Matemática Essencial
Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil
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Corpos
Ulysses Sodré
Material desta página
1 Propriedades distributivas
Seja \(K\) um conjunto não vazio sobre o qual podem ser definidas duas aplicações binárias \(+\) e \(*\), sendo \(x,y,z\in K\) elementos arbitrários de \(K\).
Diz-se que a aplicação (operação) \(*\) é distributiva em relação à aplicação (operação) \(+\) se
\[x*(y+z) = x*y + x*z\]
e que a aplicação (operação) \(+\) é distributiva em relação à aplicação (operação) \(*\) se
\[(x+y)*z = x*z + y*z\]
Exemplo: Seja o conjunto \(K=\{0,1,2,3\}\) com a adição \(+\) e a multiplicação \(*\), definidas pelas tabelas:
\[
\begin{matrix}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
+ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
1 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ \hline
2 & 2 & 3 & 0 & 1 \\ \hline
3 & 3 & 0 & 1 & 2 \\ \hline
\end{array}
&
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
* & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
2 & 0 & 2 & 3 & 1 \\ \hline
3 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ \hline
\end{array}
\end{matrix}\]
Sobre este conjunto \(K\), a multiplicação \(*\) é distributiva em relação à adição \(+\). Observamos que nem sempre as palavras adição e multiplicação na Álgebra, têm os significados comuns conhecidos no Ensino Fundamental.
2 Definição de corpo
Seja \(K \neq \emptyset\) um conjunto sobre o qual podem ser definidas as operações binárias \(+\) e \(*\).
A estrutura algébrica \((K,+,*)\) é um corpo se:
- \((K,+)\) é um grupo abeliano;
- \((K-\{0\},*)\) é um grupo abeliano;
- A operação \(*\) é distributiva em relação à operação \(+\).
Exemplo: A estrutura algébrica \((Z,+,.)\), em que \(Z\) é o conjunto dos números inteiros com as operações usuais de adição e multiplicação, não é uma estrutura de corpo.
3 Proposição
Seja \((K,+,*)\) um corpo.
- Se \(0\) é o elemento neutro aditivo em \(K\), então para todo \(x\in K\): \(x*0=0*x=0\).
- Quaisquer que sejam \(x,y \in K\), tem-se que: \(x*y=(-x)*(-y)\).
- Quaisquer que sejam \(x,y \in K\), vale: \((-x)*y=x*(-y)=-(x*y)\).
- Se \(x*y=0\) para \(x\in K\) e \(y\in K\), então \(x=0\) ou \(y=0\).
- Se \(x*y\neq 0\) para \(x,y\in K\), então \(x\neq 0\) e \(y\neq 0\).
4 Isomorfismo de corpos
Se \((S_1,+_1,*_1)\) e \((S_2,+_2,*_2)\) são corpos, dizemos que a aplicação \(f:S_1 \to S_2\) é um isomorfismo entre estes corpos, se:
- \(f:S_1 \to S_2\) é uma bijeção;
- \(f:(S_1,+_1) \to (S_2,+_2)\) é um isomorfismo de grupos;
- \(f:(S_1-\{0\},*_1) \to (S_2-\{0\},*_2)\) é um isomorfismo de grupos.
Para esta aplicação \(f:S_1 \to S_2\) temos que para quaisquer \(x,y\in S_1\), valem as propriedades para a soma e para o produto:
\begin{align}
f(x +_1 y) &= f(x) +_2 f(y) \\
f(x *_1 y) &= f(x) *_2 f(y)
\end{align}
Se existe um isomorfismo entre os corpos \((S_1,+_1,*_1)\) e \((S_2,+_2,*_2)\), tais corpo são isomorfos.
Por definição:
\begin{align}
x-y &= x + (-y) \\
\frac{x}{y} &= x*y^{-1}
\end{align}
5 Proposição
Se \((K,+,*)\) é um corpo e \(x,y,z,a,b\in K\), demonstrar que:
- Se \(0\) é o elemento neutro aditivo em \(K\), então \(-0=0\).
- \(-(x+y)=(-x)+(-y)=-x-y\).
- \(-(x-y)=y-x\).
- Se \(e\) é o elemento neutro multiplicativo em \(K\), então \(e^{-1}=e\).
- \(\frac{x}{y}=0\) se, e somente se, \(x=0\).
- Se \(x\neq 0\) então \((x*y=x*z)\) implica que \(y=z\).
- Se \(x\neq 0\) e \(y=z\) então \(x*y=x*z\).
- Se \(y\neq 0\) e \(w\neq 0\) então \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{z}{w}=\dfrac{x*w+y*z}{y*w}\)
- Se \(y\neq 0\) e \(w\neq 0\) então \(\dfrac{x}{y}*\dfrac{z}{w}=\dfrac{x*z}{y*w}\)
- \(x*(y-z)=x*y-x*z\).
- \((x-y)+(y-z)=x-z\).
- \((x-y)-(z-y)=x-z\).
- \((x-y)*(z-w)=(x*z+y*w)-(x*w+y*z)\).
- \(x-y=z-w\) é equivalente a \(x+w=y+z\).
- A equação \(a*x+b=0\) tem uma única solução se \(a\neq 0\).
- A equação \(a*x+b=0\) não tem solução se \(a=0\) e \(b\neq 0\).
- A equação \(a*x+b=0\) tem infinitas soluções se \(a=b=0\).