A soma de dois números naturais m e n não pode se anular. Quando m+n=0, deveríamos ter o significado de elemento simétrico (oposto), o que não é possível no conjunto N dos números naturais mas ocorre no conjunto dos inteiros, que definiremos na sequência. Usaremos a notação
para indicar o conjunto dos opostos dos elementos de N.
Seja x K. Dizemos que x é um número inteiro se, x N, x=0 ou −x N. O conjunto de todos os números inteiros é denotado pela letra Z (do alemão: zahlen) e pode ser escrito como:
Mostrar que:
se m,n Z então m+n Z
se m,n Z então m.n Z
cada m Z possui um oposto.
O conjunto dos números inteiros, munido da operação binária de adição, denotado por (Z,+) é um grupo comutativo.
Se x K, x0, então x 0=1 e para −n N:
Se K é um corpo ordenado, x,y K e m,n Z, então:
xm.xn=x m+n
xm/xn=x m−n
(xm) n=x m.n
(x.y) n=xn.yn
(x/y) n=xn/yn
Sejam a>1 e m,n N. Então: m<n se, e somente se, am<an.
Sejam 0<a<1 e m,n N. Então: m<n se, e somente se, an<am.
Sejam a>0, a1 e m,n Z. Então: m=n se, e somente se, am=an.
Sejam a>0, b>0 e n Z−{0}. Então: a=b se, e somente se, an=bn.
Mostrar que 1 n=1 para cada n Z.
Mostrar que 12n=1 para cada n Z.
Mostrar que 12n+1=−1 para cada n Z.
Seja S Z. O número z0 K é um limitante inferior para o conjunto S se z0<s para todo s S. O número w0 K é um limitante superior para o conjunto S se s<w0 para todo s S. Um conjunto S é dito limitado se possui limitante superior e limitante inferior.
Seja SZ. Demonstrar que
se S tem um limitante inferior, então S também tem mínimo.
se S tem um limitante superior, então S também tem máximo.
se S tem um limitante inferior e um limitante superior, então S é um conjunto finito.