Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

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1 Resolução de triângulos

Os elementos fundamentais de um triângulo são: seus lados, seus ângulos e sua área. Resolver um triângulo, significa conhecer as medidas destes elementos. Conhecendo-se três entre estes elementos podemos usar as relações métricas ou as relações trigonométricas dependendo do caso, para calcular os outros elementos. Estas relações estão expostas na sequência.

2 Lei dos Senos

Seja um triângulo qualquer, como o que aparece na figura seguinte com lados de medidas \(a\), \(b\) e \(c\), que são lados opostos aos ângulos \(A\), \(B\) e \(C\), respectivamente.

O quociente entre a medida de cada lado e o seno do ângulo oposto a este lado é uma constante igual a \(2R\), onde \(R\) é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é:

Demonstração: Para simplificar as notações vamos denotar o ângulo correspondente a cada vértice pelo nome do vértice, por exemplo para o triângulo de vértices \(ABC\) os ângulos serão \(A\), \(B\) e \(C\) respectivamente, assim quando escrevemos \(\text{sen}(A)\) estamos nos referindo ao seno do ângulo correspondente ao vértice \(A\).

Seja \(ABC\) um triângulo qualquer, inscrito numa circunferência de raio \(R\). Tomando como base do triângulo o lado \(BC\), construímos um novo triângulo \(BCA'\), de modo que o segmento \(BA'\) seja um diâmetro da circunferência. Este novo triângulo é retângulo em \(C\).

Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo \(ABC\) é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.

1. Triângulo acutângulo: Os ângulos correspondentes aos vértices \(A\) e \(A'\) são congruentes, pois são ângulos inscritos à circunferência que correspondem a um mesmo arco \(BC\).
   
   Então:
   \[\text{sen}(A')=\text{sen}(A)=\frac{a}{2R}\]
   isto é:
   \[\frac{a}{\text{sen}(A)} =2R\]
   Repetindo o mesmo processo para as bases \(AC\) e \(AB\), obtemos os outros quocientes
   \[\frac{b}{\text{sen}(B)} = \frac{c}{\text{sen}(C)} =2R\]
2. Triângulo obtusângulo: Se \(A\) e \(A'\) são os ângulos que correspondem aos vértices \(A\) e \(A'\), a relação entre eles é dada por \(A'=\pi-A\), pois são ângulos inscritos na circunferência correspondentes a arcos replementares \(BAC\) e \(BA'C\).
   
   Então:
   \[\text{sen}(\pi-A)=\frac{a}{2R} = \text{sen}(\pi-A)\]
   isto é:
   \[\frac{a}{\text{sen}(A)} =2R\]
   Repetindo o mesmo processo para as bases \(AC\) e \(AB\), obtemos os outros quocientes:
   \[\frac{b}{\text{sen}(B)} = \frac{c}{\text{sen}(C)} =2R\]
3. Triângulo retângulo: Como o triângulo \(ABC\) é um triângulo retângulo, é imediato que
   
   Assim:
   \[\text{sen}(B)=\frac{b}{a}, \text{sen}(C)=\frac{c}{a}, \text{sen}(A)=\text{sen}(\pi/2)=1\]
   Como, neste caso \(a=2R\), temos que:
   \[\frac{a}{\text{sen}(A)} = \frac{b}{\text{sen}(B)} = \frac{c}{\text{sen}(C)}\]

3 Lei dos Cossenos

Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a diferença das soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por estes lados.

Demonstração: Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo \(ABC\) é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.

1. Triângulo retângulo: Se o triângulo \(ABC\) é retângulo, com ângulo reto no vértice \(A\). A relação:
   \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\]
   recai no teorema de Pitágoras.
   \[a^2 = b^2 + c^2\]
   uma vez que \(\cos(A)=\cos(\pi/2)=0\).
2. Triângulo acutângulo: Seja o triângulo \(ABC\) um triângulo acutângulo com ângulo agudo correspondente ao vértice \(A\), como mostra a figura:
   
   Seja o segmento de reta \(HC\) perpendicular ao lado \(AB\) (altura do triângulo relativa ao lado \(AB\)), passando pelo vértice \(C\). Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, obtemos:
   \begin{align} a^2 & = h^2+(c-x)^2 \\ & = h^2+(c^2-2cx+x^2) \\ & = (h^2+x^2)+c^2-2cx \tag{Eq1} \end{align}
   No triângulo \(AHC\), temos que \(b^2=h^2+x^2\) e \(\cos(A)=\frac{x}{b}\), ou seja, \(x=b \cos(A)\), e substituindo estes resultados na equação (Eq1), obtemos:
   \[a^2=b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\]
3. Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo \(ABC\) com o ângulo obtuso correspondente ao vértice \(A\), como mostra a figura:
   
   Seja o segmento de reta \(HC\) perpendicular ao lado \(AB\), que é a altura do triângulo relativa ao lado \(AB\), passando pelo vértice \(C\). Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo \(CHB\), obtemos:
   \begin{align} a^2 & = h^2+(c+x)^2 \\ & = h^2+(c^2+2cx+x^2) \\ & = (h^2+x^2)+c^2+2cx \tag{Eq2} \end{align}
   No triângulo \(AHC\), temos que \(b^2=h^2+x^2\) e também:
   \[\cos(D)=\frac{x}{b}=\cos(\pi-A)=-\cos(A)\]
   então
   \[x = -b \cos(A)\]
   Substituindo estes resultados na equação (Eq2), obtemos:
   \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\]
   As expressões da lei dos cossenos podem ser escritas na forma
   \begin{align} \cos(A) & = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ \cos(B) & = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \\ \cos(C) & = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \end{align}

4 Área de um triângulo pela fórmula de Heron

Podemos calcular a área de um triangulo pela fórmula de Heron, usando apenas as medidas \(a\), \(b\) e \(c\) dos lados do triângulo, e \(p\) a metade do perímetro do triângulo, isto é: \(p=\frac12(a+b+c)\), então,

A demonstração está em nosso link Fórmula de Heron.