Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

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1 O conjunto N não é fechado para a soma e para o produto

A soma de dois números naturais \(m\) e \(n\) não é nula. Quando \(m+n=0\), deveríamos ter o significado de elemento simétrico (oposto), o que não é possível no conjunto \(N\) dos números naturais.

Usamos a notação

para indicar o conjunto dos opostos dos elementos de N.

2 O conjunto Z dos números inteiros

O conjunto \(Z\) que definimos agora é fechado para a soma e para o produto.

Seja \(x\in K\). Dizemos que \(x\) é um número inteiro se, \(x\in N\), ou \(x=0\) ou \(-x\in N\). O conjunto de todos os números inteiros é denotado pela letra \(Z\) (do alemão: zahlen) e pode ser escrito como:

Proposição: Mostrar que:

1. se \(m,n\in Z\) então \(m+n\in Z\).
2. se \(m,n\in Z\) então \(m.n\in Z\).
3. cada \(m\in Z\) possui um oposto em \(Z\).

Teorema: O conjunto dos números inteiros, munido da operação binária de adição, denotado por \((Z,+)\) é um grupo comutativo.

3 Potências com expoente negativo

Se \(x\in K\) e \(x\neq 0\), então \(x^0=1\) e para \(-n\in N\):

4 Propriedades das potências inteiras

Se K é um corpo ordenado, \(x,y,m,n\in Z\), então:

1. \(x^m.x^n=x^{m+n}\)
2. \(\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}\)
3. \((x^m)^n=x^{m.n}\)
4. \((x.y)^n=x^n.y^n\)
5. \(\frac{x}{y}^n=\frac{x^n}{y^n}\)

Proposição

1. Sejam \(a>1\) e \(m,n\in N\). Então: \(m<n\) se, e somente se, \(a^m<a^n\).
2. Sejam \(0<a<1\) e \(m,n\in N\). Então: \(m<n\) se, e somente se, \(a^n<a^m\).
3. Sejam \(a>0\), \(a\neq 1\) e \(m,n\in Z\). Então: \(m=n\) se, e somente se, \(a^m=a^n\).
4. Sejam \(a>0\), \(b>0\) e \(n\in Z-\{0\}\). Então: \(a=b\) se, e somente se, \(a^n=b^n\).
5. Mostrar que \(1^n=1\) para cada \(n\in Z\).
6. Mostrar que \(1^{2n}=1\) para cada \(n\in Z\).
7. Mostrar que \(1^{2n+1}=-1\) para cada \(n\in Z\).

5 Limitantes inferior e superior

Seja \(S \subset Z\).

1. O número \(z_0\in K\) é um limitante inferior para o conjunto \(S\), se \(z_0 \leq s\) para todo \(s\in S\).
2. O número \(w_0\in K\) é um limitante superior para o conjunto \(S\), se \(s \leq w_0\) para todo \(s\in S\).
3. Um conjunto \(S\) é limitado se possui limitante superior e limitante inferior.

Proposição: Seja \(S\subset Z\). Demonstrar que se \(S\) tem um:

1. limitante inferior, então \(S\) também tem mínimo.
2. limitante superior, então \(S\) também tem máximo.
3. limitante inferior e superior, então \(S\) é um conjunto finito.