Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Trigonometria
Seno, Cosseno e Tangente
Anderson Quilles
Cláudio Bitto
Sônia F.L.Toffoli
Ulysses Sodré

Material desta página

1 Seno e cosseno

Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto \(A=(1,0)\) e um número real \(x\), sempre existe um arco orientado \(AM\) sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a \(x\) radianos.

Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em \((0,0)\) e raio \(r=1\). Seja \(M=(x',y')\) um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco \(AM\) que corresponde ao ângulo central \(a\). A projeção ortogonal do ponto \(M\) sobre o eixo \(OX\) determina um ponto \(C=(x',0)\) e a projeção ortogonal do ponto \(M\) sobre o eixo \(OY\) determina outro ponto \(B=(0,y')\).

A medida do segmento \(OB\) coincide com a ordenada \(y'\) do ponto \(M\) e é definida como o seno do arco \(AM\) que corresponde ao ângulo \(a\), denotado por \(\text{sen}(AM)\) ou \(\text{sen}(a)\).

Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos

\[\text{sen}(AM) = \text{sen}(a) = \text{sen}(a+2k\pi)=y'\]

Para simplificar os enunciados e definições seguintes, vamos escrever \(\text{sen}(x)\) para denotar o seno do arco de medida \(x\) radianos.

Cosseno: O cosseno do arco \(AM\) correspondente ao ângulo \(a\), denotado por \(\cos(AM)\) ou \(\cos(a)\), é a medida do segmento \(OC\), que coincide com a abscissa \(x'\) do ponto \(M\).

Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos

\[\cos(AM) = \cos(a) = \cos(a+2k\pi) = x'\]

2 Tangente

Seja a reta \(t\) tangente à circunferência trigonométrica no ponto \(A=(1,0)\). Tal reta é perpendicular ao eixo \(OX\). A reta que passa pelo ponto \(M\) e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente \(t\) no ponto \(T=(1,t')\). A ordenada deste ponto \(T\), é definida como a tangente do arco AM correspondente ao ângulo a.

Assim a tangente do ângulo \(a\) é dada pelas suas várias determinações:

\[\text{tan}(AM) = \text{tan}(a) = \text{tan}(a+k\pi) = m(AT) = t'\]

Podemos escrever \(M=(\cos(a),\text{sen}(a))\) e \(T=(1,\text{tan}(a))\), para cada ângulo \(a\) do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de ângulos no primeiro quadrante são todos positivos.

Um caso particular importante é quando o ponto \(M\) está sobre o eixo horizontal \(OX\). Neste caso:

\[\cos(0)=1, \text{sen}(0)=0, \text{tan}(0)=0\]

Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes.

3 Ângulos no segundo quadrante

Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto \(M\) no segundo quadrante, o ângulo \(a\) entre o eixo \(OX\) e o segmento \(OM\) pertence ao intervalo \(\pi/2<a<\pi\). Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno está relacionado com a abscissa do ponto \(M\) e o seno com a ordenada deste ponto \(M\). Como \(M=(x,y)\) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo \(a\) no segundo quadrante é positivo, o cosseno do ângulo \(a\) é negativo e a tangente do ângulo \(a\) é negativa.

Outro caso particular importante é quando o ponto \(M\) está sobre o eixo vertical \(OY\) e neste caso:

\[\cos\left(\pi/2\right)=0,\qquad \text{sen}\left(\pi/2\right)=1\]

A tangente não está definida, pois a reta \(OM\) não intercepta a reta \(t\), pois elas são paralelas.

4 Ângulos no terceiro quadrante

O ponto \(M=(x,y)\) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ângulo pertence ao intervalo: \(\pi<a<3\pi/2\). Este ponto \(M=(x,y)\) é simétrico ao ponto \(M'=(-x,-y)\) do primeiro quadrante, em relação à origem do sistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva.

Em particular, se \(a=\pi\) radianos, temos que

\[\cos(\pi)=-1,\quad \text{sen}(\pi)=0,\quad \text{tan}(\pi)=0\]

5 Ângulos no quarto quadrante

O ponto \(M\) está no quarto quadrante, logo \(\frac32\pi<a< 2\pi\). O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, o cosseno é positivo e a tangente é negativa.

Quando o ângulo mede \(\frac32\pi\), a tangente não está definida pois a reta \(OP\) não intercepta a reta \(t\), estas são paralelas.

Quando \(a=\frac32\pi\), temos:

\[\cos\left(\frac32\pi\right)=0, \qquad \text{sen}\left(\frac32\pi\right)=-1\]

6 Simetria em relação ao eixo OX

Em uma circunferência trigonométrica, se \(M\) é um ponto no primeiro quadrante e \(M'\) é o simétrico de \(M\) em relação ao eixo \(OX\), estes pontos \(M\) e \(M'\) possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos.

Sejam \(A=(1,0)\) um ponto da circunferência, \(a\) o ângulo correspondente ao arco \(AM\) e \(b\) o ângulo correspondente ao arco \(AM'\), obtemos:

\[\text{sen}(a)=-\text{sen}(b),\quad \cos(a)=\cos(b),\quad \text{tan}(a)=-\text{tan}(b)\]

7 Simetria em relação ao eixo OY

Seja \(M\) um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja \(M'\) simétrico ao ponto \(M\) em relação ao eixo \(OY\), estes pontos \(M\) e \(M'\) possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas.

Sejam \(A=(1,0)\) um ponto da circunferência, \(a\) o ângulo correspondente ao arco \(AM\) e \(b\) o ângulo correspondente ao arco \(AM'\). Desse modo:

\[\text{sen}(a)=\text{sen}(b),\quad \cos(a)=-\cos(b),\quad \text{tan}(a)=-\text{tan}(b)\]

8 Simetria em relação à origem

Seja \(M\) um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e \(M'\) o simétrico de \(M\) em relação à origem. Estes pontos \(M\) e \(M'\) possuem ordenadas e abscissas simétricas.

Sejam \(A=(1,0)\) um ponto da circunferência, \(a\) o ângulo correspondente ao arco \(AM\) e \(b\) o ângulo correspondente ao arco \(AM'\). Desse modo:

\[\text{sen}(a)=-\text{sen}(b),\quad \cos(a)=-\cos(b),\quad \text{tan}(a)=\text{tan}(b)\]

9 Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis

Um modo de obter o valor do seno e do cosseno de alguns ângulos que aparecem com muita frequência em exercícios e aplicações, sem necessidade de memorização, é pela simples observação no círculo trigonométrico.

10 Primeira relação fundamental

Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito importante em todas as áreas da Matemática e também nas aplicações é:

\[\cos^2(a) + \text{sen}^2(a) = 1\]

que é verdadeira para todo ângulo \(a\).

Necessitamos do conceito de distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nada mais é do que a relação de Pitágoras. Sejam dois pontos: \(A=(x',y')\) e \(B=(x'',y'')\).

Definimos a distância entre os pontos \(A\) e \(B\), denotada por \(d(A,B)\), como:

\[d(A,B) = \sqrt{(x'-x'')^2 + (y'-y'')^2}\]

Se \(M\) é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas são indicadas por \((\cos(a),\text{sen}(a))\)

e a distância deste ponto até a origem \((0,0)\) é igual a \(1\). Usando a fórmula da distância, aplicada a estes pontos:

\[d(M,0)=\sqrt{(\cos(a)-0)^2+(\text{sen}(a)-0)^2}\]

de onde segue que

\[\cos^2(a)+\text{sen}^2(a)=1\]

11 Segunda relação fundamental

Outra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes tomada como a definição da função tangente, é dada por:

\[\text{tan}(a) =\frac{\text{sen}(a)}{\cos(a)}\]

Deve ficar claro, que este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anula.

Se \(a=0\), \(a=\pi\) ou \(a=2\pi\), temos que \(\text{sen}(a)=0\), implicando que \(\text{tan}(a)=0\), mas se \(a=\pi/2\) ou \(a=3\pi/2\), segue que \(\cos(a)=0\) e a divisão acima não tem sentido, assim a relação \(\text{tan}(a)=\text{sen}(a)/\cos(a)\) não é verdadeira para estes últimos valores de \(a\).

Para \(a \neq 0\), \(a \neq \pi\), \(a \neq 2\pi\), \(a \neq \pi/2\) e \(a \neq 3\pi/2\), use de novo a circunferência trigonométrica da figura seguinte.

Os triângulos \(OMN\) e \(OTA\) são semelhantes, logo:

\[\frac{AT}{MN} = \frac{OA}{ON}\]

Como \(AT=|\text{tan}(a)|\), \(MN=|\text{sen}(a)|\), \(OA=1\) e \(ON=|\cos(a)|\), para todo ângulo \(a\), onde \(0 \leq a \leq 2\pi\) com \(a \neq \pi/2\) e \(a \neq 3\pi/2\) obtemos

\[\text{tan}(a) = \frac{\text{sen}(a)}{\cos(a)}\]

12 Forma polar dos números complexos

Um número complexo não nulo \(z=x+yi\), pode ser representado pela sua forma polar:

\[z = r (\cos(c) + i\;\text{sen}(c))\]

onde \(r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\), \(i^2=-1\) e \(c\) é o argumento (ângulo formado entre o segmento \(Oz\) e o eixo \(OX\)) do número complexo \(z\).

A multiplicação de dois números complexos na forma polar:

\begin{align} A & = |A| (\cos(a)+i\;\text{sen}(a)) \\ B & = |B| (\cos(b)+i\;\text{sen}(b)) \end{align}

é dada pela Fórmula de De Moivre:

\[AB = |A||B| (\cos(a+b)+i\;\text{sen}(a+b))\]

Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, devemos multiplicar os seus módulos e somar os seus argumentos.

Se os números complexos \(A\) e \(B\) são unitários então \(|A|=1\) e \(|B|=1\), e nesse caso

\begin{align} A & = \cos(a) + i\;\text{sen}(a) \\ B & = \cos(b) + i\;\text{sen}(b) \end{align}

Multiplicando A e B, obtemos

\[AB = \cos(a+b) + i\;\text{sen}(a+b)\]

Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler (lê-se óiler), garantindo que para todo número complexo \(z\) e também para todo número real \(z\):

\[e^{iz} = \cos(z) + i\;\text{sen}(z)\]

Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra forma para representar números complexos unitários A e B, como:

\begin{align} A = e^{ia} = \cos(a) + i\;\text{sen}(a) \\ B = e^{ib} = \cos(b) + i\;\text{sen}(b) \end{align}

onde \(a\) é o argumento de \(A\) e \(b\) é o argumento de \(B\). Assim,

\[e^{i(a+b)} = \cos(a+b)+i\;\text{sen}(a+b)\]

Por outro lado

\[e^{i(a+b)} = e^{ia} e^{ib} = [\cos(a)+i\;\text{sen}(a)] [\cos(b)+i\;\text{sen}(b)]\]

e desse modo

\[e^{i(a+b)} = \cos(a)\cos(b)-\text{sen}(a)\text{sen}(b)+i[\cos(a)\text{sen}(b)+\cos(b)\text{sen}(a)]\]

Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais, logo

\begin{align} \cos(a+b) & = \cos(a)\cos(b) - \text{sen}(a)\text{sen}(b) \\ \text{sen}(a+b) & = \cos(a)\text{sen}(b) + \cos(b)\text{sen}(a) \end{align}

Para a diferença de arcos, substituímos \(b\) por \(-b\) nas fórmulas da soma, para obter

\begin{align} \cos(a+(-b)) & = \cos(a)\cos(-b) - \text{sen}(a)\text{sen}(-b) \\ \text{sen}(a+(-b)) & = \cos(a)\text{sen}(-b) + \cos(-b)\text{sen}(a) \end{align}

Assim

\begin{align} \cos(a-b) & = \cos(a)\cos(b) + \text{sen}(a)\text{sen}(b) \\ \text{sen}(a-b) & = \cos(b)\text{sen}(a) - \cos(a)\text{sen}(b) \end{align}

13 Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença

Na circunferência trigonométrica, sejam os ângulos \(a\) e \(b\) com \(0 \leq a \leq 2\pi\) e \(0 \leq b \leq 2\pi\), sendo \(a>b\), então;

\begin{align} \text{sen}(a+b) & = \text{sen}(a)\cos(b) + \cos(a)\text{sen}(b) \\ \cos(a+b) & = \cos(a)\cos(b) - \text{sen}(a)\text{sen}(b) \end{align}

Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos:

\[\text{tan}(a+b)=\frac{\text{sen}(a)\cos(b)+\cos(a)\text{sen}(b)}{\cos(a)\cos(b)-\text{sen}(a)\text{sen}(b)}\]

Dividindo todos os quatro termos da fração por (a)(b), segue a fórmula:

\[\text{tan}(a+b)=\frac{\text{tan}(a)+\text{tan}(b)}{1-\text{tan}(a)\text{tan}(b)}\]

Como

\begin{align} \text{sen}(a-b) & = \text{sen}(a)\cos(b) - \cos(a)\text{sen}(b) \\ \cos(a-b) & = \cos(a)\cos(b) + \text{sen}(a)\text{sen}(b) \end{align}

podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para obter:

\[\text{tan}(a-b)=\frac{\text{tan}(a)-\text{tan}(b)}{1+\text{tan}(a)\text{tan}(b)}\]