sin é a função seno.
Como \(4290=11(360)+330\), segue que os arcos de medidas \(4290^0\) e \(330^0\) são congruentes, logo \(\sin(4290^0)=\sin(330^0)=-1/2\).
Como \(3555=9(360)+315\), segue que os arcos de medidas \(3555^0\) e \(315^0\) são congruentes, logo: \begin{align*} \cos(3555^0) &= \cos(315^0)=\sqrt{2}/2 \\ \sin(3555^0) &= \sin(315^0)=-\sqrt{2}/2 \end{align*}
Como $$\si8n(-17\pi/6)=\sin(-17\pi/6+4\pi)=\sin(7\pi/6)$$ eEntão $$\sin(-17\pi/6)=-1/2$$
Como $$\cos(9\pi/4)=\cos(9\pi/4-2\pi)=\cos(\pi/4)$$ então $$\cos(9\pi/4)=\sqrt{2}/2$$
Como $$\tan(510^0)=\tan(510^0-360^0)=\tan(150^0)$$ então $$\tan(510^0)=-\sqrt{3}/3$$
Como $$\tan(-35\pi/4)=\tan(-35\pi/4+5.2\pi)=\tan(5\pi/4)$$ segue que $$\tan(-35\pi/4)=1$$
Como $$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$$ então \(\sin^2(x)+(-12/13)^2=1\) implica que \(\sin^2(x)=1-(144/169)\) de onde segue que \(\sin^2(x)=25/169\) e como o ângulo \(x\) está no segundo quadrante, \(\sin(x)\) deve ser positivo, logo: $$\sin(x)=5/13$$
Como $$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$$ segue que \([(y+2)/y]^2+[(y+1)/y]^2=1\) logo \((y^2+4y+4)/y^2+(y^2+2y+1)/y^2=1\) assim \(y^2+6y+5=0\) e segue que $$y=3 \text{ ou } y=-1$$
Para que a igualdade \(\cos(x)=2m-1\) seja satisfeita, devemos ter: $$-1 \leq 2m-1 \leq 1$$ ou seja $$0 \leq 2m \leq 2$$ que pode ser simplifcado na forma $$0 \leq m \leq 1$$
Para que a igualdade \(\sin(x)=2m-5\) seja satisfeita, devemos ter: $$-1 \leq 2m-5 \leq 1$$ qe pode ser posta na forma $$4 \leq 2m \leq 6$$ ou seja $$2 \leq m \leq 3$$
Se \(\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=3/4\), então \(\sin(x)=\frac34\cos(x)\).
Substituindo este último resultado na relação fundamental da trigonometria: \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\), obtemos: $$\frac{9}{16}\cos^2(x)+\cos^2(x)=1$$
Como \(x\) está no terceiro quadrante, \(\cos(x)<0\) e resolvendo esta equação do segundo grau, segue que: $$\cos(x)=-4/5$$
Substituindo \(\sin(x)=\frac{1}{\sqrt{26}}\) na relação fundamental da trigonometria, obtemos \(\frac{1}{26}+\cos^2(x)=1\) logo $$\cos^2(x)=\frac{25}{26}$$
Como \(x\) está no 2o. quadrante, \(\cos(x)<0\), tomamos
$$\cos(x)=-\frac{5}{\sqrt{26}}$$ e segue que $$\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{\frac{1}{\sqrt{26}}}{-\frac{5}{\sqrt{26}}}=-\frac15$$