Aplicação binária

Seja S um conjunto não vazio. Uma aplicação binária em S é uma aplicação f:S×S toS. Às vezes, uma operação binária é denominada operação interna, pois tomando dois elementos arbitrários em S, o resultado deverá estar dentro do conjunto S.

Exemplos: Seja N é o conjunto dos números naturais.

  1. A aplicação f:N×N toN definida por f(m,n)=m+n é uma aplicação binária, onde + é a adição usual.

  2. A aplicação f:N×N toN definida por f(m,n)=m.n é uma aplicação binária, onde . é a multiplicação usual.

  3. A aplicação f:N×N toN definida por f(m,n)=m−n não é uma aplicação binária, pois nem sempre a diferença m−n está no conjunto N dos números naturais.

  4. A aplicação f:N×N toN definida por f(m,n)=m ÷ n não é uma aplicação binária, pois nem sempre a divisão m ÷ n está no conjunto N dos números naturais.

Observações sobre aplicações binárias

  1. Escrevemos m+n, para entender que existe uma aplicação binária f(m,n)=m+n que é a operação de adição.

  2. Escrevemos m.n, para entender que existe uma aplicação binária f(m,n)=m.n que é a operação de multiplicação.

  3. Se não estiver clara a operação, usaremos outros sinais como: *, o, oplus ou odot para substituir esta operação.

  4. Em geral, a notação (S,*) significa que está definida uma aplicação binária * sobre um conjunto não vazio S.

Características das operações binárias

Seja * uma aplicação binária sobre um conjunto não vazio S. Diz-se que a estrutura (S,*) possui:

  1. a propriedade comutativa se, para quaisquer m,ninS: m*n = n*m.

  2. a propriedade associativa se, para quaisquer m,n,pinS: (m*n)*p=m*(n*p).

  3. elemento neutro (ou identidade) e inS, se para todo n inS: e*n=n*e=n.

  4. elemento simétrico em S, se para cada ninS, existe minS tal que n*m=m*n=e. onde e é o elemento neutro apresentado no ítem anterior. Aqui, m passa a representar o elemento simétrico de n.

Proposição: Demonstrar que se a estrutura (S,*) é associativa, possui elemento neutro e para cada m inS existe um elemento simétrico em S, então, cada simétrico é único e além disso, o simétrico do simétrico de m é o próprio m.

Observação: A palavra simétrico pode receber nomes especiais como oposto ou inverso, dependendo da operação utilizada. Se usamos a adição usual, o simétrico aditivo de m inS é denotado por −m e conhecido na literatura como oposto, mas se usamos a multiplicação usual, o simétrico multiplicativo de m inS é denotado por m −1, conhecido na literatura como inverso.

Definição de grupo

Um grupo é uma estrutura (S,*), formada por um conjunto não vazio S sobre o qual foi definido uma aplicação binária *, satisfazendo às propriedades:

  1. (S,*) é associativa;

  2. (S,*) possui um elemento neutro;

  3. Cada elemento n inS possui um simétrico m inS com relação à operação *.

Se a aplicação * é a adição, o grupo (S,*) é aditivo e se a aplicação * é a multiplicação, o grupo (S,*) é multiplicativo.

Se a estrutura de grupo (S,*) é comutativa, o grupo é comutativo ou grupo abeliano.

Exemplos:

  1. O conjunto Z dos números inteiros com a adição usual, estabelece uma estrutura (Z,+) de grupo abeliano, pois:

    1. Para quaisquer m,n,p inZ tem-se que: (m+n)+p=m+(n+p).

    2. Existe 0inZ tal que para todo minZ tem-se que 0+m=m+0=m.

    3. Para cada minZ existe −minZ tal que m+(−m)=0.

    4. Para quaisquer m,ninZ tem-se que m+n=n+m.

  2. O conjunto W={0,1} com a operação oplus tal que

    0 oplus 0=0,    0 oplus 1=1,    1 oplus 0=1,    1 oplus 1=0

    estabelece uma estrutura (W,oplus ) de grupo abeliano.

  3. O conjunto Y={1,−1} com a operação usual de multiplicação de números inteiros estabelece uma estrutura (Y,.) de grupo abeliano.

  4. Se P={0,1,2,3,4,5,...} é um conjunto de números inteiros munido com a adição usual, (P,+) não forma uma estrutura de grupo, pois nem todos os elementos de P possuem opostos em P, embora (P,+) seja associativa, comutativa e possua elemento neutro.

Tabelas de operações binárias e grupos

Muitas vezes temos conjuntos S munidos de operações definidas através de tabelas de dupla entrada (na forma de uma matriz) com o resultado da operação do primeiro elemento de uma linha com o primeiro elemento de uma coluna aparecendo no cruzamento da linha com a coluna.

Exemplos: Grupos definidos por tabelas:

  1. O conjunto W={0,1} com a adição oplus definida pela tabela abaixo define (W,oplus ) como um grupo abeliano.

    oplus 0 1
    0 0 1
    1 1 0
  2. O conjunto Y={−1,1} com a multiplicação usual definida pela tabela abaixo define (Y,.) como um grupo abeliano.

    . −1 1
    −1 1 −1
    1 −1 1
  3. O conjunto S1={0,1,2,3} com a adição oplus definida pela tabela abaixo define (S1,oplus ) como um grupo abeliano.

    oplus 0 1 2 3
    0 0 1 2 3
    1 1 2 3 0
    2 2 3 0 1
    3 3 0 1 2
  4. O conjunto S2={1,i,−1,−i} dos números complexos que são zeros da equação algébrica x 4−1=0 com a multiplicação otimes definida pela tabela abaixo define uma estrutura (S2,otimes ) de grupo abeliano.

    otimes 1 i −1 −i
    1 1 i −1 −i
    i i −1 −i 1
    −1 −1 −i 1 i
    −i −i 1 i −1

Interpretação das tabelas

Tomaremos a tabela abaixo para extrair as informações.

oplus 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
  1. A simetria dos elementos em relação à diagonal principal significa que esta operação é comutativa.

  2. A linha (ou coluna) do 0 se repete em relação à linha (ou coluna) do oplus significando que 0 é o elemento neutro.

  3. Quando aparece 0 (elemento neutro citado no ítem anterior) no cruzamento de uma linha com uma coluna, significa que o primeiro elemento da linha e o primeiro elemento da coluna são simétricos um do outro, como é o caso de 3 e 1, pois 3 oplus 1 = 1 oplus 3 =0.

  4. A associatividade deve ser verificada para todos os elementos.

Isomorfismo de grupos

Uma aplicação f:S1 toS2 é um isomorfismo entre os grupos (S1,oplus ) e (S2,otimes ), se f é bijetora e para todo x inS1 e y inS1:

f(x oplus y) = f(x) otimes f(y)

Quando existe um isomorfismo entre os grupos (S1,oplus ) e (S2,otimes ), dizemos que os grupos (S1,oplus ) e (S2,otimes ) são isomorfos.

Exemplo: Sejam S1={0,1,2,3} e S2={1,i,−1,−i} os conjuntos cujas operações binárias foram apresentados nas duas tabelas. Os grupos (S1,oplus ) e (S2,otimes ) são isomorfos, pois tomando a aplicação f:S1 toS2 definida para cada m inS1 por

f(m) = im = i * i * i ... * i (m vezes)

segue que f é bijetora e além disso, quaisquer que sejam m e n em S1, tem-se que:

f(m oplus n) = i m+n = im otimes in = f(m) otimes f(n)

A aplicação acima f é um isomorfismo entre (S1,oplus ) e (S2,otimes ), f(0)=1, isto é, o elemento neutro 0 inS1 é aplicado no elemento neutro 1 inS2 por f e temos: f(1)=i, f(2)=−1 e f(3)=−1.

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