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Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto \(A=(1,0)\) e um número real \(x\), sempre existe um arco orientado \(AM\) sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a \(x\) radianos.
Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em \((0,0)\) e raio \(r=1\). Seja \(M=(x',y')\) um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco \(AM\) que corresponde ao ângulo central \(a\). A projeção ortogonal do ponto \(M\) sobre o eixo \(OX\) determina um ponto \(C=(x',0)\) e a projeção ortogonal do ponto \(M\) sobre o eixo \(OY\) determina outro ponto \(B=(0,y')\).
A medida do segmento \(OB\) coincide com a ordenada \(y'\) do ponto \(M\) e é definida como o seno do arco \(AM\) que corresponde ao ângulo \(a\), denotado por \(\text{sen}(AM)\) ou \(\text{sen}(a)\).
Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos
Para simplificar os enunciados e definições seguintes, vamos escrever \(\text{sen}(x)\) para denotar o seno do arco de medida \(x\) radianos.
Cosseno: O cosseno do arco \(AM\) correspondente ao ângulo \(a\), denotado por \(\cos(AM)\) ou \(\cos(a)\), é a medida do segmento \(OC\), que coincide com a abscissa \(x'\) do ponto \(M\).
Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos
Seja a reta \(t\) tangente à circunferência trigonométrica no ponto \(A=(1,0)\). Tal reta é perpendicular ao eixo \(OX\). A reta que passa pelo ponto \(M\) e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente \(t\) no ponto \(T=(1,t')\). A ordenada deste ponto \(T\), é definida como a tangente do arco AM correspondente ao ângulo a.
Assim a tangente do ângulo \(a\) é dada pelas suas várias determinações:
Podemos escrever \(M=(\cos(a),\text{sen}(a))\) e \(T=(1,\text{tan}(a))\), para cada ângulo \(a\) do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de ângulos no primeiro quadrante são todos positivos.
Um caso particular importante é quando o ponto \(M\) está sobre o eixo horizontal \(OX\). Neste caso:
Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes.
Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto \(M\) no segundo quadrante, o ângulo \(a\) entre o eixo \(OX\) e o segmento \(OM\) pertence ao intervalo \(\pi/2<a<\pi\). Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno está relacionado com a abscissa do ponto \(M\) e o seno com a ordenada deste ponto \(M\). Como \(M=(x,y)\) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo \(a\) no segundo quadrante é positivo, o cosseno do ângulo \(a\) é negativo e a tangente do ângulo \(a\) é negativa.
Outro caso particular importante é quando o ponto \(M\) está sobre o eixo vertical \(OY\) e neste caso:
A tangente não está definida, pois a reta \(OM\) não intercepta a reta \(t\), pois elas são paralelas.
O ponto \(M=(x,y)\) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ângulo pertence ao intervalo: \(\pi<a<3\pi/2\). Este ponto \(M=(x,y)\) é simétrico ao ponto \(M'=(-x,-y)\) do primeiro quadrante, em relação à origem do sistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva.
Em particular, se \(a=\pi\) radianos, temos que
O ponto \(M\) está no quarto quadrante, logo \(\frac32\pi<a< 2\pi\). O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, o cosseno é positivo e a tangente é negativa.
Quando o ângulo mede \(\frac32\pi\), a tangente não está definida pois a reta \(OP\) não intercepta a reta \(t\), estas são paralelas.
Quando \(a=\frac32\pi\), temos:
Em uma circunferência trigonométrica, se \(M\) é um ponto no primeiro quadrante e \(M'\) é o simétrico de \(M\) em relação ao eixo \(OX\), estes pontos \(M\) e \(M'\) possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos.
Sejam \(A=(1,0)\) um ponto da circunferência, \(a\) o ângulo correspondente ao arco \(AM\) e \(b\) o ângulo correspondente ao arco \(AM'\), obtemos:
Seja \(M\) um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja \(M'\) simétrico ao ponto \(M\) em relação ao eixo \(OY\), estes pontos \(M\) e \(M'\) possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas.
Sejam \(A=(1,0)\) um ponto da circunferência, \(a\) o ângulo correspondente ao arco \(AM\) e \(b\) o ângulo correspondente ao arco \(AM'\). Desse modo:
Seja \(M\) um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e \(M'\) o simétrico de \(M\) em relação à origem. Estes pontos \(M\) e \(M'\) possuem ordenadas e abscissas simétricas.
Sejam \(A=(1,0)\) um ponto da circunferência, \(a\) o ângulo correspondente ao arco \(AM\) e \(b\) o ângulo correspondente ao arco \(AM'\). Desse modo:
Um modo de obter o valor do seno e do cosseno de alguns ângulos que aparecem com muita frequência em exercícios e aplicações, sem necessidade de memorização, é pela simples observação no círculo trigonométrico.
Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito importante em todas as áreas da Matemática e também nas aplicações é:
que é verdadeira para todo ângulo \(a\).
Necessitamos do conceito de distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nada mais é do que a relação de Pitágoras. Sejam dois pontos: \(A=(x',y')\) e \(B=(x'',y'')\).
Definimos a distância entre os pontos \(A\) e \(B\), denotada por \(d(A,B)\), como:
Se \(M\) é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas são indicadas por \((\cos(a),\text{sen}(a))\)
e a distância deste ponto até a origem \((0,0)\) é igual a \(1\). Usando a fórmula da distância, aplicada a estes pontos:
de onde segue que
Outra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes tomada como a definição da função tangente, é dada por:
Deve ficar claro, que este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anula.
Se \(a=0\), \(a=\pi\) ou \(a=2\pi\), temos que \(\text{sen}(a)=0\), implicando que \(\text{tan}(a)=0\), mas se \(a=\pi/2\) ou \(a=3\pi/2\), segue que \(\cos(a)=0\) e a divisão acima não tem sentido, assim a relação \(\text{tan}(a)=\text{sen}(a)/\cos(a)\) não é verdadeira para estes últimos valores de \(a\).
Para \(a \neq 0\), \(a \neq \pi\), \(a \neq 2\pi\), \(a \neq \pi/2\) e \(a \neq 3\pi/2\), use de novo a circunferência trigonométrica da figura seguinte.
Os triângulos \(OMN\) e \(OTA\) são semelhantes, logo:
Como \(AT=|\text{tan}(a)|\), \(MN=|\text{sen}(a)|\), \(OA=1\) e \(ON=|\cos(a)|\), para todo ângulo \(a\), onde \(0 \leq a \leq 2\pi\) com \(a \neq \pi/2\) e \(a \neq 3\pi/2\) obtemos
Um número complexo não nulo \(z=x+yi\), pode ser representado pela sua forma polar:
onde \(r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\), \(i^2=-1\) e \(c\) é o argumento (ângulo formado entre o segmento \(Oz\) e o eixo \(OX\)) do número complexo \(z\).
A multiplicação de dois números complexos na forma polar:
é dada pela Fórmula de De Moivre:
Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, devemos multiplicar os seus módulos e somar os seus argumentos.
Se os números complexos \(A\) e \(B\) são unitários então \(|A|=1\) e \(|B|=1\), e nesse caso
Multiplicando A e B, obtemos
Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler (lê-se óiler
), garantindo que para todo número complexo \(z\) e também para todo número real \(z\):
Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra forma para representar números complexos unitários A e B, como:
onde \(a\) é o argumento de \(A\) e \(b\) é o argumento de \(B\). Assim,
Por outro lado
e desse modo
Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais, logo
Para a diferença de arcos, substituímos \(b\) por \(-b\) nas fórmulas da soma, para obter
Assim
Na circunferência trigonométrica, sejam os ângulos \(a\) e \(b\) com \(0 \leq a \leq 2\pi\) e \(0 \leq b \leq 2\pi\), sendo \(a>b\), então;
Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos:
Dividindo todos os quatro termos da fração por (a)(b), segue a fórmula:
Como
podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para obter: