Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Trigonometria
Exercícios de soma e diferença de arcos
Sônia Ferreira Lopes Toffoli e Ulysses Sodré
  1. Se \(\cos(a)=3/5\) e \(\sin(b)=1/3\), com \(a\) no 3o. quadrante e \(b\) no 2o. quadrante, calcular:
    1. \(\sin(a+b)\)
    2. \(\sin(a-b)\)
    3. \(\csc(a+b)\)
    4. \(\csc(a-b)\)

    Solução M01

    Como \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\), para todo \(x\) real, então

    \begin{align*} \sin^2(a) &= 1-(3/5)^2=16/25 \\ \cos^2(b) &= 1-(1/3)^2=8/9 \end{align*}

    Como \(a\) está no 3o. quadrante e \(b\) no 2o. quadrante, então

    $$\sin(a)=-4/5 \quad\text{ e}\quad \cos(b)=-2\sqrt{2}/3$$

    Assim:

    \begin{align*} \sin(a+b) &= \sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a) \\ &= (-4/5)(-2\sqrt{2}/3)+(1/3)(3/5) \\ &= 8\sqrt{2}/15+1/5 \\ \sin(a-b) &= \sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a) \\ &= (-4/)(-2\sqrt{2}/3)-(1/3)(3/5) \\ &= 8\sqrt{2}/15-1/5 \\ \csc(a+b) &= 1/\sin(a+b) = 1/[8\sqrt{2}/15+1/5] \\ \csc(a-b) &= 1/\sin(a-b) = 1/[8\sqrt{2}/15-1/5] \end{align*}

  2. Se \(\sin(a)=2/3\) e \(\cos(b)=3/4\), com \(a\) no 2o. quadrante e \(b\) no 1o. quadrante, calcular:
    1. \(\sin(a+b)\)
    2. \(\sin(a-b)\)
    3. \(\cos(a-b)\)

      Solução M02

      Temos que \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\), para todo \(x\) real.

      Calculamos agora os valores de \(\sin(b)\) e de \(\cos(a)\).

      $$\sin^2(b)=1-(2/3)^2=5/9 \text { e } \cos^2(a)=1-(3/4)^2=7/16$$ $$\sin(b)=\sqrt{5}/3 \tag{a no 2o. quadrante}$$ $$\cos(a)=\sqrt{7}/4 \tag{b no 1o. quadrante}$$

      Assim,

      \begin{align*} \sin(a+b) &= \sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a) \\ &= (2/3)(3/4)+(\sqrt{5}/3)(\sqrt{7}/4) \\ &= 1/2 + \sqrt{35}/12 \\ \sin(a-b) &= \sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a) \\ &= (2/3)(3/4)-(\sqrt{5}/3)(\sqrt{7}/4) \\ &= 1/2-\sqrt{35}/12 \\ \cos(a+b) &= \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b) \\ &= (\sqrt{7}/4)(3/4)-(\sqrt{5}/3)(2/3) \\ &= 3\sqrt{7}/16-2\sqrt{5}/9 \\ \cos(a-b) &= \cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b) \\ &=(\sqrt{7}/4)(3/4)+(2/3)(\sqrt{5}/3) \\ &= 3\sqrt{7}/16+2\sqrt{5}/9 \end{align*}

  3. Dado o ângulo de medida \(a=\pi/12\) radianos, obter:
    1. \(\sin(a)\)
    2. \(\cos(a)\)
    3. \(\tan(a)\)

      Solução M03

      Como \(\frac{\pi}{3}\) e \(\frac{\pi}{4}\) são arcos notáveis, tome \(\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\), para usar as fórmulas do seno e do cosseno da diferença de dois ângulos:

      \begin{align*} \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) &= \sin\left(\frac{\pi}3-\frac{\pi}4\right)\\ &= \sin\left(\frac{\pi}3\right)\cos\left(\frac{\pi}4\right)-\sin\left(\frac{\pi}4)\cos(\frac{\pi}3\right)=... \\ \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) &= \cos\left(\frac{\pi}3-\frac{\pi}4\right) \\ &= \cos\left(\frac{\pi}3\right)\cos\left(\frac{\pi}4\right)-\sin\left(\frac{\pi}4\right)\sin\left(\frac{\pi}3\right)=... \\ \tan\left(\frac{\pi}{12}\right) &= \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)/\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)=... \end{align*}

  4. Dado o ângulo de medida \(a=15^0\), obter:
    1. \(\sin(a)\)
    2. \(\cos(a)\)
    3. \(\tan(a)\)

      Solução M04

      Como \(45^0\) e \(30^0\) são ângulos notáveis, tome \(15^0=45^0-30^0\) e use as fórmulas:

      \begin{align*} \sin(15^0) &= \sin(45^0-30^0) \\ &= \sin(45^0)\cos(30^0)-\sin(30^0)\cos(45^0) \\ &= \frac12\sqrt{2} \frac12\sqrt{3}-\frac12 \frac12 \sqrt{2} = \frac14(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \\ \cos(15^0) &= \cos(45^0-30^0) \\ &= \cos(45^0)\cos(30^0)+\sin(30^0)\sin(45^0) \\ &= \frac12\sqrt{2}\frac12\sqrt{3}+\frac12 \frac12\sqrt{2} = \frac14(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \\ \tan(15^0) &= \sin(15^0)/\cos(15^0) \\ &= \frac{\frac14(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{\frac14(\sqrt{6}+\sqrt{2})} = 2-\sqrt{3} \end{align*}

Londrina-PR, 29-julho-2020