Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Trigonometria
Cotangente, Secante e Cossecante
Anderson Quilles
Cláudio Bitto
Sônia F.L.Toffoli
Ulysses Sodré

Material desta página

1 Cotangente

Seja a reta \(s\) tangente à circunferência trigonométrica no ponto \(B=(0,1)\). Esta reta é perpendicular ao eixo \(OY\). A reta que passa pelo ponto \(M\) e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente \(s\) no ponto \(S=(s',1)\). A abscissa \(s'\) deste ponto, é definida como a cotangente do arco \(AM\) correspondente ao ângulo \(a\).

Assim a cotangente do ângulo \(a\) é dada pelas suas várias determinações

\[\cot(AM) = \cot(a) = \cot(a+2k\pi) = m(BS) = s'\]

Os triângulos \(OBS\) e \(ONM\) são semelhantes, logo:

\[\frac{BS}{OB} = \frac{ON}{MN}\]

Como a circunferência é unitária, \(|OB|=1\) e

\[\cot(a)=\frac{\cos(a)}{\text{sen}(a)}\]

que é equivalente a

\[\cot(a)=\frac{1}{\text{tan}(a)}\]

A cotangente de ângulos do primeiro quadrante é positiva.

Quando \(a=0\), a cotangente não existe, pois as retas \(s\) e \(OM\) são paralelas.

2 Ângulos no segundo quadrante

Se o ponto \(M\) está no segundo quadrante, de modo que o ângulo \(a\) pertence ao intervalo \(\pi/2<a<\pi\), então a cotangente de \(a\) é negativa. Quando \(a=\pi/2\), tem-se que \(\cot(\pi/2)=0\).

3 Ângulos no terceiro quadrante

Se o ponto \(M\) está no terceiro quadrante, o ângulo \(a\) está no intervalo \(\pi<a<3\pi/2\) e nesse caso, a cotangente é positiva. Quando \(a=\pi\), a cotangente não existe, as retas que passam por \(OM\) e \(BS\) são paralelas.

4 Ângulos no quarto quadrante

Se o ponto \(M\) está no quarto quadrante, o ângulo \(a\) pertence ao intervalo \(3\pi/2<a<2\pi\), assim a cotangente de \(a\) é negativa. Se \(a=3\pi/2\), então \(\cot(3\pi/2)=0\).

5 Secante e cossecante

Seja a reta \(r\) tangente à circunferência trigonométrica no ponto \(M=(x',y')\). Esta reta é perpendicular à reta que contém o segmento \(OM\). A interseção da reta \(r\) com o eixo \(OX\) determina o ponto \(V=(v,0)\). A abscissa do ponto \(V\), é definida como a secante do arco \(AM\) correspondente ao ângulo \(a\).

Assim a secante do ângulo \(a\) é dada pelas suas várias determinações:

\[\sec(AM) = \sec(a) = \sec(a+2k\pi) = m(OV) = v\]

A interseção da reta \(r\) com o eixo \(OY\) é o ponto \(U=(0,u)\). A ordenada do ponto \(U\), é definida como a cossecante do arco \(AM\) correspondente ao ângulo \(a\). Então, a cossecante do ângulo \(a\) é dada pelas suas várias determinações

\[\csc(AM) = \csc(a) = \csc(a+2k\pi) = m(OU) = u\]

Os triângulos \(OMV\) e \(Ox'M\) são semelhantes, deste modo,

\[\frac{OV}{OM} = \frac{OM}{Ox'}\]

que pode ser escrito como

\[\sec(a)=\frac{1}{\cos(a)} \tag{$\cos(a)\neq 0$}\]

Os triângulos \(OMU\) e \(Ox'M\) são semelhantes, logo:

\[\frac{OU}{OM} = \frac{OM}{x'M}\]

que pode ser escrito como

\[\csc(a)=\frac{1}{\text{sen}(a)} \tag{$\text{sen}(a)\neq 0$}\]

6 Algumas propriedades da secante e da cossecante

Observando as representações geométricas da secante e da cossecante, podemos constatar as seguintes propriedades.

  1. Como os pontos \(U\) e \(V\) sempre estão no exterior da circunferência trigonométrica, as suas distâncias até o centro da circunferência são sempre maiores ou iguaia à medida do raio unitário. Daí segue que:
\begin{align} \sec(a) \leq -1 \quad \text{ou} \quad \sec(a) \geq 1 \\ \csc(a) \leq -1 \quad \text{ou} \quad \csc(a) \geq 1 \end{align}
  1. O sinal da secante varia nos quadrantes como o sinal do cosseno, que é positivo no 1o. e no 4o. quadrantes e negativo no 2o. e no 3o. quadrantes.
  2. O sinal da cossecante varia nos quadrantes como o sinal do seno, que é positivo no 1o. e no 2o. quadrantes e negativo no 3o. e no 4o. quadrantes.
  3. Não existe a secante de ângulos da forma \(a=\pi/2+k\pi\), onde \(k\) é um número inteiro, pois nesses ângulos o cosseno é zero.
  4. Não existe a cossecante de ângulos da forma \(a=k\pi\), onde \(k\) é um número inteiro, pois são ângulos cujo seno é zero.

7 Relações trigonométricas com secante e cossecante

Valem as seguintes relações trigonométricas

\begin{align} \sec^2(a) & = 1 + \text{tan}^2(a) \\ \csc^2(a) & = 1 + \cot^2(a) \end{align}

Estas fórmulas são justificadas como segue

\begin{align} 1+\text{tan}^2(a) & = 1+\frac{\text{sen}^2(a)}{\cos^2(a)}=\frac{1}{\cos^2(a)}=\sec^2(a) \\ 1+\cot^2(a) & = 1+\frac{\cos^2(a)}{\text{sen}^2(a)}=\frac{1}{\text{sen}^2(a)}=\csc^2(a) \end{align}

8 Tabela trigonométrica de ângulos notáveis

\[\begin{matrix}\hline arco & x^\circ & \text{sen}(x) & \cos(x) & \text{tan}(x) & \cot(x) & \sec(x) & \csc(x) \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & NE & 1 & NE \\ \pi/6 & 30 & \frac12 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \sqrt{3} & 2\frac{\sqrt{3}}{3} & 2 \\ \pi/4 & 45 & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 1 & 1 & \sqrt{2} & \sqrt{2} \\ \pi/3 & 60 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{3} & 2 & 2\frac{\sqrt{3}}{3} & ??? \\ \pi/2 & 90 & 1 & 0 & NE & 0 & NE & 1 \\ 2\pi/3 & 120 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac12 & -\sqrt{3} & -\frac{\sqrt{3}}{3} & -2 & 2\frac{\sqrt{3}}{3} \\ 3\pi/4 & 135 & \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -1 & -1 & -\sqrt{2} & \sqrt{2} \\ 5\pi/6 & 150 & \frac12 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{3} & -\sqrt{3} & -2\frac{\sqrt{3}}{3} & 2 \\ \pi & 180 & 0 & -1 & 0 & NE & -1 & NE \\ 7\pi/6 & 210 & -\frac12 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \sqrt{3} & -2\frac{\sqrt{3}}{3} & -2 \\ 5\pi/4 & 225 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 1 & 1 & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} \\ 4\pi/3 & 240 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac12 & \sqrt{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & -2 & -2\frac{\sqrt{3}}{3} \\ 3\pi/2 & 270 & -1 & 0 & NE & 0 & NE & -1 \\ 5\pi/3 & 300 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac12 & -\sqrt{3} & -\frac{\sqrt{3}}{3} & 2 & -2\frac{\sqrt{3}}{3} \\ 7\pi/4 & 315 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & -1 & -1 & \sqrt{2} & -\sqrt{2} \\ 11\pi/6 & 330 & -\frac12 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{3} & -\sqrt{3} & 2\frac{\sqrt{3}}{3} & -2 \\ 2\pi & 360 & 0 & 1 & 0 & NE & 1 & NE \\ \hline \end{matrix}\]

Notação: NE = não existe.