O papel da matriz adjunta

Nesta página, apresentamos primeiramente o determinante menor de uma matriz quadrada de ordem n. Em seguida, definimos determinante menor complementar e utilizando tal definição exibimos o determinante cofator.

Logo após, mostramos a definição de matriz cofatora de uma matriz quadrada de ordem n para os casos n=2 e n=3.

A definição de matriz adjunta, que foi exibida na sequência, é de fundamental importância na determinação da matriz inversa de uma matriz quadrada de ordem n (quando existir) e também na demonstração do Teorema de Cayley-Hamilton.

Mostramos ainda, a definição de característica de uma matriz, primeiramente para matrizes quadradas e depois para uma matriz retangular.

Finalmente, exibimos algumas propriedades das matrizes adjuntas e as referências bibliográficas.

Determinante menor de uma matriz quadrada

Dada uma matriz quadrada A=(a_ij) de ordem n, definimos determinante menor da matriz A, ou simplesmente menor de A, como o determinante de uma submatriz quadrada de ordem menor ou igual a n.

Exemplo: Consideremos a matriz quadrada de ordem 3:

1. Menor de ordem 3: A própria matriz M possui um determinante de ordem 3.

2. Menor de ordem 2: A matriz M tem 3 linhas e 3 colunas e possui 9 submatrizes de ordem 2 e o determinante de cada uma dessas 9 submatrizes recebe o nome de determinante menor de ordem 2. Se retirarmos a segunda linha e a segunda coluna da matriz, obteremos a submatriz

   S22 =	1 3 3 7

   cujo determinante é d₂₂=−2.

3. Menor de ordem 1: Esta mesma matriz M possui também 9 submatrizes de ordem 1 e cada determinante menor de ordem 1 é dado por d_ij=a_ij.

Exemplo: Consideremos a matriz quadrada nula de ordem 2:

O determinante de ordem 2 é nulo e todos os 4 determinantes de ordem 1 são nulos.

Determinante menor complementar

Seja A uma matriz quadrada de ordem n>1 da forma

Definimos o determinante menor complementar ou simplesmente menor complementar de A relativo ao elemento a_ij, denotado por D_ij, como o determinante da matriz quadrada obtida de A pela exclusão da linha i e da coluna j, que contém o elemento a_ij considerado. O menor complementar D_ij é um número real obtido como:

A linha i e a coluna j da matriz A foram eliminadas para gerar este determinante.

Exemplo: Para a matriz de ordem n=2, definida por

teremos quatro menores complementares, que são

pois o determinante de uma matriz de ordem 1 é o próprio elemento, isto é, se A=[a], então det(A)=a.

Exemplo: Para a matriz de ordem n=3, definida por

temos nove menores complementares:

Determinante cofator (ou cofator)

Seja A=(a_ij) uma matriz quadrada de ordem n>1. Define-se o determinante cofator ou simplesmente cofator de um elemento a_ij da matriz A como o número A_ij=(−1)^i+j.D_ij, em que D_ij é o menor complementar do elemento a_ij na matriz A.

Exemplo: Para a matriz de ordem n=2

teremos quatro cofatores que são

Exemplo: Para a matriz de ordem n=3

temos nove cofatores que são

Matriz cofatora (ou Cofatora)

Seja A=(a_ij) uma matriz quadrada de ordem n. Definimos a matriz dos cofatores de A, denotada por cof(A), a matriz que se obtém substituindo cada elemento a_ij de A pelo seu respectivo cofator A_ij.

Exemplo: Seja a matriz de ordem n=2

a matriz cofatora cof(A) será

Exemplo: Caso n=3: Se

então a matriz cofatora cof(A) será

Adjunta de uma matriz

Seja A=(a_ij) uma matriz quadrada de ordem n. Define-se matriz adjunta de A, denotada por adj(A), como a transposta da matriz dos cofatores de A, isto é,

Exemplo: Considere a matriz de ordem n=2 definida por

Assim

Exemplo: Seja a matriz mais geral de ordem n=2. Se

então

e

Observações: A adjunta de uma matriz quadrada de ordem 2 da forma

é obtida pela troca das posições dos elementos da diagonal principal e pela troca do sinal dos elementos da diagonal secundária, assim temos:

Exemplo: Caso n=3: Para

temos que a matriz adjunta será

Exemplo: Seja a matriz quadrada de ordem n=2:

Assim, det(A)=−1, logo a sua matriz adjunta é

Como det[adj(A)]=−1, podemos escrever

Temos ainda que

onde I₂ é a identidade de ordem 2.

Observações: Neste caso particular em que as ordens das matrizes são iguais a 2, temos:

1. O produto das matrizes A e adj(A) é comutativo, isto é:

   A . adj(A) = adj(A) . A = det(A)  I₂

2. O produto dos determinantes das matrizes A e adj(A) é igual ao determinante da matriz A elevado à ordem n=2 da matriz A, isto é,

   det[adj(A)] . det(A) = det(A) . det[adj(A)] = [det(A)]²

3. Os determinantes das matrizes adj(A) e A são iguais, isto é,

   det[adj(A)] = −1 = det(A)

Característica de uma matriz quadrada

Seja A=(a_ij) uma matriz quadrada de ordem n. Diz-se que a matriz A tem característica r, sendo 1<r<n se, pelo menos um dos determinantes menores de ordem r é diferente de zero e todos os menores quadrados de ordem maior que r são nulos.

Exemplos:

1. A característica de uma matriz nula é zero.

2. A característica da matriz identidade de ordem n é igual a n.

3. Se uma matriz A possui inversa, isto é, det(A)0, então a característica de A é a ordem da matriz A.

4. Se uma matriz A não possui inversa, isto é, det(A)=0, então a característica de A é estritamente menor que a ordem da matriz A.

5. A matriz A=(a_ij) definida por

   A =	1 0 0 0 1 0 1 1 0

   tem característica r=2, pois det(A)=0 uma vez que a terceira linha é a soma das duas primeiras linhas, ou seja, a terceira linha é a combinação linear das linhas anteriores, mas

   det	1 0 0 1	= 1

6. Para a matriz B = (b_ij) definida por

   B =	1 0 0 0 0 0 0 0 0

   segue que det(B)=0 e todos os determinantes menores de ordem 2 são nulos, mas a característica de A é r=1, pois existe pelo menos uma submatriz de ordem 1 que é não nula, isto é, det[1]=1.

7. Seja a matriz C = (c_ij) definida por

   C =	1 2 3 2 3 4 3 5 7

   det(C)=0 pois a terceira linha é a soma das duas primeiras linhas, ou seja, a terceira linha é a combinação linear das linhas anteriores, mas a característica de C é r=2, pois

   det	1 2 2 3	= −1

8. Considere a matriz D = (d_ij) tal que

   D =	1 2 3 1 3 6 2 5 9

   Aqui det(D)=0, pois a terceira linha é a soma das duas primeiras linhas, ou seja, a terceira linha é combinação linear das linhas anteriores e a característica desta matriz é r=2, pois

   det	1 2 1 3	= 1

9. Para a matriz E=(e_ij) definida por

   E =	0 2 3 0 4 6 0 6 9

   segue que det(E)=0, pois a terceira linha é a soma das duas primeiras linhas, ou seja, a terceira linha é combinação linear das linhas anteriores. A característica desta matriz é r=1, pois cada um dos 9 menores de ordem 2 é 0, mas nem todo elemento é 0.

10. A matriz quadrada F=(f_ij) de ordem 2 definida por

    F =	1 2 3 5

    tem característica r=2, pois det(F)= −1.

11. A matriz quadrada G=(g_ij) de ordem 3 definida por

    G =	2 1 2 0 1 2 0 0 1

    tem característica r=3, pois det(G)=2.

12. Considere a matriz quadrada A=(a_ij) definida por

    A =	1 2 3 5

    Assim, det(A)=−1. A adjunta de A é dada por

    adj(A) =	5 −2 −3 1

    e o determinante da matriz adjunta é −1. Desse modo, temos que

    A . adj(A) =	1 2 3 5	.	5 −2 −3 1	=	−1 0 0 −1	= −1	1 0 0 1	= det(A) . I2

    Temos ainda que

    adj(A) . A =	5 −2 −3 1	.	1 2 3 5	=	−1 0 0 −1	= −1	1 0 0 1	= det(A) . I2

    onde I₂ é a identidade de ordem 2. Concluímos então que

    A . adj(A) = adj(A) . A = det(A) . I₂

    Tomando o produto dos determinantes das matrizes A e adj(A), obtemos

    det(A) . det(adj(A)) = [det(A)]² = det(adj(A)) . det(A)

    O produto dos determinantes das matrizes A e adj(A) é igual ao determinante da matriz A elevado à ordem da matriz A. Como A é uma matriz quadrada de ordem 2 e como det(A)0, segue que a matriz é inversível, e

    det(adj(A)) = (−1) = [det(A)]²⁻¹ = det(A)

13. Considere a matriz quadrada A=(a_ij) definida por

    A =	2 1 2 0 1 2 0 0 1

    Assim det(A)=2. O determinante dessa matriz é o produto dos elementos da diagonal principal, pois essa matriz é triangular (superior). A sua matriz adjunta é

    adj(A) =	1 −1 0 0 2 −4 0 0 2

    O determinante da matriz adjunta é o produto dos elementos da diagonal principal, pois a matriz adjunta é triangular (superior). Assim, det(adj(A))=4 e desse modo, temos que

    A . adj(A) =	2 1 2 0 1 2 0 0 1	.	1 −1 0 0 2 −4 0 0 2	=	2 0 0 0 2 0 0 0 2	= 2 .	1 0 0 0 1 0 0 0 1	= det(A).I3

    Temos ainda que

    adj(A) . A =	1 −1 0 0 2 −4 0 0 2	.	2 1 2 0 1 2 0 0 1	=	2 0 0 0 2 0 0 0 2	= 2 .	1 0 0 0 1 0 0 0 1	= det(A).I3

    onde I₃ é a identidade de ordem 3. Podemos concluir que

    A . adj(A) = adj(A) . A = det(A) I₃

    Tomando o produto dos determinantes das matrizes A e adj(A), obtemos:

    det(A) det(adj(A)] = [det(A)]³ = det(adj(A)) det(A)

    O produto dos determinantes das matrizes A=(a_ij) e adj(A) é igual ao determinante da matriz A=(a_ij) elevado à ordem da matriz A. Como A é uma matriz quadrada de ordem 3 e como det(A)0, segue que a matriz é inversível e além disso

    det(adj(A)) = 4 = 2² = [det(A)]³⁻¹ = [det(A)]²

    O determinante da matriz adjunta de A=(a_ij) é igual ao determinante da matriz A=(a_ij) elevado à ordem de A=(a_ij) menos 1.

Característica de uma matriz retangular mxn

Seja A=(a_ij) uma matriz retangular com m linhas e n colunas. Diz-se a matriz A tem característica r, sendo 1<r<max(m,n) se, pelo menos um dos determinantes menores de ordem r é diferente de zero e todos os determinantes menores de ordem maior do que r são nulos.

1. Exemplo: Seja a matriz D=(d_ij) tal que

   D =	1 2 3 −7 0 6

   A característica desta matriz é r=2, pois

   det	1 2 −7 0	= 14

   e não existem menores complementares de ordem 3.

Algumas propriedades da adjunta

Em todas as propriedades seguintes, consideraremos que as matrizes A=(a_ij) e B=(b_ij) são matrizes quadradas.

1. Se A=(a_ij) é uma matriz de ordem n então

   A . adj(A) = det(A) . I_n = adj(A) . A

2. Se A=(a_ij) é uma matriz de ordem n então

   det(A) . det[adj(A)] = det(A) ⁿ = det[adj(A)] . det(A)

3. Se A=(a_ij) é uma matriz inversível de ordem n, então

   det(adj(A)) = det(A)ⁿ⁻¹

4. Se A=(a_ij) é uma matriz não inversível de ordem n, então

   A . adj(A) = adj(A) . A = 0

5. Se A=(a_ij) é uma matriz de ordem 2, mostrar que

   adj[adj(A)] = A

6. Se A=(a_ij) e B=(b_ij) são matrizes de mesma ordem n, então

   adj(A . B) = adj(B) . adj(A)

7. Se A=(a_ij) é uma matriz inversível de ordem n, então

   adj[adj(A)] = det(A)ⁿ⁻² . A

8. A adjunta de uma matriz de ordem 1 é a própria matriz.

9. A adjunta de uma matriz diagonal é uma matriz diagonal.

10. A adjunta de uma matriz escalar é uma matriz escalar.

11. A adjunta de uma matriz triangular é uma matriz triangular.

12. Se A=(a_ij) é uma matriz simétrica, então a adjunta de A é uma matriz simétrica.

13. Se A=(a_ij) uma matriz de ordem n então

    det{adj[adj(A)]} = [det(A)]²⁽ⁿ⁻¹⁾

14. Se a matriz A=(a_ij) de ordem n tem característica r=n−1, então a adjunta de A tem característica 1.

    Demonstração: Se a matriz A=(a_ij) tem característica r=n−1, então existe pelo menos um cofator não-nulo e a característica da adjunta de A é pelo menos 1.

Referências bibliográficas

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