Conjunto indutivo

Os elementos de um corpo ordenado K serão denominados números. Seja K um corpo ordenado. Um subconjunto SK é indutivo se o elemento neutro da multiplicação 1S e além disso xS implica que x+1S.

Exemplos de conjuntos indutivos: (1) O próprio corpo ordenado K. (2) A classe dos números positivos PK desde que 1P. (3) O conjunto C = { x: x> 1}K.

O conjunto dos números naturais

Um número nK é natural se n pertence a todos os conjuntos indutivos de K. O conjunto de todos os números naturais será denotado por N.

Teorema: O conjunto N de todos os números naturais é indutivo.

Demonstração: Para demonstrar que N é indutivo, mostraremos que 1N e que se nN então n+1N.

A própria definição de conjunto indutivo garante que 1N. Vamos supor que nN. Desse modo, nS, para todo subconjunto indutivo SK. Acontece que pela definição de conjunto indutivo, nS, o que garante que n+1S. Assim n+1 pertence a todos os conjuntos indutivos de K, o que garante que n+1 é um número natural, logo n+1N.

Concluímos que N é um conjunto indutivo.

Princípio fraco da Indução Matemática

Se S é um conjunto indutivo contido em N, então S=N.

Demonstração: Se SN, pela definição de número natural, segue que NS para todo conjunto indutivo, logo S=N.

Princípio da Indução Matemática (PIM)

Se para cada número natural n podemos definir uma proposição P(n) tal que: P(1) é verdadeira e além disso, para cada kN, P(k) implica P(k+1), então P(n) é verdadeira para todo nN.

Demonstração: Definamos S = {nN: P(n) é verdadeira}. Da forma como S foi construído, SN e S é um conjunto indutivo pois 1S e se nS então n+1S, o que garante pelo princípio da indução que S=N. Dessa forma, a proposição P(n) é verdadeira para todo nN.

Importância do Princípio da Indução

O princípio da Indução Matemática serve para demonstrar as próprias propriedades dos números naturais. Outra utilidade deste princípio é definir conceitos que envolvem os números naturais. Na Matemática e também em Computação, o uso de propriedades recursivas faz intenso uso deste princípio.

Exemplo: A soma dos n primeiros números naturais pode ser definida de um modo recursivo, por: S₁=1 e S_n+1 = S_n + n+1, para cada nN. Observamos que:

Usando o PIM, é possível mostrar que para todo nN:

Propriedades dos números naturais

1. Se m,nN então m+nN.

2. Se m,nN tal que m < n então n−mN.

3. Se m,nN então m.nN.

4. Não existe nN tal que m < n < m+1 para cada mN.

5. Se m,nN são tais que m< n< m+1, então m=n ou n=m+1.

6. Se m,nN são tais que m< n < m+1, então m=n.

7. Se m,nN são tais que m < n< m+1, então n=m+1.

Mínimo e máximo de um conjunto

Seja S um subconjunto de um corpo ordenado K. Diz-se que S possui um mínimo (menor elemento) s_o se: s_oS e para cada sS: s_o< s. Notação: s₀= min(S).

Diz-se que S possui um máximo (maior elemento) t_o se: t_oS e para cada sS: s< t_o. Notação: t₀= max(S).

Exemplos:

1. O conjunto N= {1,2,3,...} possui mínmimo mas não possui máximo.

2. Para o conjunto C= {−2,−1,0,1,2,3}, segue que min(C)=−2 e max(C)=3.

3. O conjunto P de todos os números positivos de um corpo ordenado K não possui mínimo.

Proposição: Se s₀ = min(S) onde S é um subconjunto de um corpo ordenado K então s_o é único.

Proposição: Se t₀ = max(S), onde S um subconjunto de um corpo ordenado K então t_o é único.

Conjunto bem ordenado

Seja S um subconjunto de um corpo ordenado K. O conjunto S é bem ordenado se, todo subconjunto de S possui mínimo.

Exemplos:

1. Todo subconjunto finito de um corpo ordenado K é bem ordenado.

2. O conjunto N= {1,2,3,...} é bem ordenado.

3. Todo subconjunto do conjunto N= {1,2,3,...} dos números naturais é bem ordenado.

Segundo Princípio de Indução Matemática

Seja SN e para cada nN definamos os conjuntos S_n = { mN: m < n} com S₁= Ø. Se para cada nN, S_nS implicar que nS, então S=N.

Este segundo Princípio de Indução é útil para definir as potências de números naturais.

Potências de números naturais

Seja K um corpo ordenado e xK. Definimos x ¹=x e para cada nN: x ⁿ⁺¹ = xⁿ.x.

Propriedades das potências naturais

Seja K um corpo ordenado, x,yK e m,nN. Então:

1. x^m . xⁿ = x ^m+n

2. (x^m) ⁿ = x ^m.n

3. (x.y) ⁿ = xⁿ.yⁿ

4. (x/y) ⁿ = xⁿ/yⁿ

Para pensar: Os números da sequência de Fibonacci são construídos a partir de f₁=1, f₂=1 e para cada nN:

Construir uma regra geral para definir esta sequência f que aparece na forma de um conjunto:

Exercícios: Usando o Princípio de Indução Matemática, resolva cada um dos exercícios. Em todas as situações que seguem, nN, isto é, n é um número natural.

1. Mostre que para todo nN tem-se que: n < 2 ⁿ.

2. Se n!=1.2.3...n, mostre que para n> 4, vale: 2 ⁿ < n!.

3. Mostre que para n > 9, tem-se que: n³ < 2 ⁿ.

4. Sejam os números: s₁=1 e s_n+1=s_n + (n+1). Estes números geram as somas dos n primeiros números naturais de modo recursivo. Mostrar que para todo nN, vale a regra geral: s_n = n(n+1)/2

5. Sejam os números: s₁=1 e s_n+1=s_n + (n+1)². Estes números geram as somas dos quadrados dos n primeiros números naturais de modo recursivo. Mostrar que para todo nN, vale a forma geral: s_n = n(n+1)(2n+1)/6.

6. Sejam os números: s₁=1 e s_n+1=s_n + (n+1)³. Estes números geram as somas dos cubos dos n primeiros números naturais de modo recursivo. Mostrar que para todo nN, vale a forma geral: s_n=[n(n+1)/2]².

7. Sejam os números: s₁=1 e s_n+1=s_n + (n+1)⁴. Tais números geram as somas dos cubos dos n primeiros números naturais de modo recursivo. Mostrar que para todo nN, vale a regra geral s_n = n(n+1)(2n+1)(3n²+3n−1)/30.

8. Sejam os números: s₁=1/2 e s_n+1=s_n+1/((n+1)(n+2)). A regra geral para estes números é s_n = n/(n+1) e eles serão usados no estudo de série reais para mostrar que é convergente a série

   ∞ n=1	1 n(n+1)

9. Sejam os números: s₁=1 e s₂=3 e s_n+2=3 s_n+1−2 s_n. Mostrar que estes números têm a forma geral: s_n=2 ⁿ−1.

10. Seja K um corpo ordenado, a,rK, r1. Sejam os números: s₁=a e s_n+1=s_n + a rⁿ. Tais números geram a fórmula geral para a soma dos n primeiros termos de uma sequência geométrica que pode ser escrita como:

    sn = a	1−rn 1−r

    Tal regra será utilizada no estudo da importante série geométrica infinita

    S(r)=	∞ n=1	a rn

    para garantir a convergência desta série quando |r|<1.

11. Mostre que se m,nN, então m+nN e m.nN.

12. Mostre que se m₁,m₂,...,m_nN, então m₁+m₂+...+m_nN e m₁.m₂.m₃...m_nN.

13. Mostre que se p,qP, então p+qP e p.qP.

14. Mostre que se p₁,p₂,...,p_nP, então p₁+p₂+...+p_nP e p₁.p₂.p₃...p_n−1.p_nP.

15. Mostre que se x0 e y0, então x.y0 e além disso (x.y)⁻¹=y ⁻¹ x ⁻¹.

16. Mostre que se x₁0, x₂0,...,x_n0, então segue que x₁ x₂ ... x_n0 e além disso (x₁ x₂ ... x_n)⁻¹=x₁⁻¹ x₂⁻¹ ... x_n ⁻¹.

17. Seja K um corpo ordenado e m,nK. Mostre que se m>1 e n>1, então m.n > 2.

18. Seja K um corpo ordenado e {m_n}K para cada nN. Mostre que se m₁>1, m₂>1, ..., m_n>1, então m₁ m₂ ... m_n >n.

Somas finitas (Somatórios)

Usamos a letra grega sigma maiúscula   para somas. Em geral, usamos a palavra somatório no lugar desoma.

n k=1	f(k) = f(1) + f(2) + ... + f(n)

No estudo de séries reais e complexas, usamos bastante a soma infinita

n k=1	f(k) = f(1) + f(2) + ... + f(n)+ ...

Exercício: Usando o Princípio da Indução, demonstrar as seguintes propriedades das somas finitas:

1. Se C é uma constante, então

   n k=1	C = nC

   Demonstração sem usar o Princípio da Indução:

   n k=1	C = C+C+C+...+C (n vezes) = nC

2. Propriedade da soma

   n k=1	[f(k) + g(k)] =	n k=1	f(k) +	n k=1	g(k)

3. Propriedade da homogeneidade

   n k=1	C f(k) = C	n k=1	f(k)

   Demonstração sem usar o Princípio da Indução:

   n k=1	C f(k) = C f(1) + C f(2) +...+ C f(n) = C [f(1)+f(2)+...+f(n)] = C	n k=1	f(k)

Somas telescópicas

A propriedade telescópica para uma série é dada por

n k=1	[f(k+1)−f(k)] = f(n+1)−f(1)

Demonstração sem usar o Princípio da Indução:

n k=1	[f(k+1)−f(k)] = [f(2)−f(1)]+[f(3)−f(2)] +...+ [f(n)−f(n−1)]+[f(n+1)−f(n)] = f(n+1)−f(1)

Exercício: Usando a propriedade telescópica e a função apresentada em cada ítem, demonstrar que:

1. se f(n)=n, então

   n k=1	1 = n

   Demonstração: Se f(n)=n na propriedade telescópica, obtemos:

   n k=1	[(k+1)− k] = (n+1)−1 = n

2. se f(n)=(n−1)², então a soma dos n primeiros números ímpares é dada por:

   n k=1	(2k−1) = n²

   Demonstração: Tomando f(n)=(n−1)² na propriedade telescópica, segue:

   n k=1	[k²− (k−1)²] = n² −0 = n²

3. se f(n)=n², então a soma dos n números ímpares abaixo, é dada por:

   n k=1	(2k+1) = n²+2n

   Demonstração: Com f(n)=n² na propriedade telescópica, obtemos:

   n k=1	[(k+1)²− k²] = (n+1)² −1 = n²+2n

4. se f(n)=n², então a soma dos n primeiros números naturais é dada por:

   n k=1	k = n(n+1)/2

   Demonstração: Se f(n)=n² na propriedade telescópica, obtemos a partir do ítem anterior, que:

   n k=1	(2k+1) = n² + 2n

   Assim:

   n k=1	k= (1/2)	n k=1	(2k) = (1/2)	n k=1	(2k+1−1)= (1/2)[	n k=1	(2k+1) −	n k=1	1]

   que pode ser escrita na forma

   n k=1	k= [(n²+2n) −n]/2 = n(n+1)/2

5. se f(n)=n³, a soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é dada por:

   n k=1	k² = n(n+1)(2n+1)/6

   Demonstração: Se f(n)=n³ na propriedade telescópica, obtemos:

   n k=1	[(k+1)³− k³] = (n+1)³ −1

   que pode ser escrito como

   n k=1	[3k²+3k+1] = n³+3n²+3n

   que pode ser desenvolvido como

   3	n k=1	k² +3	n k=1	k +	n k=1	1 = n³+3n²+3n

   Usando os resultados obtidos nos ítens anteriores, segue que

   3	n k=1	k² +3n(n+1)/2 +n = n³+3n²+3n

   Multiplicando por 2 todos os termos e isolando a soma do lado esquerdo da iguladade, obtemos:

   6	n k=1	k² = 2n³+6n²+6n −3n(n+1) −2n

   Simplificando segue que

   6	n k=1	k² = 2n³+3n²+n

   de onde segue o resultado desejado.

6. se f(n)=n ⁴, então a soma dos cubos dos n primeiros números naturais é dada por:

   n k=1	k³ = [n(n+1)/2]²

7. se f(n)=n ⁵, então a soma dos quárticos dos n primeiros números naturais é dada por:

   n k=1	k 4 = n(n+1)(2n+1)(3n²+3n−1)/30

8. se f(n)=n ⁶, então a soma dos quínticos dos n primeiros números naturais é dada por:

   n k=1	k 5 = ???

9. se f(n)=1/n, então

   n k=1	1 k(k+1)	=	n n+1

   Demonstração: Tomando f(n)=1/n na propriedade telescópica, tem-se:

   n k=1	1 k+1	−	1 k	=	1 n+1	− 1

   de onde segue imediatamente que

   n k=1	−1 k(k+1)	=	−n n+1

   Multiplicando ambos os membros da igualdade por −1, segue o resultado.

10. se f(n)=1/n², então

    n k=1	2k+1 k²(k+1)²	=	n(n+2) (n+1)²

    Demonstração: Tomando f(n)=1/n² na propriedade telescópica, obtemos:

    n k=1	1 (k+1)²	−	1 k²	=	1 (n+1)²	− 1

    de onde segue que

    n k=1	−(2k+1) k²(k+1)²	=	−(n²+2n) (n+1)²

    Multiplicando ambos os membros da igualdade por −1, segue o resultado.