Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Trigonometria
Círculo trigonométrico
Anderson Quilles
Cláudio Bitto
Sônia F.L.Toffoli
Ulysses Sodré

Material desta página

1 Círculo Trigonométrico

Considere uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e o ponto \(A=(1,0)\). O ponto \(A\) é tomado como a origem dos arcos orientados nesta circunferência e o sentido positivo considerado é o anti-horário. A região com esta circunferência e todos os seus pontos interiores, é denominada círculo trigonométrico.

Nos livros de origem inglesa, a palavra circle (círculo) se refere à curva envolvente da região circular e a circunferência de círculo é a medida desta curva. No Brasil, e em muitos outros países, a circunferência é a curva que envolve a região circular.

Os eixos \(OX\) e \(OY\) decompõem o círculo trigonométrico em quatro quadrantes que são enumerados como segue:

QuadranteAbscissaOrdenadaÂngulo \(\alpha\) em graus
Primeiropositivapositiva\(0 < \alpha < 90\)
Segundonegativapositiva\(90 < \alpha < 180\)
Terceironegativanegativa\(180 < \alpha < 270\)
Quartopositivanegativa\(270 < \alpha < 360\)

Os quadrantes são usados para localizar pontos e a caracterização de ângulos trigonométricos. Por convenção, os pontos situados sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos quadrantes.

2 Arcos com mais de uma volta

Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos cujas medidas sejam maiores do que \(360^0\). Por exemplo, se um ponto móvel parte de um ponto \(A\) sobre uma circunferência no sentido anti-horário e para em um ponto \(M\), ele descreve um arco \(AM\). A medida deste arco (em graus) pode ser menor ou igual a \(360^0\) ou ser maior que \(360^0\). Se esta medida é menor ou igual que \(360^0\), este arco está em sua primeira determinação.

Acontece que o ponto móvel pode percorrer a circunferência uma ou mais vezes em um certo sentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos maiores do que \(360^0\) ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade de arcos mas com medidas diferentes, cuja origem é o ponto \(A\) e cuja extremidade é o ponto \(M\).

Seja o arco \(AM\) cuja primeira determinação tem medida igual a \(m\). Um ponto móvel que parte de \(A\) e pare em \(M\), pode ter várias medidas algébricas, dependendo do percurso.

Se o sentido é o anti-horário, o ponto \(M\) da circunferência trigonométrica é extremidade de uma infinidade de arcos positivos de medidas \(m, m+2\pi, m+4\pi, m+6\pi, \cdots\)

Se o sentido é o horário, o ponto \(M\) é extremidade de uma infinidade de arcos negativos de medidas algébricas \(m-2\pi, m-4\pi, m-6\pi, \cdots\)

Em qualquer sentido, exciste uma coleção infinita de arcos com extremidade no ponto \(M\).

Generalizando este conceito, se \(m\) é a medida da primeira determinação positiva do arco \(AM\), podemos representar as medidas destes arcos por:

\[m(AM) = m + 2k\pi\]

onde \(k\in Z=\{\cdots,-2,-3,-1,0,1,2,3,\cdots\}\) e \(Z\) é o conjunto dos números inteiros.

Família de arcos: Uma família de arcos \(\{AM\}\) é o conjunto de todos os arcos com ponto inicial em \(A\) e extremidade em \(M\).

Exemplo: Se um arco de circunferência tem origem em \(A\) e extremidade em \(M\), com a primeira determinação positiva medindo \(2\pi/3\), então os arcos desta família \(\{AM\}\), medem:

  1. Determinações positivas (sentido anti-horário)
kMedida
0\(m(AM)=\frac23\pi+0\pi=\frac23\)
1\(m(AM)=\frac23\pi+2\pi=\frac83\)
2\(m(AM)=\frac23\pi+4\pi=\frac{14}3\)
3\(m(AM)=\frac23\pi+6\pi=\frac{20}3\)
k\(m(AM)=\frac23\pi+2k\pi=\frac{2+6k}{3}\pi\)
n\(m(AM)=\frac23\pi+2n\pi=\frac{2+6n}{3}\pi\)
  1. Determinações negativas (sentido horário)
kMedida
-1\(m(AM)=\frac23\pi-2\pi=-\frac43\pi\)
-2\(m(AM)=\frac23\pi-4\pi=-\frac63\pi\)
-3\(m(AM)=\frac23\pi-6\pi=-\frac{16}3\pi\)
-4\(m(AM)=\frac23\pi-8\pi=-\frac{22}3\pi\)
-k\(m(AM)=\frac23\pi-2k\pi=\frac{2-6k}{3}\pi\)
-n\(m(AM)=\frac23\pi-2n\pi=\frac{2-6n}{3}\pi\)

3 Arcos e ângulos côngruos

Arcos côngruos: Dois arcos são côngruos se a diferença entre as suas medidas é um múltiplo de \(2\pi\). Por exemplo, arcos de uma mesma família são côngruos.

Ângulos: As noções de orientação e medida algébrica de arcos podem ser estendidas para ângulos, uma vez que, para cada arco \(AM\) da circunferência trigonométrica corresponde um ângulo central determinado pelas semi-retas \(OA\) e \(OM\).

Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ângulos orientados um positivo (sentido anti-horário) com medida algébrica \(a\) que corresponde ao arco \(AM\) e outro negativo (sentido horário) com medida \(b=a-2\pi\) que corresponde ao arco \(AM\).

Também existem ângulos com mais de uma volta e as mesmas noções apresentadas para arcos se aplicam para ângulos.

4 Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OX

Sejam os arcos \(AM\) e \(AM'\) na circunferência trigonométrica, com \(A=(1,0)\) e os pontos \(M\) e \(M'\) simétricos em relação ao eixo horizontal \(OX\). Se a medida do arco \(AM\) é igual a \(m\), então a medida do arco \(AM'\) é dada por:

\[m(AM')=2\pi-m\]

Os arcos da família \(\{AM\}\), que têm origem em \(A\) e extremidades em \(M\), têm medidas iguais a \(2k\pi+m\), onde \(k\in Z\) (\(k\) é um número inteiro) e os arcos da família \(\{AM^{\prime}\}\) têm medidas iguais a \(2k\pi-m\), onde \(k\) é um número inteiro.

5 Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OY

Sejam os arcos \(AM\) e \(AM'\) na circunferência trigonométrica com \(A=(1,0)\) e os pontos \(M\) e \(M'\) simétricos em relação ao eixo vertical \(OY\). Se a medida do arco \(AM\) é igual a \(m\), então a medida do arco \(AM^{\prime}\) é dada pela expressão \(m(AM')=\pi-m\).

Os arcos da família \(\{AM'\}\), isto é, aqueles com origem em \(A\) e extremidade em \(M'\), medem \(2k\pi+\pi-m=(2k+1)\pi-m\) onde \(k\) é um número inteiro.

6 Arcos de mesma origem e extremidades simétricas em relação à origem

Sejam os arcos \(AM\) e \(AM'\) na circunferência trigonométrica com \(A=(1,0)\) e os pontos \(M\) e \(M'\) simétricos em relação a origem \((0,0)\).

Se a medida do arco \(AM\) é igual a \(m\), então a medida do arco \(AM'\) é dada por: \(m(AM')=\pi+m\). Arcos genéricos com origem em \(A\) e extremidade em \(M'\) medem:

\[m(AM') = 2k\pi+\pi+m = (2k+1)\pi+m\]