Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Trigonometria
Funções Trigonométricas Circulares
Anderson Quilles
Cláudio Bitto
Sônia F.L.Toffoli
Ulysses Sodré

Material desta página

1 Funções circulares

As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicidade pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.

2 Funções reais

Devemos ter um bom conhecimento das definições e propriedades que caracterizam a teoria de funções reais, iniciaremos então com a definição de funções.

Função: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função \(f\) de A em B, é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B.

O conjunto A é o domínio de \(f\), e o conjunto B é o contradomínio de \(f\). O elemento \(y\) de \(B\) que corresponde ao elemento \(x\) de \(A\) de acordo com a lei \(f\), é denominado imagem de \(x\) por \(f\) e é indicado por \(y=f(x)\).

O conjunto de todos elementos de \(B\) que são imagem de algum elemento de \(A\) é denominado conjunto Imagem de \(f\).

Uma função \(f\) é denominada função real de variável real, se o domínio e contradomínio de \(f\) são subconjuntos do conjunro dos números reais.

Função periódica: Uma função real \(f\), com domínio em \(A \subset R\), é dita periódica se, existe um número real positivo \(T\), tal que para todo \(x\in A\), vale \(f(x+T) = f(x)\).

Podem existir muitos números reais \(T\) com esta propriedade, mas o menor número positivo \(T\), que satisfaz a esta condição recebe o nome de período fundamental.

Exemplo: A função real definida por \(f(x)=x-[x]\), onde \([x]\) é a parte inteira do número real \(x\) que é menor ou igual a \(x\). Esta função é periódica de período fundamental \(T=1\).

Função limitada: Uma função \(f\) de domínio \(A \subset R\) é limitada, se existe um número real positivo \(L\), tal que para todo \(x\in A\), valem as desigualdades: \(-L \leq f(x) \leq L\). Estas duas desigualdades podem ser escritas como \(|f(x)| \leq L\).

Exemplo: A função real definida por \(f(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}\), é limitada pois

\[-1 \leq \frac{2x}{1+x^2} \leq 1\]

e seu gráfico está aqui:

3 Funções crescentes e decrescentes

Seja \(f\) uma função definida em um intervalo real \(I\), \(x\) e \(y\) dois valores quaisquer pertencentes a \(I\), com \(x<y\). \(f\) é crescente, se \(f(x)<f(y)\) e \(f\) é decrescente, se \(f(x)>f(y)\).

Exemplo: A função real \(f(x)=2x+1\) é crescente e a função real \(f(x)=e^{-x}\) é decrescente.

4 Funções pares e ímpares

  1. Função par: Uma função \(f\) é par, se para todo \(x\) do domínio de \(f\), possui a propriedade: \(f(-x) = f(x)\).
    Nota: Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical \(OY\).
    Exemplo: A função real definida por \(f(x)=x^2\) é par.
  2. Função ímpar: Uma função \(f\) é ímpar, se para todo \(x\) do domínio de \(f\) satisfaz a igualdade \(f(-x) = -f(x)\).
    Nota: Funções ímpares são simétricas em relação à origem \((0,0)\) do sistema de eixos cartesianos.
    Exemplo: A função real definida por \(f(x)=x^3\) é ímpar.

5 Função seno

Dado um ângulo de medida \(x\), a função seno é a relação que associa a cada \(x\in R\), o seno do ângulo \(x\), denotado pelo número real \(\text{sen}(x)\). A função é denotada por \(f(x)=\text{sen}(x)\) ou \(y=\text{sen}(x)\).

Segue uma tabela com alguns valores de \(f\) no intervalo \([0,2\pi]\).

\[\begin{matrix}\hline x & 0 & \pi/4 & \pi/2 & 3 \pi/4 & \pi & 5\pi/4 & 3\pi/2 & 7\pi/4 & 2\pi \\ y & 0 & \sqrt{2}/2 & 1 & \sqrt{2}/2 & 0 & -\sqrt{2}/2 & -1 & -\sqrt{2}/2 & 0 \\ \hline \end{matrix}\]

Gráfico: Na figura seguinte, o segmento \(Oy'\) que mede \(\text{sen}(x)\), é a projeção do segmento \(OM\) sobre o eixo \(OY\).

Propriedades:

  1. Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, logo, \(\text{Dom}(\text{sen})=R\).
  2. Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo \(I=\{y\in R: -1 \leq y \leq 1\}\).
  3. Periodicidade: A função seno é periódica de período \(2\pi\). Para todo \(x\in R\) e para todo número inteiro \(k\):
    \[\text{sen}(x) = \text{sen}(x+2\pi) = \text{sen}(x+4\pi) =\cdots= \text{sen}(x+2k\pi)\]
    Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos que
    \[\text{sen}(x+2k\pi) = \text{sen}(x)\cos(2k\pi) + \cos(x)\text{sen}(2k\pi)\]
    Para \(k\in Z\), temos que \(\cos(2k\pi)=1\) e \(\text{sen}(2k\pi)=0\), logo
    \[\text{sen}(x+2k\pi) = \text{sen}(x)(1)+\cos(x)(0) = \text{sen}(x)\]
    A função seno é periódica de período fundamental \(T=2\pi\). Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida \(2\pi\).

  4. Sinal da função seno:

    \[\begin{matrix} \hline Intervalo & [0,\pi/2] & [\pi/2,\pi] & [\pi,3\pi/2] & [3\pi/2,2\pi] \\ Função & positiva & positiva & negativa & negativa \\ \hline \end{matrix}\]
  5. Monotonicidade da função seno:
    \[\begin{matrix} \hline Intervalo & [0,\pi/2] & [\pi/2,\pi] & [\pi,3\pi/2] & [3\pi/2,2\pi] \\ Função & crescente & decrescente & decrescente & crescente \\ \hline \end{matrix}\]
  6. Limitação: O gráfico da curva \(y=\text{sen}(x)\) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais \(y=-1\) e \(y=1\). Para todo \(x\in R\), temos: \(-1 \leq \text{sen}(x) \leq 1\).
  7. Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo \(x\) real, tem-se que: \(\text{sen}(-x) = -\text{sen}(x)\).

6 Função cosseno

Dado um ângulo de medida \(x\), a função cosseno é a relação que associa a cada \(x\)R$ o número real \(\cos(x)\). Esta função é denotada por \(f(x)=\cos(x)\) ou \(y=\cos(x)\).

Segue uma tabela com alguns valores de \(f\) no intervalo \([0,2\pi]\).

\[\begin{matrix} \hline x & 0 & \pi/4 & \pi/2 & 3 \pi/4 & \pi & 5\pi/4 & 3\pi/2 & 7\pi/4 & 2\pi \\ y & 1 & \sqrt{2}/2 & 0 & \sqrt{2}/2 & -1 & -\sqrt{2}/2 & 0 & \sqrt{2}/2 & 1 \\ \hline \end{matrix}\]

Gráfico: O segmento \(Ox\), que mede \(cos(x)\), é a projeção do segmento \(OM\) sobre o eixo horizontal \(OX\).

Propriedades da função cosseno

  1. Domínio: A função cosseno está muito bem definida para todos os valores reais, assim \(\text{Dom}(\cos)=R\).
  2. Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo \(I=\{y\in R: -1 \leq y \leq 1\}\).
  3. Periodicidade: A função cosseno é periódica de período \(2\pi\). Para todo \(x\in R\) e para todo \(k\in Z\):
    \[\cos(x)=\cos(x+2\pi)=\cos(x+4\pi)=\cdots=\cos(x+2k\pi)\]
    Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos
    \[\cos(x+2k\pi)=\cos(x)\cos(2k\pi)-\text{sen}(x)\text{sen}(2k\pi)\]

    Para todo \(k\in Z\): \(\cos(2k\pi)=1\) e \(\text{sen}(2k\pi)=0\), então

    \[\cos(x+2k\pi)=\cos(x)(1)-sen(x)(0)=\cos(x)\]
    A função cosseno é periódica de período fundamental \(T=2\pi\).
  4. Sinal da função cosseno

    \[\begin{matrix} \hline Intervalo & [0,\pi/2] & [\pi/2,\pi] & [\pi,3\pi/2] & [3\pi/2,2\pi] \\ Função & positiva & negativa & negativa & positiva \\ \hline \end{matrix}\]
  5. Monotonicidade da função cosseno
    \[\begin{matrix} \hline Intervalo & [0,\pi/2] & [\pi/2,\pi] & [\pi,3\pi/2] & [3\pi/2,2\pi] \\ Função & decrescente & decrescente & crescente & crescente \\ \hline \end{matrix}\]
  6. Limitação: O gráfico da curva \(y=\cos(x)\) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais \(y=-1\) e \(y=1\). Para todo \(x\in R\), temos: \(-1 \leq \cos(x) \leq 1\).
  7. Simetria: A função cosseno é par, pois para todo \(x\) real, tem-se que: \(\cos(-x) = \cos(x)\).

7 Função tangente

Como a tangente não existe para arcos da forma \((k+1)\pi/2, (k\in Z)\), consideramos o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a esse \(x\in R\), a tangente de x, denotada por \(\text{tan}(x)\).

\[f(x) = \text{tan}(x) =\frac{\text{sen}(x)}{\cos(x)}\]

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

\[\begin{matrix} \hline x & 0 & \pi/4 & \pi/2 & 3 \pi/4 & \pi & 5\pi/4 & 3\pi/2 & 7\pi/4 & 2\pi \\ y & 0 & 1 & \text{não existe} & -1 & 0 & 1 & \text{não existe} & -1 & 0 \\ \hline \end{matrix}\]

Gráfico: O segmento \(AT\), mede \(\text{tan}(x)\).

Pelo gráfico, notamos que, quando a medida do arco \(AM\) está próximo de \(\pi/2\) (ou de \(-\pi/2\)), a função tangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por \(OM\) tem coeficiente angular cada vez maior e vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta \(t\) vai ficando mais distante do eixo \(OX\).

Propriedades

  1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma \(\pi/2+k\pi, (k\in Z)\), temos
    \[Dom(\text{tan})={x\in R: x \neq \pi/2+k\pi}\]
  2. Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim \(I=R\).
  3. Periodicidade: A função tangente é periódica, de período \(\pi\), Para todo \(x\in R\), onde \(x\neq\pi/2+k\pi\), para \(k\in Z\)

    \[\text{tan}(x)=\text{tan}(x+\pi)=\text{tan}(x+2\pi)=\cdots=\text{tan}(x+k\pi)\]

    Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos

    \[\text{tan}(x+k\pi) =\frac{\text{tan}(x)+\text{tan}(k\pi)}{1-\text{tan}(x)\text{tan}(k\pi)}=\frac{\text{tan}(x)+0}{1-\text{tan}(x).0}= \text{tan}(x)\]
    A função tangente é periódica de período fundamental \(T=\pi\). Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.

  4. Sinal da função tangente
    \[\begin{matrix} \hline Intervalo & [0,\pi/2] & [\pi/2,\pi] & [\pi,3\pi/2] & [3\pi/2,2\pi] \\ Função & positiva & negativa & positiva & negativa \\ \hline \end{matrix}\]
  5. Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos \(x=k\pi/2, (k\in Z)\), onde a função não está definida.
  6. Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de \((2k+1)\pi/2\), a função cresce (ou decresce) sem controle.
  7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo \(x\) real onde a tangente está definida, tem-se que: \(\text{tan}(-x) = -\text{tan}(x)\).

8 Função cotangente

Como a cotangente não existe para arcos da forma \((k+1)\pi, (k\in Z)\), estamos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cotangente como a relação que associa a cada \(x\) real, a cotangente de \(x\), denotada por:

\[f(x)=\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\text{sen}(x)}\]

Segue uma tabela com alguns valores de \(f\) no intervalo \([0,2\pi]\).

\[\begin{matrix} \hline x & 0 & \pi/4 & \pi/2 & 3 \pi/4 & \pi & 5\pi/4 & 3\pi/2 & 7\pi/4 & 2\pi \\ y & \text{não existe} & 1 & 0 & -1 & \text{não existe} & 1 & 0 & -1 & \text{não existe} \\ \hline \end{matrix}\]

Gráfico: O segmento \(Os'\) mede \(\cot(x)\).

Observando no gráfico o que ocorre quando a medida do arco \(AM\) está próxima de \(\pi\) (ou \(-\pi\)), verificamos que o gráfico da função cotangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por \(OM\) vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interseção com a reta \(s\) vai se tornando muito distante.

Propriedades

  1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma \(\pi+k\pi, (k\in Z)\), temos que
    \[\text{Dom}(\cot) = {x\in R: x \neq (k+1)\pi}\]
  2. Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim \(I=R\).
  3. Periodicidade: A função é periódica e seu período é \(\pi\). Para todo \(x\in R\), sendo \(x\) diferente de \(\pi+k\pi, (k\in Z)\)
    \[\cot(x) = \cot(x+\pi) = \cot(x+2\pi) = \cdots = \cot(x+k\pi)\]
    A função cotangente é periódica de período fundamental \(T=2\pi\).
  4. Sinal:
    \[\begin{matrix} \hline Intervalo & [0,\pi/2] & [\pi/2,\pi] & [\pi,3\pi/2] & [3\pi/2,2\pi] \\ Função & positiva & negativa & positiva & negativa \\ \hline \end{matrix}\]
  5. Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos \(x=k\pi, (k\in Z)\), onde a função não está definida.
  6. Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de \(k\pi/2\), a função cresce (ou decresce) sem controle.
  7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo \(x\in R\), tem-se que: \(\cot(-x) = -\cot(x)\).

9 Função secante

Como a secante não existe para arcos da forma \((2k+1)\pi/2, (k\in Z)\), consideramos o conjunto dos números reais diferentes destes valores.

Definimos a função secante como a relação que associa a cada \(x\) real, a secante de \(x\), denotada por \(\sec(x)\).

\[f(x) = \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\]

Segue uma tabela com alguns valores de \(f\) no intervalo \([0,2\pi]\).

\[\begin{matrix} \hline x & 0 & \pi/4 & \pi/2 & 3\pi/4 & \pi & 5\pi/4 & 3\pi/2 & 7\pi/4 & 2\pi \\ y & 1 & \sqrt{2} & \text{não existe} & -\sqrt{2} & -1 & -\sqrt{2} & \text{não existe} & \sqrt{2} & 1 \\ \hline \end{matrix}\]

Gráfico: O segmento \(OV\) mede \(\sec(x)\).

Quando \(x\) assume valores próximos de \(\pi/2\) ou de \(3\pi/2\), \(\cos(x)\) se aproxima de zero e a fração \(1/\cos(x)\) em valor absoluto, tende ao infinito.

Propriedades

  1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma \(\pi/2+k\pi, (k\in Z)\), temos
    \[\text{Dom}(\sec) = \{x\in R: x \neq (2k+1)\pi/2\}\]
  2. Imagem: Para todo \(x\) do domínio da secante, temos que \(\sec(x) \leq -1\) ou \(\sec(x) \geq 1\), assim o conjunto imagem da secante é dado pelos conjunto:
    \[Im(\sec) = {y\in R: y \leq -1 \text{ ou } y \geq 1}\]
  3. Periodicidade: A função é periódica e seu período é \(2\pi\). Para todo \(x\in R\), sendo \(x\) diferente de \(\pi+k\pi, (k\in Z)\)
    \[\sec(x) = \sec(x+2\pi) = \sec(x+4\pi) = \cdots = \sec(x+2k\pi)\]
    Por este motivo, a função secante é periódica e seu período é \(2\pi\), e podemos completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.

  4. Sinal da função secante:
    \[\begin{matrix} \hline Intervalo & [0,\pi/2] & [\pi/2,\pi] & [\pi,3\pi/2] & [3\pi/2,2\pi] \\ Função & positiva & negativa & negativa & positiva \\ \hline \end{matrix}\]
  5. Monotonicidade da função secante
    \[\begin{matrix} \hline Intervalo & [0,\pi/2] & [\pi/2,\pi] & [\pi,3\pi/2] & [3\pi/2,2\pi] \\ Função & crescente & crescente & decrescente & decrescente \\ \hline \end{matrix}\]
  6. Limitação: A função secante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de \((2k+1)\pi/2\), a função cresce (ou decresce) sem controle.
  7. Simetria: A função secante é par, pois para todo \(x\) onde a secante está definida, tem-se que: \(\sec(-x) = \sec(x)\).

10 Função cossecante

Como a cossecante não tem sentido para arcos da forma \(k\pi, (k\in Z)\), consideramos o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cossecante como a relação que associa a este \(x\) real, a cossecante de \(x\), denotada por \(\csc(x)\) e

\[f(x) = \csc(x)= \frac{1}{\text{sen}(x)}\]

Segue uma tabela com alguns valores de \(f\) no intervalo \([0,2\pi]\).

\[\begin{matrix} \hline x & 0 & \pi/4 & \pi/2 & 3\pi/4 & \pi & 5\pi/4 & 3\pi/2 & 7\pi/4 & 2\pi \\ y & \text{não existe} & \sqrt{2} & 1 & \sqrt{2} & \text{não existe} & -\sqrt{2} & -1 & -\sqrt{2} & \text{não existe} \\ \hline \end{matrix}\]

Gráfico: O segmento \(OU\) mede \(\csc(x)\).

Quando \(x\) assume valores próximos de \(0\), de \(\pi\) ou de \(2\pi\), \(\text{sen}(x)\) se aproxima de zero e a fração \(1/\text{sen}(x)\) em valor absoluto, tende ao infinito.

Propriedades

  1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma \(k\pi, (k\in Z)\), temos
    \[Dom(\csc) = {x\in R: x \neq k\pi}\]
  2. Imagem: Para todo \(x\) do domínio da cossecante, temos que \(\csc(x) \leq -1\) ou \(\csc(x) \geq 1\), assim o conjunto imagem da cossecante é dado pelos conjuntos:
    \[Im(\csc) = {y\in R: y \leq -1 \text{ ou } y \geq 1}\]
  3. Periodicidade: A função é periódica e seu período é \(2\pi\). Para todo \(x\in R\), sendo \(x \neq k\pi, (k\in Z)\):
    \[\csc(x) = \csc(x+\pi) = \csc(x+2\pi) = \cdots = \csc(x+k\pi)\]
    e por este motivo, a função cossecante é periódica e seu período é \(2\pi\), e podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.

  4. Sinal da função cossecante
    \[\begin{matrix} \hline Intervalo & [0,\pi/2] & [\pi/2,\pi] & [\pi,3\pi/2] & [3\pi/2,2\pi] \\ Função & positiva & positiva & negativa & negativa \\ \hline \end{matrix}\]
  5. Monotonicidade da função cossecante
    \[\begin{matrix} \hline Intervalo & [0,\pi/2] & [\pi/2,\pi] & [\pi,3\pi/2] & [3\pi/2,2\pi] \\ Função & decrescente & crescente & crescente & decrescente \\ \hline \end{matrix}\]
  6. Limitação: A função cossecante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de \(k\pi\), a função cresce (ou decresce) sem controle.
  7. Simetria: A função secante é ímpar, pois para todo \(x\) onde a cossecante está definida, tem-se que: \(\csc(-x) = -\csc(x)\).