Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Trigonometria
Fórmulas de Arcos: duplo, triplo e metade
Anderson Quilles
Cláudio Bitto
Sônia F.L.Toffoli
Ulysses Sodré

Material desta página

1 Fórmulas de arcos múltiplos

Conhecendo-se as relações trigonométricas de um arco de medida \(a\), podemos obter estas relações trigonométricas para arcos de medidas \(2a\), \(3a\) e \(a/2\), que são consequências imediatas das fórmulas de soma de arcos.

2 Fórmulas do arco duplo

Como

\begin{align} \text{sen}(a+b) & = \text{sen}(a)\cos(b) + \cos(a)\text{sen}(b) \\ \cos(a+b) & = \cos(a)\cos(b) - \text{sen}(a)\text{sen}(b) \end{align}

dividindo a primeira expressão pela segunda, obtemos:

\[\text{tan}(a+b)=\frac{\text{sen}(a)\cos(b)+\cos(a)\text{sen}(b)}{\cos(a)\cos(b)-\text{sen}(a)\text{sen}(b)}\]

Dividindo todos os 4 termos da fração por \(\cos(a)\cos(b)\), segue a fórmula:

\[\text{tan}(a+b)=\frac{\text{tan}(a)+\text{tan}(b)}{1-\text{tan}(a)\text{tan}(b)}\]

Tomando \(b=a\), obtemos algumas fórmulas do arco duplo:

\begin{align} \text{sen}(2a) & = \text{sen}(a)\cos(a)+\cos(a)\text{sen}(a)=2\text{sen}(a)\cos(a) \\ \cos(2a) & = \cos(a)\cos(a)-\text{sen}(a)\text{sen}(a)=\cos^2(a)-\text{sen}^2(a) \end{align}

de onde segue que

\[\text{tan}(2a)=\frac{\text{tan}(a)+\text{tan}(a)}{1-\text{tan}(a)\text{tan}(a)} = \frac{2\text{tan}(a)}{1-\text{tan}^2(a)}\]

Substituindo \(\text{sen}^2(a)=1-\cos^2(a)\) nas relações acima, obtemos uma relação entre o cosseno do arco duplo com o cosseno do arco:

\[\cos(2a) = \cos^2(a) - \text{sen}^2(a) = \cos^2(a) - [1-\cos^2(a)] = 2\cos^2(a)-1\]

Substituindo \(\cos^2(a)=1-\text{sen}^2(a)\) nas relações acima, obtemos uma relação entre o seno do arco duplo com o seno do arco:

\[\cos(2a)=\cos^2(a)-\text{sen}^2(a)=[1-\text{sen}^2(a)]-\text{sen}^2(a))=1-2\text{sen}^2(a)\]

3 Fórmulas do arco triplo

Se \(b=2a\) em \(\text{sen}(a+b)=\text{sen}(a)\cos(b)+\cos(a)\text{sen}(b)\), então

\begin{align} \text{sen}(3a) & = \text{sen}(a+2a) \\ & = \text{sen}(a)\cos(2a) + \cos(a)\text{sen}(2a) \\ & = \text{sen}(a)[1-2\text{sen}^2(a)] + [2\text{sen}(a)\cos(a)]\cos(a) \\ & = \text{sen}(a)[1-2\text{sen}^2(a)] + 2\text{sen}(a)cos^2(a)) \\ & = \text{sen}(a)[1-2\text{sen}^2(a)] + 2\text{sen}(a)[1-\text{sen}^2(a)] \\ & = \text{sen}(a) - 2\text{sen}^3(a) + 2\text{sen}(a) - 2\text{sen}^2(a)) \\ & = 3\text{sen}(a) - 4\text{sen}^3(a) \end{align}

Se \(b=2a\) em \(\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\text{sen}(a)\text{sen}(b)\), então

\begin{align} \cos(3a) & = \cos(a+2a) \\ & = \cos(a)\cos(2a) - \text{sen}(a)\text{sen}(2a) \\ & = \cos(a)[2\cos^2(a)-1] - \text{sen}(a)[2\text{sen}(a)\cos(a)] \\ & = \cos(a)[2\cos^2(a)-1] - 2\text{sen}^2(a)\cos(a) \\ & = \cos(a)[2\cos^2(a) -1 -2(1-\cos^2(a))] \\ & = \cos(a)[2\cos^2(a) -3 + 2\cos^2(a)] \\ & = \cos(a)[4\cos^2(a) -3] \\ & = 4\cos^3(a) - 3\cos(a) \end{align}

As fórmulas do arco triplo são

\begin{align} \text{sen}(3a) & = 3\text{sen}(a)-4\text{sen}^3(a) \\ \cos(3a) & = 4\cos^3(a)-3\cos(a) \end{align}

4 Fórmulas do arco metade

Partindo das fórmulas do arco duplo

\begin{align} \cos(2a) & = 2\cos^2(a)-1 \\ \cos(2a) & = 1 -2\text{sen}^2(a) \end{align}

e substituindo \(2a=c\), obtemos:

\begin{align} \cos(c) & = 2\cos^2(c/2)-1 \\ \cos(c) & = 1-2\text{sen}^2(c/2) \end{align}

Assim

\begin{align} \text{sen}^2(c/2) & = \frac12(1-\cos(c)) \\ \cos^2(c/2) & = \frac12(1+\cos(c)) \end{align}

Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos a tangente da metade do arco, dada por:

\[\text{tan}^2(c/2)=\frac{1-\cos(c)}{1+\cos(c)}\]

Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, obtemos uma fórmula que expressa a tangente da metade do arco em função do cosseno do arco.