Assumiremos que um grupo é uma estrutura matemática (G,*), formada por um conjunto G e uma operação *, satisfazendo às propriedades:
G é não vazio.
(G,*) é fechada, isto é, para quaisquer a,bG, vale: a*bG.
(G,*) é associativa, isto é, para quaisquer a,b,cG, vale: a*(b*c)=(a*b)*c.
(G,*) possui um elemento neutro, isto é, existe eG tal que para todo aG: e*a=a.
Cada elemento aG possui um inverso bG com relação à operação *, isto é, a*b=e.
Se a estrutura de grupo (G,*) é comutativa, temos um grupo comutativo ou grupo abeliano.
Em cada exercício, determinar se as estruturas descritas são grupos e em caso negativo, apresentar quais axiomas de grupo não são verdadeiros.
(Z,*) em que Z é o conjunto dos números inteiros e a operação definida por a*b = a−b (diferença usual).
(Z,*) é não vazio pois, 1 Z.
(Z,*) é fechada, uma vez que para todo a,b Z, segue que a*b = a−b Z.
(Z,*) não é associativa, pois existem 1,2,3 Z tal que (1*2)*3 1*(2*3). Realmente
(1*2)*3 | = | (1−2)*3 = (−1)*3 = −1−3 = −4 |
---|---|---|
1*(2*3) | = | 1*(2−3) = 1*(−1) = 1−(−1) = 2 |
Não existe um elemento neutro e Z tal que para todo a Z vale a igualdade e*a=a. Realmente, se existisse tal elemento, deveríamos ter e−a=a e assim e=2a. Para outro elemento b Z com ba, teríamos e=2b e seguiria que a=b, o que é um absurdo.
Para cada elemento a Z não pode existir um inverso b Z pois não existe elemento neutro em (Z,*).
(Z,*) não é comutativa pois 0,1 Z mas temos que 1*0 0*1, uma vez que:
1*0=1−0 = 1 e 0*1=0−1 = −1
(Z,*) não é uma estrutura de grupo.
Z+={1,2,3,...} é o conjunto dos números inteiros positivos e a operação definida por a*b=a.b (produto usual).
(Z+,*) é não vazia pois 1 Z+.
(Z+,*) é fechada, pois para quaisquer a,b Z+, segue que a*b = a.b Z+.
(Z+,*) é associativa, pois para quaisquer a,b,c Z+, segue que
a*(b*c) = a.(b.c)=(a.b).c)=(a*b)*c
Existe o elemento neutro 1 Z+ tal que para todo a Z+ vale a igualdade 1*a=1.a=a.
Não existe o inverso em Z+ pois somente 1 Z+ possui inverso em Z+, mas qualquer outro número em Z+ não possui inverso em Z+.
(Z+,*) é comutativa, pois para quaisquer a,b Z+, segue que
a*b = a.b = b.a = b*a
(Z+,*) não é uma estrutura de grupo.
G={a0, a1 } com a operação definida por ai*aj=ai+j se i+j<2 e ai*aj=ai+j−2 se i+j>2. Esta operação pode ser simplificada pela tabela:
* | a0 | a1 |
---|---|---|
a0 | a0 | a1 |
a1 | a1 | a0 |
Pela tabela segue que, para quaisquer ai, aj G, temos que ai * aj G, assim, a operação * é fechada em G.
Existe um elemento neutro a0 G tal que para todo aj G vale a igualdade aj*a0=aj.
(G,*) é comutativo, pois para quaisquer ai, aj G, segue que ai * aj = aj *ai. Realmente:
a0*a0 | = | a0 | = | a0*a0 |
---|---|---|---|---|
a0*a1 | = | a1 | = | a1*a0 |
a1*a1 | = | a0 | = | a1*a1 |
Também, (G,*) é comutativo pois a tabela das operações é simétrica com relação à diagonal principal.
(G,*) é associativo, pois para quaisquer ai, aj G, temos que
a0*(a0*a0) = a0*a0 = a0 = a0*a0 = (a0*a0)*a0 |
---|
a0*(a0*a1) = a0*a1 = a1 = a0*a1 = (a0*a0)*a1 |
a0*(a1*a0) = a0*a1 = a1 = a1*a0 = (a0*a1)*a0 |
a0*(a1*a1) = a0*a0 = a0 = a1*a1 = (a0*a1)*a1 |
a1*(a0*a0) = a1*a0 = a1 = a1*a0 = (a1*a0)*a0 |
a1*(a0*a1) = a1*a1 = a0 = a1*a1 = (a1*a0)*a1 |
a1*(a1*a0) = a1*a1 = a0 = a0*a0 = (a1*a1)*a0 |
a1*(a1*a1) = a1*a0 = a1 = a0*a1 = (a1*a1)*a1 |
Cada ai G possui um inverso aj G ta que aj = ai, isto é, cada elemento é o inverso dele mesmo.
(G,*) é uma estrutura de grupo abeliano (comutativo).
G={a0, a1, a2 } com a operação definida por ai*aj = a[i+j]mod(3) sendo que a expressão [i+j]mod(3) é o resto da divisão inteira de i+j por 3. Esta operação pode ser posta na tabela:
* | a0 | a1 | a2 |
---|---|---|---|
a0 | a0 | a1 | a2 |
a1 | a1 | a2 | a0 |
a2 | a2 | a0 | a1 |
Pela tabela segue que, para quaisquer ai, aj G, temos que ai * aj G, assim, a operação * é fechada em G.
Existe um elemento neutro a0 G tal que para todo aj G vale a igualdade aj*a0=aj.
(G,*) é comutativo, pois para quaisquer ai, aj G, segue que ai*aj=aj*ai, isto é:
ai*aj=a[i+j]mod(3)=a[j+i]mod(3)=aj*ai
Este fato também pode ser observado na tabela das operações, pois esta é simétrica com relação à diagonal principal.
(G,*) é associativo, pois para quaisquer ai, aj, ak G, temos que
ai*(aj*ak) | = | ai*a[j+k]mod(3) = a[i+(j+k)]mod(3) |
---|---|---|
= | a[i+j+k]mod(3) = a[(i+j)+k]mod(3) | |
= | a[i+j]mod(3)*ak = (ai*aj)*ak |
Cada ai G possui um inverso aj G tal que aj=ai, isto é, cada elemento é o inverso dele mesmo.
(G,*) é uma estrutura de grupo abeliano (comutativo).
Mostrar que o conjunto G={a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6} é grupo abeliano quando munido da operação definida por ai*aj = a[i+j]mod(7) sendo que a expressão [i+j]mod(7) é o resto da divisão inteira de i+j por 7.
(Qi,*) em que Qi é o conjunto dos números racionais com denominadores ímpares e a operação definida por a*b = a+b (adição usual). Este conjunto Qi é definido como:
Qi = { |
|
: p,q Z } |
---|
(Qi,*) é não vazio pois, 1=1/1 Qi.
(Qi,*) é fechada, pois, para quaisquer números das formas a=m/2n−1 e b=p/2q−1, segue que
a*b= |
|
+ |
|
= |
|
= |
|
Qi |
---|
pois o numerador é um número inteiro e o denominador é um número inteiro ímpar.
(Qi,*) é associativa.
Existe um elemento neutro 0=0/1 Qi tal que para todo a Qi vale a igualdade 0*a=0+a=a.
Para cada elemento da forma a=m/2n−1 existe um inverso aditivo b=−m/2n−1 tal que
a*b = |
|
+ |
|
= 0 |
---|
(Qi,*) é comutativa.
(Qi,*) é uma estrutura de grupo abeliano.
Demonstrar que se (G,*) é um grupo abeliano, então para todos os elementos a,b G, tem-se que
(a*b) n=an * bn
Demonstração por indução: Para cada número natural n, consideremos a proposição
(a*b) n = an * bn P(n):
A proposição é verdadeira para n=1. Suponhamos que a proposição seja verdadeira para n=m com m>1, isto é:
(a*b) m = am * bm P(m):
Provaremos que a proposição vale para n=m+1. Realmente:
(a*b)m+1 | = | (a*b) * (a*b) m |
---|---|---|
= | (a*b) * (am * bm) | |
= | a * b * am * bm | |
= | a * am * b * bm | |
= | a m+1 * b m+1 |
Demonstrar que se (G,*) é um grupo tal que para quaisquer a,b G vale a igualdade (a*b)²=a²*b², então (G,*) é abeliano.
Suponhamos que para quaisquer a,b G vale a igualdade (a*b)²=a²*b². Assim:
(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)
Como (G,*) é um grupo, o elemento a G possui inverso a −1 G, assim, multiplicando pela esquerda ambos os membros da igualdade acima, obtemos
a −1*a*b*a*b=a −1*a*a*b*b
Como a −1*a=e, temos que
e*b*a*b=e*a*b*b
Como e*b=b, segue que
b*a*b=a*b*b
Como o elemento b G possui inverso b −1 G, multiplicamos pela direita ambos os membros desta última igualdade por b −1, para obter:
b*a*b*b −1=a*b*b*b −1
Assim
b*a*e=a*b*e
de onde segue que
b*a=a*b
e segue que para quaisquer a,b G, vale a comutatividade.
Demonstrar que se (G,*) é um grupo tal que para quaisquer a,b G vale a igualdade (a*b) i=ai*bi, para três inteiros consecutivos, então (G,*) é abeliano.
Demonstração: Devemos usar as três condições:
(a*b) i = ai*bi
(a*b)i+1 = a i+1*b i+1
(a*b)i+2 = a i+2*b i+2
a i+2*b i+2=(a*b)i+2=(a*b)*(a*b)i+1
e por (2) temos que
a i+2*b i+2=a*b*a i+1*b i+1
Multiplicando pela esquerda por a −1 e pela direita por (b i+1)−1, ambos os membros da igualdade acima, obtemos
a −1*a i+2*b i+2*(b i+1)−1 = a −1*a*b*a i+1*b i+1*(b i+1)−1
que se simplifica em
a i+1*b=b*a i+1
que também pode ser escrita como
a*ai*b=b*a*ai
Por (2) podemos escrever:
a i+1*b i+1=(a*b)i+1=(a*b)*(a*b) i
e por (a) temos que
a i+1*b i+1=a*b*ai*bi
Multiplicando pela esquerda por a −1 e pela direita por (bi)−1, ambos os membros da igualdade acima, obtemos
a −1*a i+1*b i+1*(bi)−1=a −1*a*b*ai*bi*(bi)−1
que se simplifica em
ai*b=b*ai
Substituindo o resultado acima no anterior, obtemos:
a*b*ai=b*a*ai
Multiplicando pela direita ambos os membros por (ai)−1:
a*b*ai*(ai)−1 = b*a*ai*(ai)−1
garantindo que
a*b = b*a
Demonstrar que a conclusão do problema anterior não é verdadeira se assumirmos que a relação (a*b) i=ai*bi é verdadeira apenas para dois números inteiros consecutivos.
Exibiremos um grupo que não é abeliano para o qual valem as propriedades
(a*b) i = ai*bi
(a*b)i+1 = a i+1*b i+1
G={x=a*b : a²=b³=(b*a)²=(a*b)²=e}
sendo e o elemento neutro de G.
Construir o grupo (S3,o) de simetrias do triângulo equilatéro no plano cartesiano.
O grupo (S3,o) é o grupo de simetrias de um triângulo equilátero cujo centro de gravidade está localizado na origem do plano cartesiano, é formado pelas permutações de três elementos, indicadas abaixo:
S3 = { ( |
|
), ( |
|
), ( |
|
), ( |
|
), ( |
|
), ( |
|
) } |
---|
Para simplificar as notações, usaremos os símbolos associados às respectivas operações geométricas:
I=( |
|
), R=( |
|
), R²=( |
|
), f1=( |
|
), f2=( |
|
), f3=( |
|
) |
---|
onde I é a identidade, R é a rotação de 120 graus, R² é a rotação de 240 graus, e para cada k=1,2,3, fk é a transformação que mantém fixo o vértice k do triângulo equilátero mas comuta os outros dois vértices.
A tabela de multiplicação é dada por:
o | I | R | R² | f1 | f2 | f3 |
---|---|---|---|---|---|---|
I | I | R | R² | f1 | f2 | f3 |
R | R | R² | I | f2 | f3 | f1 |
R² | R² | I | R | f3 | f1 | f2 |
f1 | f1 | f3 | f2 | I | R² | R |
f2 | f2 | f1 | f3 | R | I | R² |
f3 | f3 | f2 | f1 | R² | R | I |
Mostrar que (S3,o) não é comutativo.
Basta verificar que:
R o f1 = f2 f3 = f1 o R |
---|
R o f2 = f3 f1 = f2 o R |
R o f3 = f1 f2 = f3 o R |
f1 o f2 = R² R = f2 o f1 |
f1 o f3 = R R² = f3 o f1 |
f2 o f3 = R² R = f3 o f2 |
Exibir elementos x e y em (S3,o), tal que (xy)²=x²y².
Para cada k=1,2,3 temos que fk²=I, assim, com x=fk e y=I na tabela de multiplicação, constatamos que existem vários elementos x,y S3 para os quais (xy)² = x² y², pois
(fk o I)² = fk² = I = fk² o I²
Mostrar que (S3,o) possui três tipos diferentes de elementos a S3 tal que a²=I, b S3 tal que b³=I e os elementos ao b S3 tal que (ao b)²=I.
As rotações I, R e R² são elementos a S3 tal que a³=I.
Para cada k=1,2,3, a simetria fk em relação à reta que passa pela origem e pelo vértice k é um elemento b S3 tal que b²=I.
Existem vários elementos a,b S3 tal que (ao b)²=I.
(f1 o I)² = f1² = I, | (f1 o R)² = f3² = I, | (f1 o R²)² = f2² = I |
---|---|---|
(I o f1)² = f1² = I, | (R o f1)² = f2² = I, | (R² o f1)² = f3² = I |
(I o f2)² = f2² = I, | (R o f2)² = f3² = I, | (R² o f2)² = f1² = I |
(I o f3)² = f3² = I, | (R o f3)² = f1² = I, | (R² o f3)² = f2² = I |