Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Trigonometria
Funções Trigonométricas Inversas
Anderson Quilles
Cláudio Bitto
Sônia F. L. Toffoli
Ulysses Sodré

Material desta página

1 Funções trigonométricas inversas

Uma função \(f\), de domínio \(D\) possui inversa somente se \(f\) é bijetora, e por este motivo nem todas as funções trigonométricas possuem inversas em seus domínios de definição, mas podemos tomar subconjuntos desses domínios para gerar novas funções que tenham inversas.

Exemplo: A função \(f(x)=\cos(x)\) não é bijetora em seu domínio de definição que é o conjunto dos números reais, pois para um valor de \(y\) correspondem infinitos valores de \(x\). Por exemplo, se \(\cos(x)=1\), podemos tomar \(x=0\), \(x=2\pi\), \(x=4\pi\), \(x=-2\pi\), etc, isto é \(x=2k\pi\), onde \(k\) é um número inteiro, isto quer dizer que não podemos definir a inversa de \(f(x)=\cos(x)\) em seu domínio.

Mas, podemos restringir o domínio a um subconjunto dos números reais onde a função é bijetora.

Como as funções trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos reais onde elas são bijetoras. É usual escolher como domínio, intervalos onde o zero é o ponto médio ou o extremo esquerdo e no qual a função percorre todo o seu conjunto imagem.

2 Função arco-seno

Seja a função \(f(x)=\text{sen}(x)\), com domínio restrito ao intervalo \([-\pi/2,\pi/2]\) e imagem sobre o intervalo \([-1,1]\). A função inversa de \(f\), denominada arco cujo seno, definida por \(f^{-1}:[-1,1]\to[-\pi/2,\pi/2]\) é denotada por

\[f^{-1}(x) = \text{arcsen}(x)\]

Gráfico da função arco-seno

3 Função arco-cosseno

Seja a função \(f(x)=\cos(x)\), com domínio restrito a \([0,\pi]\) e imagem \([-1,1]\). A função inversa de \(f\), denominada arco cujo cosseno é definida por \(f^{-1}:[-1,1]\to [0,\pi]\) e denotada por

\[f^{-1}(x) = \arccos(x)\]

Gráfico da função arco-cosseno

4 Função arco-tangente

Dada a função \(f(x)=\text{tan}(x)\), com domínio restrito a \((-\pi/2,\pi/2)\) e imagem em \(R\), a função inversa de f, denominada arco-tangente é definida por \(f^{-1}:R\to (-\pi/2,\pi/2)\) e denotada por

\[f^{-1}(x) = \arctan(x)\]

Gráfico da função arco-tangente

5 Função arco-cotangente

Dada a função \(f(x)=\cot(x)\), com domínio restrito a \((0,\pi)\) e imagem em \(R\), a função inversa de \(f\), denominada arco-cotangente é definida por \(f^{-1}:R\to (0,\pi)\) e denotada por

\[f^{-1}(x) = \text{arccot}(x)\]

Gráfico da função arco-cotangente