Assumiremos que um grupo é uma estrutura matemática (G,*), formada por um conjunto G e uma operação *, satisfazendo às propriedades:

  1. G é não vazio.

  2. (G,*) é fechada, isto é, para quaisquer a,binG, vale: a*binG.

  3. (G,*) é associativa, isto é, para quaisquer a,b,cinG, vale: a*(b*c)=(a*b)*c.

  4. (G,*) possui um elemento neutro, isto é, existe einG tal que para todo ainG: e*a=a.

  5. Cada elemento ainG possui um inverso binG com relação à operação *, isto é, a*b=e.

Se a estrutura de grupo (G,*) é comutativa, temos um grupo comutativo ou grupo abeliano.

Em cada exercício, determinar se as estruturas descritas são grupos e em caso negativo, apresentar quais axiomas de grupo não são verdadeiros.

  1. (Z,*) em que Z é o conjunto dos números inteiros e a operação definida por a*b = a−b (diferença usual).

    1. (Z,*) é não vazio pois, 1 inZ.

    2. (Z,*) é fechada, uma vez que para todo a,b inZ, segue que a*b = a−b inZ.

    3. (Z,*) não é associativa, pois existem 1,2,3 inZ tal que (1*2)*3 neq1*(2*3). Realmente

      (1*2)*3 = (1−2)*3 = (−1)*3 = −1−3 = −4
      1*(2*3) = 1*(2−3) = 1*(−1) = 1−(−1) = 2
    4. Não existe um elemento neutro e inZ tal que para todo a inZ vale a igualdade e*a=a. Realmente, se existisse tal elemento, deveríamos ter e−a=a e assim e=2a. Para outro elemento b inZ com bneqa, teríamos e=2b e seguiria que a=b, o que é um absurdo.

    5. Para cada elemento a inZ não pode existir um inverso b inZ pois não existe elemento neutro em (Z,*).

    6. (Z,*) não é comutativa pois 0,1 inZ mas temos que 1*0 neq0*1, uma vez que:

      1*0=1−0 = 1  e    0*1=0−1 = −1

    7. (Z,*) não é uma estrutura de grupo.

  2. Z+={1,2,3,...} é o conjunto dos números inteiros positivos e a operação definida por a*b=a.b (produto usual).

    1. (Z+,*) é não vazia pois 1 inZ+.

    2. (Z+,*) é fechada, pois para quaisquer a,b inZ+, segue que a*b = a.b inZ+.

    3. (Z+,*) é associativa, pois para quaisquer a,b,c inZ+, segue que

      a*(b*c) = a.(b.c)=(a.b).c)=(a*b)*c

    4. Existe o elemento neutro 1 inZ+ tal que para todo a inZ+ vale a igualdade 1*a=1.a=a.

    5. Não existe o inverso em Z+ pois somente 1 inZ+ possui inverso em Z+, mas qualquer outro número em Z+ não possui inverso em Z+.

    6. (Z+,*) é comutativa, pois para quaisquer a,b inZ+, segue que

      a*b = a.b = b.a = b*a

    7. (Z+,*) não é uma estrutura de grupo.

  3. G={a0, a1 } com a operação definida por ai*aj=ai+j se i+j<2 e ai*aj=ai+j−2 se i+j>2. Esta operação pode ser simplificada pela tabela:

    * a0 a1
    a0 a0 a1
    a1 a1 a0
    1. Pela tabela segue que, para quaisquer ai, aj inG, temos que ai * aj inG, assim, a operação * é fechada em G.

    2. Existe um elemento neutro a0 inG tal que para todo aj inG vale a igualdade aj*a0=aj.

    3. (G,*) é comutativo, pois para quaisquer ai, aj inG, segue que ai * aj = aj *ai. Realmente:

      a0*a0 = a0 = a0*a0
      a0*a1 = a1 = a1*a0
      a1*a1 = a0 = a1*a1

      Também, (G,*) é comutativo pois a tabela das operações é simétrica com relação à diagonal principal.

    4. (G,*) é associativo, pois para quaisquer ai, aj inG, temos que

      a0*(a0*a0) = a0*a0 = a0 = a0*a0 = (a0*a0)*a0
      a0*(a0*a1) = a0*a1 = a1 = a0*a1 = (a0*a0)*a1
      a0*(a1*a0) = a0*a1 = a1 = a1*a0 = (a0*a1)*a0
      a0*(a1*a1) = a0*a0 = a0 = a1*a1 = (a0*a1)*a1
      a1*(a0*a0) = a1*a0 = a1 = a1*a0 = (a1*a0)*a0
      a1*(a0*a1) = a1*a1 = a0 = a1*a1 = (a1*a0)*a1
      a1*(a1*a0) = a1*a1 = a0 = a0*a0 = (a1*a1)*a0
      a1*(a1*a1) = a1*a0 = a1 = a0*a1 = (a1*a1)*a1
    5. Cada ai inG possui um inverso aj inG ta que aj = ai, isto é, cada elemento é o inverso dele mesmo.

    6. (G,*) é uma estrutura de grupo abeliano (comutativo).

  4. G={a0, a1, a2 } com a operação definida por ai*aj = a[i+j]mod(3) sendo que a expressão [i+j]mod(3) é o resto da divisão inteira de i+j por 3. Esta operação pode ser posta na tabela:

    * a0 a1 a2
    a0 a0 a1 a2
    a1 a1 a2 a0
    a2 a2 a0 a1
    1. Pela tabela segue que, para quaisquer ai, aj inG, temos que ai * aj inG, assim, a operação * é fechada em G.

    2. Existe um elemento neutro a0 inG tal que para todo aj inG vale a igualdade aj*a0=aj.

    3. (G,*) é comutativo, pois para quaisquer ai, aj inG, segue que ai*aj=aj*ai, isto é:

      ai*aj=a[i+j]mod(3)=a[j+i]mod(3)=aj*ai

      Este fato também pode ser observado na tabela das operações, pois esta é simétrica com relação à diagonal principal.

    4. (G,*) é associativo, pois para quaisquer ai, aj, ak inG, temos que

      ai*(aj*ak) = ai*a[j+k]mod(3) = a[i+(j+k)]mod(3)
        = a[i+j+k]mod(3) = a[(i+j)+k]mod(3)
        = a[i+j]mod(3)*ak = (ai*aj)*ak
    5. Cada ai inG possui um inverso aj inG tal que aj=ai, isto é, cada elemento é o inverso dele mesmo.

    6. (G,*) é uma estrutura de grupo abeliano (comutativo).

  5. Mostrar que o conjunto G={a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6} é grupo abeliano quando munido da operação definida por ai*aj = a[i+j]mod(7) sendo que a expressão [i+j]mod(7) é o resto da divisão inteira de i+j por 7.

  6. (Qi,*) em que Qi é o conjunto dos números racionais com denominadores ímpares e a operação definida por a*b = a+b (adição usual). Este conjunto Qi é definido como:

    Qi = {
    p
    2q−1
    : p,q inZ }
    1. (Qi,*) é não vazio pois, 1=1/1 inQi.

    2. (Qi,*) é fechada, pois, para quaisquer números das formas a=m/2n−1 e b=p/2q−1, segue que

      a*b=
      m
      2n−1
      +
      p
      2q−1
      =
      m(2q−1)+p(2n−1)
      (2n−1)(2q−1)
      =
      2mq+2np−m−p
      4nq−2n−2q+1
      inQi

      pois o numerador é um número inteiro e o denominador é um número inteiro ímpar.

    3. (Qi,*) é associativa.

    4. Existe um elemento neutro 0=0/1 inQi tal que para todo a inQi vale a igualdade 0*a=0+a=a.

    5. Para cada elemento da forma a=m/2n−1 existe um inverso aditivo b=−m/2n−1 tal que

      a*b =
      m
      2n−1
      +
      −m
      2n−1
      = 0
    6. (Qi,*) é comutativa.

    7. (Qi,*) é uma estrutura de grupo abeliano.

  7. Demonstrar que se (G,*) é um grupo abeliano, então para todos os elementos a,b inG, tem-se que

    (a*b) n=an * bn

    Demonstração por indução: Para cada número natural n, consideremos a proposição

    (a*b) n = an * bn P(n):

    A proposição é verdadeira para n=1. Suponhamos que a proposição seja verdadeira para n=m com m>1, isto é:

    (a*b) m = am * bm P(m):

    Provaremos que a proposição vale para n=m+1. Realmente:

    (a*b)m+1 = (a*b) * (a*b) m
      = (a*b) * (am * bm)
      = a * b * am * bm
      = a * am * b * bm
      = m+1 * b m+1
  8. Demonstrar que se (G,*) é um grupo tal que para quaisquer a,b inG vale a igualdade (a*b)²=a²*b², então (G,*) é abeliano.

    Suponhamos que para quaisquer a,b inG vale a igualdade (a*b)²=a²*b². Assim:

    (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)

    Como (G,*) é um grupo, o elemento a inG possui inverso a −1 inG, assim, multiplicando pela esquerda ambos os membros da igualdade acima, obtemos

    −1*a*b*a*b=a −1*a*a*b*b

    Como a −1*a=e, temos que

    e*b*a*b=e*a*b*b

    Como e*b=b, segue que

    b*a*b=a*b*b

    Como o elemento b inG possui inverso b −1 inG, multiplicamos pela direita ambos os membros desta última igualdade por b −1, para obter:

    b*a*b*b −1=a*b*b*b −1

    Assim

    b*a*e=a*b*e

    de onde segue que

    b*a=a*b

    e segue que para quaisquer a,b inG, vale a comutatividade.

  9. Demonstrar que se (G,*) é um grupo tal que para quaisquer a,b inG vale a igualdade (a*b) i=ai*bi, para três inteiros consecutivos, então (G,*) é abeliano.

    Demonstração: Devemos usar as três condições:

    1. (a*b) i = ai*bi

    2. (a*b)i+1 = a i+1*b i+1

    3. (a*b)i+2 = a i+2*b i+2

    Por (3) podemos escrever:

    i+2*b i+2=(a*b)i+2=(a*b)*(a*b)i+1

    e por (2) temos que

    i+2*b i+2=a*b*a i+1*b i+1

    Multiplicando pela esquerda por a −1 e pela direita por (b i+1)−1, ambos os membros da igualdade acima, obtemos

    −1*a i+2*b i+2*(b i+1)−1 = a −1*a*b*a i+1*b i+1*(b i+1)−1

    que se simplifica em

    i+1*b=b*a i+1

    que também pode ser escrita como

    a*ai*b=b*a*ai

    Por (2) podemos escrever:

    i+1*b i+1=(a*b)i+1=(a*b)*(a*b) i

    e por (a) temos que

    i+1*b i+1=a*b*ai*bi

    Multiplicando pela esquerda por a −1 e pela direita por (bi)−1, ambos os membros da igualdade acima, obtemos

    −1*a i+1*b i+1*(bi)−1=a −1*a*b*ai*bi*(bi)−1

    que se simplifica em

    ai*b=b*ai

    Substituindo o resultado acima no anterior, obtemos:

    a*b*ai=b*a*ai

    Multiplicando pela direita ambos os membros por (ai)−1:

    a*b*ai*(ai)−1 = b*a*ai*(ai)−1

    garantindo que

    a*b = b*a

  10. Demonstrar que a conclusão do problema anterior não é verdadeira se assumirmos que a relação (a*b) i=ai*bi é verdadeira apenas para dois números inteiros consecutivos.

    Exibiremos um grupo que não é abeliano para o qual valem as propriedades

    1. (a*b) i = ai*bi

    2. (a*b)i+1 = a i+1*b i+1

    Seja a estrutura de grupo (G,*) em que

    G={x=a*b : a²=b³=(b*a)²=(a*b)²=e}

    sendo e o elemento neutro de G.

  11. Construir o grupo (S3,o) de simetrias do triângulo equilatéro no plano cartesiano.

    O grupo (S3,o) é o grupo de simetrias de um triângulo equilátero cujo centro de gravidade está localizado na origem do plano cartesiano, é formado pelas permutações de três elementos, indicadas abaixo:

    S3 = { (
    123
    123
    ), (
    123
    132
    ), (
    123
    213
    ), (
    123
    231
    ), (
    123
    312
    ), (
    123
    321
    ) }

    Para simplificar as notações, usaremos os símbolos associados às respectivas operações geométricas:

    I=(
    123
    123
    ),    R=(
    123
    231
    ),    R²=(
    123
    312
    ), f1=(
    123
    132
    ),    f2=(
    123
    321
    ),    f3=(
    123
    213
    )

    onde I é a identidade, R é a rotação de 120 graus, R² é a rotação de 240 graus, e para cada k=1,2,3, fk é a transformação que mantém fixo o vértice k do triângulo equilátero mas comuta os outros dois vértices.

    A tabela de multiplicação é dada por:

    o I R f1 f2 f3
    I I R f1 f2 f3
    R R I f2 f3 f1
    I R f3 f1 f2
    f1 f1 f3 f2 I R
    f2 f2 f1 f3 R I
    f3 f3 f2 f1 R I
  12. Mostrar que (S3,o) não é comutativo.

    Basta verificar que:

    R o f1 = f2 neqf3 = f1 o R
    R o f2 = f3 neqf1 = f2 o R
    R o f3 = f1 neqf2 = f3 o R
    f1 o f2 = R² neqR = f2 o f1
    f1 o f3 = R neqR² = f3 o f1
    f2 o f3 = R² neqR = f3 o f2
  13. Exibir elementos x e y em (S3,o), tal que (xy)²=x²y².

    Para cada k=1,2,3 temos que fk²=I, assim, com x=fk e y=I na tabela de multiplicação, constatamos que existem vários elementos x,y inS3 para os quais (xy)² = x² y², pois

    (fk o I)² = fk² = I = fk² o I²

  14. Mostrar que (S3,o) possui três tipos diferentes de elementos a inS3 tal que a²=I, b inS3 tal que b³=I e os elementos ao b inS3 tal que (ao b)²=I.

    As rotações I, R e R² são elementos a inS3 tal que a³=I.

    Para cada k=1,2,3, a simetria fk em relação à reta que passa pela origem e pelo vértice k é um elemento b inS3 tal que b²=I.

    Existem vários elementos a,b inS3 tal que (ao b)²=I.

    (f1 o I)² = f1² = I, (f1 o R)² = f3² = I, (f1 o R²)² = f2² = I
    (I o f1)² = f1² = I, (R o f1)² = f2² = I, (R² o f1)² = f3² = I
    (I o f2)² = f2² = I, (R o f2)² = f3² = I, (R² o f2)² = f1² = I
    (I o f3)² = f3² = I, (R o f3)² = f1² = I, (R² o f3)² = f2² = I
Construída por Ulysses Sodré.