O conjunto Z dos números inteiros

A soma de dois números naturais m e n não pode se anular. Quando m+n=0, deveríamos ter o significado de elemento simétrico (oposto), o que não é possível no conjunto N dos números naturais mas ocorre no conjunto dos inteiros, que definiremos na sequência. Usaremos a notação

−N={x inK: −x inN}

para indicar o conjunto dos opostos dos elementos de N.

O conjunto dos números inteiros

Seja x inK. Dizemos que x é um número inteiro se, x inN, x=0 ou −x inN. O conjunto de todos os números inteiros é denotado pela letra Z (do alemão: zahlen) e pode ser escrito como:

Z = N cup{0} cup(−N)

Proposição

Mostrar que:

  1. se m,n inZ então m+n inZ

  2. se m,n inZ então m.n inZ

  3. cada m inZ possui um oposto.

Teorema

O conjunto dos números inteiros, munido da operação binária de adição, denotado por (Z,+) é um grupo comutativo.

Potências com expoente negativo

Se x inK, xneq0, então x 0=1 e para −n inN:

xn = 1/x −n

Propriedades das potências inteiras

Se K é um corpo ordenado, x,y inK e m,n inZ, então:

  1. xm.xn=x m+n

  2. xm/xn=x m−n

  3. (xmn=x m.n

  4. (x.y) n=xn.yn

  5. (x/y) n=xn/yn

Proposição

  1. Sejam a>1 e m,n inN. Então: m<n se, e somente se, am<an.

  2. Sejam 0<a<1 e m,n inN. Então: m<n se, e somente se, an<am.

  3. Sejam a>0, aneq1 e m,n inZ. Então: m=n se, e somente se, am=an.

  4. Sejam a>0, b>0 e n inZ−{0}. Então: a=b se, e somente se, an=bn.

  5. Mostrar que 1 n=1 para cada n inZ.

  6. Mostrar que 12n=1 para cada n inZ.

  7. Mostrar que 12n+1=−1 para cada n inZ.

Limitantes inferior e superior

Seja S subsetZ. O número z0 inK é um limitante inferior para o conjunto S se z0<s para todo s inS. O número w0 inK é um limitante superior para o conjunto S se s<w0 para todo s inS. Um conjunto S é dito limitado se possui limitante superior e limitante inferior.

Proposição

Seja SsubsetZ. Demonstrar que

  1. se S tem um limitante inferior, então S também tem mínimo.

  2. se S tem um limitante superior, então S também tem máximo.

  3. se S tem um limitante inferior e um limitante superior, então S é um conjunto finito.

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