Matemática Essencial

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Solução M01

1. Nota: \(\sin\) é a notação para a função seno.
2. Pela Lei dos senos, \(b=2R\sin(B)\), logo \(10\sqrt{2}=2R\sin(30)\) e \(R=10\sqrt{2}\).
3. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a \(180^0\), calculamos agora o ângulo \(A\).
4. Pela Lei dos Senos, \(b\sin(A)=a\sin(B)\), de onde segue que \(10\sqrt{2}\sin(A)=20\sin(30)\), assim, \(\sin(A)=\sqrt{2}/2\).
5. Como \(A\) é um dos ângulos do triângulo então \(A=45^0\) ou \(A=135^0\).
6. Como \(B=30^0\) e \(A+B+C=180^0\), então \(A+C=150^0\), e temos duas possibilidades: (1) \(A=45^0\) e \(C=105^0\) ou (2) \(A=135^0\) e \(C=15^0\).

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Solução M02

1. No triângulo \(ABC\), as medidas dos ângulos \(A\), \(B\) e \(C\), são dadas por: \(A=125^0 40'\), \(C=48^0 50'\) e \(B=180^0-(A+C)=5^0 30'\) e a fugura tem a forma:

   

2. Usando a lei dos senos, obtemos: $$AB = c = b\frac{\sin(C)}{\sin(B)}= 275\frac{\sin(48^0 50')}{\sin(5^0 30')}=2160metros$$

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Solução M03

1. No triângulo ABD, D é o ponto de luz, assim:
   \begin{align} AB & = 2250 \\ BAD & = 90^0-62^0 10'=27^050' \\ ABD & = 90^0+48^0 25'=138^0 25' \\ ADB & = 1800-(BAD+ABD)=13045' \end{align}
   
   
   logo $$BD=AB\frac{\sin(BAD)}{\sin(ADB)}=2250\frac{\sin(27050'}{\sin(13045')}=4420$$
2. No triângulo retângulo \(BDC\):
   \begin{align} BD & = 4420 \\ CBD & = 900-48025' = 41035' \\ CD & = BD\sin(CBD) = 2934 \end{align}
3. A menor distância que o navio chegará da luz (ponto \(D\)) será dada pela medida do segmento \(CD=2934m\).

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Solução M04

1. Podemos calcular a medida do ângulo \(A\) com a lei dos cossenos: \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos(A)\). Assim: $$a^2=(0,8)^2+(0,5)^2-2(0,8)(0,5)\cos(700)=0,6164$$ e temos que \(a=0,7851\).
2. Obtemos o ângulo \(B\) com a lei dos senos: \(a\sin(B)=b\sin(A)\), logo: $$\sin(B)=(0,8)\frac{\sin(700)}{0,7851}=0,9575$$ de onde segue que \(B=73014'\).
3. Como em um triângulo, \(A+B+C=180^0\), então: $$C=1800-(700+73014')=36046'$$

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Solução M05

Usamos a lei dos cossenos para calcular a medida do ângulo B:

$$\cos(B)=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$$

Assim, \(\cos(B)=0,7888\), logo \(B=380\).

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Solução M06

A medida de cada lado do triângulo é a soma dos raios de duas circunferências tangentes. Se \(a\), \(b\) e \(c\) são tais lados, então \(a=115+225=340\), \(b=115+150=265\) e \(c=225+150=375\).

Com a lei dos cossenos, obtemos os ângulos \(A\), \(B\) e \(C\).

$$\begin{matrix} \cos(A)=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}&=\dfrac{265^2+375^2-340^2}{2(265)(375)}&=0,479245 \\ \cos(B)=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}&=\dfrac{340^2+375^2-265^2}{2(340)(375)}&=0,7294 \\ \cos(C)=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}&=\dfrac{340^2+265^2-375^2}{2(340)(265)}&=0,2408 \end{matrix}$$

\(A=61,360=61^0 20'\), \(B=43,160=43^0 10'\) e \(C=75,470=75^0 28'\).

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Solução M07

O semi-perímetro do triângulo, mede \begin{align*} p &= \frac12(a+b+c) \\ &= \frac12(340+265+375) = 490 \end{align*}

A área do triângulo é obtida com:

\begin{align*} S &= \sqrt{p(p{-}a)(p{-}b)(p{-}c)} \\ &= \sqrt{490(490{-}340)(490{-}265)(490{-}375)} \\ &= 43609,78 \text{ centímetros quadrados} \end{align*}

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Solução M08

No triângulo \(ABC\), obtemos \(A+C=54,420\) e \(B=1800-54,420=125,580\)

A lei dos cossenos, garante que: $$b^2=a^2+c^2-2ac\cos(B)$$ logo:

$$b^2=(1388)^2+(2526)^2-2(1388)(2526)\cos(125,580)$$

\(b=3519,5433\) é a medida aproximada da maior diagonal do paralelogramo.