
4 Determinante cofator (ou cofator)
O determinante cofator (ou cofator) de uma matriz quadrada \(A=(a_{ij})\) de ordem \(n\geq 1\) de um elemento \(a_{ij}\) da matriz \(A\) como o número \(A_{ij}=(-1)^{i+j} D_{ij}\), em que \(D_{ij}\) é o menor complementar do elemento \(a_{ij}\) na matriz \(A\).
Exemplo: Para a matriz de ordem \(n=2\)
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix}\]
obtemos quatro cofatores que são
\[\begin{array}{rcr}
A_{11} & =(-1)^{1+1}D_{11} = (+1)5 = & 5 \\
A_{12} & =(-1)^{1+2}D_{12} = (-1)3 = & -3 \\
A_{21} & =(-1)^{2+1}D_{21} = (-1)2 = & -2 \\
A_{22} & =(-1)^{2+2}D_{22} = (+1)1 = & 1
\end{array}\]
Exemplo: Para a matriz de ordem \(n=3\)
\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
temos nove cofatores que são
\[\begin{array}{lll} A_{11}=(-1)^{1+1} D_{11}= 1 & A_{12}=(-1)^{1+2} D_{12}= 0 & A_{13}=(-1)^{1+3} D_{13}= 0 \cr A_{21}=(-1)^{2+1} D_{21}=-1 & A_{22}=(-1)^{2+2} D_{22}= 2 & A_{23}=(-1)^{2+3} D_{23}= 0 \cr A_{31}=(-1)^{3+1} D_{31}= 0 & A_{32}=(-1)^{3+2} D_{32}=-4 & A_{33}=(-1)^{3+3} D_{33}= 2 \end{array}\]
5 Matriz cofatora (ou Cofatora)
A matriz dos cofatores da matriz quadrada \(A=(a_{ij})\) de ordem \(n\), denotada por \(\text{cof}(A)\), é a matriz obtida pela substituição de cada elemento \(a_{ij}\) de \(A\) pelo seu respectivo cofator \(A_{ij}\).
Exemplo: Seja a matriz de ordem \(n=2\)
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix}\]
a matriz cofatora de \(A\) é:
\[\text{cof}(A) = \begin{pmatrix} 5 & -3 \cr -2 & 1 \end{pmatrix}\]
Exemplo: Caso \(n=3\): Se
\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
então a matriz cofatora de \(A\) é:
\[\text{cof}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr -1 & 2 & 0 \cr 0 & -4 & 2 \end{pmatrix}\]
6 Adjunta de uma matriz
A matriz adjunta da matriz quadrada \(A=(a_{ij})\) de ordem \(n\), denotada por \(\text{adj}(A)\), é a transposta da matriz dos cofatores de \(A\), isto é,
\[\text{adj}(A) = [\text{cof}(A)]^t\]
Exemplo: Considere a matriz de ordem \(n=2\) definida por
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix}\]
Assim
\[\text{adj}(A) = [\text{cof}(A)]^t = = \begin{pmatrix} 5 & -3 \cr -2 & 1 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 5 & -2 \cr -3 & 1 \end{pmatrix}\]
Exemplo: Seja a matriz mais geral de ordem \(n=2\). Se
\[A = \begin{pmatrix} a & b \cr c & d \end{pmatrix}\]
então
\[\text{cof}(A) = \begin{pmatrix} d & -c \cr -b & a \end{pmatrix}\]
e
\[\text{adj}(A) = [\text{cof}(A)]^t = \begin{pmatrix} d & -b \cr -c & a \end{pmatrix}\]
Nota: A adjunta de uma matriz quadrada de ordem 2 da forma
\[A = \begin{pmatrix} a & b \cr c & d \end{pmatrix}\]
é obtida pela troca das posições dos elementos da diagonal principal e pela troca do sinais dos elementos da diagonal secundária e o determinante da adjunta é igual ao determinante da matriz original:
\[\det[\text{adj}(A)] = ad-bc = \det(A)\]
Exemplo: Caso \(n=3\): Para
\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
a matriz adjunta é:
\[\text{adj}(A) = [\text{cof}(A)]^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr -1 & 2 & 0 \cr 0 & -4 & 2 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \cr 0 & 2 & -4 \cr 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\]
Exemplo: Seja a matriz quadrada de ordem \(n=2\):
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix}\]
Assim, \(\det(A)=|A|=-1\), logo a sua matriz adjunta é
\[\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 5 & -2 \cr -3 & 1 \end{pmatrix}\]
Como \(\det[\text{adj}(A)]=-1\), podemos escrever
\[A\;\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -2 \cr -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \cr 0 & -1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & 1 \end{pmatrix} = |A| I_2\]
Temos ainda que
\[\text{adj}(A)\;A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \cr -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \cr 0 & -1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & 1 \end{pmatrix} = |A| I_2\]
onde \(I_2\) é a identidade de ordem 2.
Nota: Em particular, se as matrizes têm ordem \(n=2\), temos
que:
- O produto das matrizes \(A\) e \(\text{adj}(A)\) é comutativo, isto é:
\[A\;\text{adj}(A) = \text{adj}(A)\;A = \det(A) I_2\]
- O produto dos determinantes das matrizes \(A\) e \(\text{adj}(A)\) é igual ao quadrado do determinante da matriz \(A\), isto é,
\[\det[\text{adj}(A)] \det(A) = \det(A) \det[\text{adj}(A)] = [\det(A)]^2\]
- Os determinantes das matrizes \(\text{adj}(A)\) e \(A\) são iguais, isto é,
\[\det[\text{adj}(A)] = \det(A)\]
7 Característica de uma matriz quadrada
A característica de uma matriz quadrada \(A=(a_{ij})\) de ordem \(n\) é um número \(r\) (\(1\leq r\leq n\)) que indica que pelo menos um dos determinantes menores de ordem \(r\) é diferente de zero e todos os menores quadrados de ordem maior que \(r\) são nulos.
Exemplos:
- A característica de uma matriz nula é zero.
- A característica da matriz identidade de ordem \(n\) é igual a \(n\).
- Se uma matriz \(A\) tem inversa, isto é, \(\det(A)\neq 0\), então a característica de \(A\) é a ordem da matriz \(A\).
- Se uma matriz \(A\) não tem inversa, isto é, \(\det(A)=0\), então a característica de \(A\) é estritamente menor que a ordem da matriz \(A\).
- A matriz \(A=(a_{ij})\) definida por
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]
tem característica \(r=2\), pois \(\det(A)=0\) pois a terceira linha é a soma das duas primeiras linhas, ou seja, a terceira linha é a combinação linear das linhas anteriores, mas
\[\det \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & 1 \end{pmatrix} = 1\]
- Para a matriz \(B=(b_{ij})\) definida por
\[B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
segue que \(\det(B)=0\) e todos os determinantes menores de ordem 2 são nulos, mas a característica de \(A\) é \(r=1\), pois existe pelo menos uma submatriz de ordem 1 que é não nula, isto é, \(\det[1]=1\).
- Seja a matriz \(C=(c_{ij})\) definida por
\[C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \cr 2 & 3 & 4 \cr 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}\]
segue que \(\det(C)=0\) pois a terceira linha é a soma das duas primeiras linhas, ou seja, a terceira linha é a combinação linear das linhas anteriores, mas a característica de \(C\) é \(r=2\), pois
\[\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 2 & 3 \end{pmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 2 \cr 2 & 3 \end{vmatrix}=-1\]
- Considere a matriz \(D=(d_{ij})\) tal que
\[D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \cr 1 & 3 & 6 \cr 2 & 5 & 9 \end{pmatrix}\]
Aqui \(\det(D)=0\), pois a terceira linha é a soma das duas primeiras linhas, ou seja, a terceira linha é combinação linear das linhas anteriores e a característica desta matriz é \(r=2\), pois
\[\begin{vmatrix} 1 & 2 \cr 1 & 3 \end{vmatrix}= 1\]
- Para a matriz \(E=(e_{ij})\) definida por
\[E = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \cr 0 & 4 & 6 \cr 0 & 6 & 9 \end{pmatrix}\]
segue que \(\det(E)=0\), pois a terceira linha é a soma das duas primeiras linhas, ou seja, a terceira linha é combinação linear das linhas anteriores. A característica desta matriz é \(r=1\), pois cada um dos 9 menores de ordem 2 é 0, mas nem todo elemento é 0.
- A matriz quadrada \(F=(f_{ij})\) de ordem 2 definida por
\[F = \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix}\]
tem característica \(r=2\), pois \(\det(F)=-1\). 11. A matriz quadrada \(G=(g_{ij})\) de ordem 3 definida por
\[G = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
tem característica \(r=3\), pois \(\det(G)=2\). 12. Considere a matriz quadrada \(A=(a_{ij})\) definida por
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix}\]
Assim \(\det(A)=-1\). A adjunta de \(A\) é dada por
\[\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 5 & -2 \cr -3 & 1 \end{pmatrix}\]
e \(\det(\text{adj}(A))=-1\). Desse modo, temos que
\[A\;\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 5 & -2 \cr -3 & 1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -1 & 0 \cr 0 & -1 \end{pmatrix} = |A| I_2\]
Temos ainda que
\[\text{adj}(A)\;A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \cr -3 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 3 & 5 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -1 & 0 \cr 0 & -1 \end{pmatrix} = |A| I_2\]
onde \(I_2\) é a identidade de ordem 2. Concluímos então que
\[A\;\text{adj}(A) = \text{adj}(A)\;A = |A| I_2\]
- Tomando o produto dos determinantes das matrizes \(A\) e \(\text{adj}(A)\), obtemos:
\[\det(A) \det(\text{adj}(A)) = [\det(A)]^2 = \det(\text{adj}(A)) \det(A)\]
O produto dos determinantes das matrizes \(A\) e \(\text{adj}(A)\) é igual ao determinante da matriz \(A\) elevado à ordem da matriz \(A\). Como \(A\) é uma matriz quadrada de ordem \(2\) e como \(\det(A)\neq 0\), segue que a matriz é inversível, e
\[\det(\text{adj}(A)) = (-1) = [\det(A)]^{2-1} = \det(A)\]
- Seja a matriz quadrada \(A=(a_{ij})\) definida por
\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
Assim, \(\det(A)=2\). O determinante dessa matriz é o produto dos elementos da diagonal principal, pois essa matriz é triangular (superior). A sua matriz adjunta é
\[\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \cr 0 & 2 & -4 \cr 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\]
- O determinante da matriz adjunta é o produto dos elementos da diagonal principal, pois a matriz adjunta é triangular (superior). Assim, \(\det(\text{adj}(A))=4\) e desse modo, temos que
\[\begin{array}{rll} A\;\text{adj}(A) &= \begin{pmatrix} 2&1&2 \cr 0&1&2 \cr 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&-1&0 \cr 0&2&-4 \cr 0&0&2 \end{pmatrix} \cr &= \begin{pmatrix} 2&0&0 \cr 0&2&0 \cr 0&0&2 \end{pmatrix} =2\begin{pmatrix} 1&0&0 \cr 0&1&0 \cr 0&0&1 \end{pmatrix} = \det(A)\;I_3 \end{array}\]
mas
\[\begin{array}{rll} \text{adj}(A)\;A &= \begin{pmatrix} 1&-1&0 \cr 0&2&-4 \cr 0&0&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&1&2 \cr 0&1&2 \cr 0&0&1 \end{pmatrix} \cr &= \begin{pmatrix} 2&0&0 \cr 0&2&0 \cr 0&0&2 \end{pmatrix} =2\begin{pmatrix} 1&0&0 \cr 0&1&0 \cr 0&0&1 \end{pmatrix} = \det(A)\;I_3 \end{array}\]
onde \(I_3\) é a identidade de ordem 3. Podemos concluir que
\[A\;\text{adj}(A) = \text{adj}(A)\;A = \det(A)\;I_3\]
- Tomando o produto dos determinantes das matrizes \(A\) e \(\text{adj}(A)\), obtemos:
\[\det(A) \det(\text{adj}(A)] = [\det(A)]^3 = \det(\text{adj}(A)) \det(A)\]
- O produto dos determinantes das matrizes \(A=(a_{ij})\) e \(\text{adj}(A)\) é igual ao determinante da matriz \(A=(a_{ij})\) elevado à ordem da matriz \(A\). Como \(A\) é uma matriz quadrada de ordem 3 e como \(\det(A)\neq 0\), segue que a matriz é inversível e além disso
\[\det(\text{adj}(A)) = 4 = 2^2 = [\det(A)]^{3-1} = [\det(A)]^2\]
- O determinante da adjunta da matriz \(A=(a_{ij})\) de ordem \(n\) é igual ao determinante da matriz \(A=(a_{ij})\) elevado à ordem de \(n-1\), isto é
\[\det(\text{adj}(A)) = [\det(A)]^{n-1}\]
8 Característica de uma matriz retangular mxn
Seja \(A=(a_{ij})\) uma matriz de ordem \(m{\times}n\) (\(m\) linhas e \(n\) colunas). A característica da matriz \(A\) é um número \(r\), (\(1\leq r\leq \text{max}(m,n)\) que indica que existe pelo menos um determinante menor não nulo de ordem \(r\) e todos os determinantes menores de ordem maior do que \(r\) são nulos.
$Exemplo: Seja a matriz \(D=(d_{ij})\) tal que
\[D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \cr -7 & 0 & 6 \end{pmatrix}\]
A característica desta matriz é \(r=2\), pois
\[\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr -7 & 0 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \cr -7 & 0 \end{vmatrix} =14\]
e não existem menores complementares de ordem 3.
9 Algumas propriedades da adjunta
Nas propriedades seguintes, todas as matrizes \(A=(a_{ij})\) e \(B=(b_{ij})\) são quadradas.
- Se \(A\) é uma matriz de ordem \(n\) então
\[A\;\text{adj}(A) = \det(A)\;I_n = \text{adj}(A)\;A\]
- Se \(A\) é uma matriz de ordem \(n\) então
\[\det(A) \det[\text{adj}(A)] = [\det(A)]^n = \det[\text{adj}(A)] \det(A)\]
- Se \(A\) é uma matriz inversível de ordem \(n\), então
\[\det(\text{adj}(A)) = \det(A)^{n-1}\]
- Se \(A\) é uma matriz não inversível de ordem \(n\), então
\[A\;\text{adj}(A) = \text{adj}(A)\;A = \theta\]
- Se \(A\) é uma matriz de ordem 2, então
\[\text{adj}[\text{adj}(A)] = A\]
- Se \(A\) e \(B=(b_{ij})\) são matrizes de mesma ordem \(n\), então
\[\text{adj}(A\;B) = \text{adj}(B)\;\text{adj}(A)\]
- Se \(A\) é uma matriz inversível de ordem \(n\) então
\[\text{adj}[\text{adj}(A)] = [\det(A)]^{n-2}\;A\]
- A adjunta de uma matriz de ordem 1 é a própria matriz.
- A adjunta de uma matriz diagonal é uma matriz diagonal.
- A adjunta de uma matriz escalar é uma matriz escalar.
- A adjunta de uma matriz triangular é uma matriz triangular.
- Se \(A\) é uma matriz simétrica, então a adjunta de \(A\) é uma matriz simétrica.
- Se \(A\) uma matriz de ordem \(n\) então
\[\det[\text{adj}(\text{adj}(A))] = [\det(A)]^{2(n-1)}\]
- Se a matriz \(A\) de ordem \(n\) tem característica \(r=n-1\), então a adjunta de \(A\) tem característica 1.
Demonstração: Se a matriz \(A=(a_{ij})\) tem característica \(r=n-1\), então existe pelo menos um cofator não-nulo e a característica da adjunta de \(A\) é pelo menos 1.
10 Referências bibliográficas
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