Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Trigonometria
Trigonometria Hiperbólica
Ulysses Sodré

Material desta página

1 Funções exponenciais reais

A função exponencial é uma das mais importantes da Matemática. Esta função é definida por \(f:R\to R\) através de

\[f(t) = \exp(t) = e^t\]

No plano cartesiano, podemos obter a reflexão do gráfico desta função em relação ao eixo \(OY\), que nos dá outra função exponencial \(g:R\to R\) definida por

\[g(t) = \exp(-t) = e^{-t}\]

Os gráficos destas funções podem ser vistos abaixo. Notamos que tais funções são positivas. \(f(t)=e^t\) (cor vermelha) é crescente e \(g(t)=e^{-t}\) (cor azul) é decrescente.

Com estas funções, definimos outras funções da Matemática bastante utilizadas nas ciências em geral, inclusive na própria Matemática.

2 Cosseno hiperbólico e Seno hiperbólico

As funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, são definidas, respectivamente, por:

\begin{align} \cosh(t) & = \frac12 (e^t + e^{-t}) \\ \text{senh}(t) & = \frac12 (e^t - e^{-t}) \end{align}\]

A função \(\cosh\) é sempre positiva, enquanto que \(\text{senh}\) é positiva para parâmetros positivos reais, negativos para parâmetros negativos reais e se anula em \(t=0\).

Com estas duas funções \(\cosh\) (cor vermelha) e \(\text{senh}\) (cor azul), também podemos definir outras funções da Matemática.

Aplicação: Ao observar um fio usado para transporte de energia elétrica, preso em dois postes, notamos que a força peso do fio faz com que ele fique meio arredondado, dando a impressão que o gráfico formado pela curva representa uma parábola, mas na verdade, tal curva é o gráfico da função cosseno hiperbólico, conhecida como a catenária (do Latim catena=cadeia) pois foi através de uma corrente metálica formada por elos (cadeias) que se observou primeiramente tal curva.

3 Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante hiperbólicos

As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicos, são definidas por:

\[\begin{array}{lcl} \text{tanh}(t) = \dfrac{\text{senh}(t)}{\cosh(t)} & & \coth(t) = \dfrac{\cosh(t)}{\text{senh}(t)} \\ \text{sech}(t) = \dfrac{1}{\cosh(t)} & & \text{csch}(t) = \dfrac{1}{\text{senh}(t)} \end{array}\]

quando os denominadores são diferentes de zero.

4 Relação fundamental da trigonometria hiperbólica

Ao tomar a diferença dos quadrados das funções \(\cosh\) e \(\text{senh}\), obtemos:

\[\cosh^2(t)-\text{senh}^2(t)=\left[\frac12(e^t+e^t)\right]^2-\left[\frac12(e^t+e^t)\right]^2\]

efetuando as operações obtemos

\[\cosh^2(t) - \text{senh}^2(t) = 1\]

que é a relação fundamental da Trigonometria hiperbólica.

5 Porque trigonometria hiperbólica?

A construção da trigonometria circular, é realizada sobre uma circunferência de raio unitário, dada por \(x^2+y^2=1\). Tomando \(x=\cos(t)\) e \(y=\text{sen}(t)\), observamos a relação fundamental da trigonometria circular:

\[\cos^2(t) + \text{sen}^2(t) = 1\]

onde \(t\) é o ângulo (tomado em radianos).

Para construir a trigonometria hiperbólica, usamos uma curva denominada hipérbole, representada por \(x^2-y^2=1\). Tomando \(x=\cosh(t)\) e \(y=\text{senh}(t)\), obtemos a relação fundamental da trigonometria hiperbólica, que é:

\[\cosh^2(t) - \text{senh}^2(t) = 1\]

onde \(t\) é um parâmetro real que pode ser interpretado geometricamente.

6 Trigonometria circular versus Trigonometria hiperbólica

Quase todas as propriedades da trigonometria circular podem ser transladadas para a trigonometria hiperbólica, com o cuidado de observar alguns sinais são trocados em algumas expressões.

\[\begin{array}{c|c} \hline \text{Trigonometria circular} & \text{Trigonometria hiperbólica} \\ \hline x^2 + y^2 = 1 & x^2 - y^2 = 1 \\ \hline \cos^2(t)+\text{sen}^2(t)=1 & \cosh^2(t)-\text{senh}^2(t) = 1 \\ \text{tan}(t) =\dfrac{\text{sen}(t)}{\cos(t)} & \text{tanh}(t) = \dfrac{\text{senh}(t)}{\cosh(t)} \\ \cot(t) =\dfrac{\cos(t)}{\text{sen}(t)} & \coth(t) = \dfrac{\cosh(t)}{\text{senh}(t)} \\ \sec(t) =\dfrac{1}{\cos(t)} & \text{sech}(t) = \dfrac{1}{\cosh(t)} \\ \csc(t) =\dfrac{1}{\text{sen}(t)} & \text{csch}(t) = \dfrac{1}{\text{senh}(t)} \\ \text{sen}(2t){=}2\text{sen}(t)\cos(t) & \text{senh}(2t){=}2\text{senh}(t)\cosh(t) \\ \cos(2t){=}\cos^2(t){-}\text{sen}^2(t) & \cosh(2t){=}\cosh^2(t)+\text{senh}^2(t) \\ \text{tan}(2t){=}\dfrac{2\text{tan}(t)}{1{-}\text{tan}^2(t)} & \text{tanh}(2t){=}\dfrac{2\text{tanh}(t)}{1{+}\text{tanh}^2(t)} \\ \hline \end{array}\]

Para as derivadas (D), temos a tabela:

[\[\begin{matrix} \hline \text{Trigonometria circular} & \text{Trigonometria hiperbólica} \\ \hline D[\text{sen}(t)]= \cos(t) & D[\text{senh}(t)]=\cosh(t) \\ D[\cos(t)]={-}\text{sen}(t) & D[\cosh(t)]=\text{senh}(t) \\ D[\text{tan}(t)]=\sec^2(t) & D[\text{tanh}(t)]=\text{sech}^2(t) \\ \hline \end{matrix}\]

7 Funções inversas da trigonometria hiperbólica

É possível definir a função inversa de \(\cosh\), que será identificada por \(\text{arccosh}\), assim como de todas as outras funções trigonométricas hiperbólicas. O procedimento é semelhante em todos os seis casos.

Se \(\cosh(u)=t\), obtemos o valor de \(u\) em função de \(t\), denotando-o por qualquer uma das duas formas abaixo:

\[u = \text{arccosh}(t) = \cosh^{-1}(t)\]

Pela definição dada na parte inicial desta página, segue que:

\[t = \cosh(u) = \frac12(e^u + e^{-u})\]

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\[2t = e^u + 1/e^u\]

Tomando \(e^u=x\), obtemos \(2t=x+1/x\), ou seja, \(x^2-2tx+1=0\).

Resolvendo esta equação do segundo grau em \(x\) obtemos:

\[e^u = x = t + \sqrt{t^2-1}\]

Aplicando o logaritmo natural a ambos os membros dessa igualdade, obtemos:

\[u = \log(t+\sqrt{t^2-1})\]

Assim, a função inversa de \(\cosh\) é a função definida por:

\[\text{arccosh}(t) = \cosh^{-1}(t) = \log(t + \sqrt{t^2-1})\]

8 Duas integrais com a trigonometria circular

Para calcular separadamente, por métodos comuns, cada uma das integrais:

\[C = \int_0^\pi \cos^2(t) dt, \qquad S = \int_0^\pi \text{sen}^2(t) dt\]

temos dificuldades, mas calculando as duas ao mesmo tempo, temos o nosso trabalho facilitado! A soma e a diferença dessas duas integrais juntamente com as relações da Trigonometria circular:

\begin{align} \cos^2(t) + \text{sen}^2(t) & = 1 \\ \cos^2(t) - \text{sen}^2(t) & = \cos(2t) \end{align}

Calculando as duas integrais quase simultaneamente, obtemos:

\[\begin{array}{llll} C+S & = \displaystyle\int_0^\pi [\cos^2(t){+}\text{sen}^2(t)]dt & = \displaystyle\int_0^\pi 1 dt & = \pi \\ C-S & = \displaystyle\int_0^\pi [(\cos^2(t){-}\text{sen}^2(t)]dt & = \displaystyle\int_0^\pi \cos(2t)dt & = 0 \end{array}\]

e resolvendo o sistema formado por \(C+S = \pi\) e \(C-S=0\) obtemos:

\[C = S = \frac12 \pi\]

Aplicação: Já sabemos do Ensino Básico que a área do círculo envolvido pela circunferência \(x^2+y^2=r^2\) é dado por \(A=\pi r^2\). Podemos obter tal resultado através de uma integral com uma substituição trigonométrica.

Vamos explicitar \(y\) em função de \(x\) e considerar esta função no primeiro quadrante para obter para \(0\leq x\leq r\):

\[y(x) = \sqrt{r^2-x^2}\]

A integral dessa função no intervalo \([0,r]\) nos fornece a área \(A\) que corresponde à área da quarta parte do círculo.

Usando a mudança de variáveis \(x=r\text{sen}(t)\), \(dx=r\cos(t)dt\), obtemos:

\begin{align} A & = \int_0^r \sqrt{r^2-x^2} dx \\ & = \int_0^{\pi/2} \sqrt{r^2-r^2\text{sen}^2(t)} r\cos(t) \\ & = \int_0^{\pi/2} r\sqrt{1-\text{sen}^2(t)} r\cos(t)ddt \\ & = r^2 \int_0^{\pi/2} \cos^2(t) dt = \frac14 \pi r^2 \end{align}

9 Duas integrais com a trigonometria hiperbólica

Para calcular separadamente, por métodos comuns, cada uma das integrais:

\[U = \int_0^x \cosh^2(t) dt, \quad V = \int_0^x \text{senh}^2(t) dt\]

temos dificuldades, mas calculando as duas ao mesmo tempo, temos o nosso trabalho muito facilitado!

A soma e a diferença dessas duas integrais juntamente com as relações da Trigonometria hiperbólica,

\begin{align} \cosh^2(t) - \text{senh}^2(t) & = 1 \\ \cosh^2(t) + \text{senh}^2(t) & = \cosh(2t) \end{align}

nos dá:

\begin{align} U - V & = x \\ U + V & = \frac12 \text{senh}(2x) = \text{senh}(x) \cosh(x) \end{align}

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\begin{align} U & = \frac12 ( x + \text{senh}(x) \cosh(x)) \\ V & = \frac12 (-x + \text{senh}(x) \cosh(x)) \end{align}

Aplicação: Vamos obter a área da região do 1o. quadrante localizada sob a hipérbole \(x^2-y^2=1\), acima do eixo \(OX\) e à esquerda da reta \(x=t\).

Usamos a integral com uma substituição trigonométrica hiperbólica. Inicialmente, vamos explicitar \(y\) em função de \(x\) e considerar esta função no 1o. quadrante para obter, com \(1 \leq x \leq t\):

\[y(t) = \sqrt{x^2-1}\]

A integral dessa função no intervalo \([1,t]\) nos fornece:

\[A = \int_1^t \sqrt{x^2-1} dx\]

Com a mudança de variáveis \(x=\cosh(v)\), \(dx=\text{senh}(v)dv\) temos a integral indefinida:

\begin{align} I & = \int \sqrt{\cosh^2(v)-1} \text{senh}(v) dv \\ & = \int \text{senh}^2(v) dv \\ & = \frac12[-v + \text{senh}(v) \cosh(v)] \end{align}

Voltando às variáveis originais, podemos escrever:

\[I = \frac12 \left(-\text{arccosh}(x) + x \sqrt{x^2-1}\right)\]

Assim, a área desejada sé dada por:

\[A = \frac12\left(-\text{arccosh}(t) + t \sqrt{t^2-1}\right)\]

ou

\[A= \frac12\left(-\log(t + \sqrt{t^2-1}) + t \sqrt{t^2-1}\right)\]