Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Trigonometria
Exercícios de secante, cossecante e cotangente
Sônia Ferreira Lopes Toffoli
Ulysses Sodré
  1. Calcular:
    1. \(\sec(405^0)\)

      Solução M01a

      $$\sec(405^0){=}\sec(405^0-360^0){=}\sec(45^0){=}2/\sqrt{2}{=}\sqrt{2}$$

    2. \(\csc(-150^0)\)

      Solução M01b

      $$\csc(-150^0){=}\csc(-150^0+360^0){=}1/\sin(210^0){=}1/-\sin(30^0){=}-2$$

    3. \(\cot(19\pi/3)\)

      Solução M01c

      $$\cot(19\pi/3){=}\cot(\pi/3){=}\cos(\pi/3)/\sin(\pi/3){=}(1/2)/(\sqrt{3}/2){=}1/\sqrt{3}$$

  2. Calcular:
    1. \(\sec(-15\pi/6)\)

      Solução M02a

      Como \(-15\pi/6=-15\pi/6+\pi=-3\pi/2\), então a secante não existe, pois \(\sec(x)=1/\cos(x)\) e para este valor, o cosseno se anula.


    2. \(\csc(300)^0\)

      Solução M02b

      \begin{align*} \csc(300^0) &=\csc(300^0-360^0) \\ &=\csc(-60^0) \\ &=1/\sin(-60^0) \\ &=1/(-\sqrt{3}/2) \\ &=-2/\sqrt{3} \end{align*}

    3. \(\cot(15\pi/4)\)

      Solução M02c

      \begin{align*} \cot(15\pi/4)& =\cot(15\pi/4-3\pi) \\ &=\cot(3\pi/4) \\ &=\cos(3\pi/4)/\sin(3\pi/4) \\ &=-\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}=-1 \end{align*}

  3. Se \(A=\sin^2(x)\), \(B=\cos^2(x)\), \(C=\sec^2(x)\) e \(D=\csc^2(x)\), mostrar que $$\frac{1}{1+A}+\frac{1}{1+B}+\frac{1}{1+C}+\frac{1}{1+D}=2$$
  4. Mostrar que $$\frac{\sin^2(x)+2\cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)}=\tan(x)+2\cot(x)$$

    Solução M04

    \begin{align*} \sin^2(x)+\frac{2\cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} &= \frac{\sin^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} + \frac{2\cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} \\ &=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}+\frac{2\cos(x)}{\sin(x)} \\ &= \tan(x)+2\cot(x) \end{align*}

  5. Mostrar que: \[\tan(x)+\cot(x)=\frac{\csc(x)}{\cos(x)}\]

    Solução M05

    \begin{align*} \tan(x)+\cot(x) &= \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \\ &= \frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} \\ &= \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} \\ &= \frac{\csc(x)}{\cos(x)} \end{align*}

  6. Mostrar que $$\sin^4(x)-\cos^4(x)=\sin^2(x)-\cos^2(x)$$

    Solução M06

    \begin{align*} \sin^4(x)-\cos^4(x) &= [\sin^2(x)-\cos^2(x)].[\sin^2(x)+\cos^2(x)] \\ &= [\sin^2(x)-\cos^2(x)].1 \\ &=\sin^2(x)-\cos^2(x) \end{align*}

  7. Se \(x=5\cos(t)\), com \(t\) no primeiro quadrante, mostrar que $$\sqrt{25-x^2}=5\sin(t)$$

    Solução M07

    \begin{align*} \sqrt{25-x^2} &= \sqrt{25-(5\cos(t))^2} \\ &= \sqrt{25-25\cos^2(t)} \\ &= \sqrt{25(1-\cos^2(t))} \\ &= \sqrt{25\sin^2(t)} \\ &= 5|\sin(t)| = 5\sin(t) \end{align*}

    pois \(t\) é um ângulo do 1o. quadrante, \(\sin(t)\geq 0\) e \(5|\sin(t)|=5\sin(t)\).


  8. Tomando \(x=2\tan(t)\), com \(t\) no quarto quadrante, demonstrar que $$\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}=\frac12\cos(t)$$

    Solução M08

    \begin{align*} \sqrt{4+x^2} &= \sqrt{4-(2\tan t)^2} \\ &= \sqrt{4-4\tan^2(t)} \\ &= \sqrt{4(1+\tan^2(t))} \\ &= \sqrt{4\sec^2(t)} \\ &= 2|\sec(t)| = 2\sec(t) \end{align*}

    pois \(t\) é um ângulo do 4o. quadrante, \(\cos(t)>0\), e

    $$\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{1}{2\sec(t)} = \frac12\cos(t)$$

Londrina-PR, 29-julho-2020