Um arco \(AB\) de uma circunferência tem comprimento \(L\). Se o raio
da circunferência mede 4 cm, qual a medida em radianos do arco \(AB\), se:
\(L=6\) cm
\(L=16\)cm
\(L=22\)cm
\(L=30\)cm
Solução M01
A medida em radianos de um arco AB é dada por
$$m(AB)= \dfrac{\text{medida do arco }(AB)}{\text{medida do raio}}$$
(a) \(m(AB) = 6/4 = 1,5\) rad
(b) \(m(AB) = 16/4 = 4 \) rad
(c) \(m(AB) = 22/4 = 5,5\) rad
(d) \(m(AB) = 28/4 = 7 \) rad
Em uma circunferência de raio \(R\), calcule a medida de um arco em
radianos, que tem o triplo da medida do raio.
Solução M02
A medida em radianos de um arco AB é dada por:
$$m(AB)= \dfrac{\text{medida do arco }(AB)}{\text{medida do raio}}$$
Assim, como o comprimento do arco é o triplo do comprimento do raio, segue que
\(m(AB) = 3R/R = 3\) rad.
Um atleta percorre \(1/3\) de uma pista circular, correndo sobre uma
única raia. Qual é a medida do arco percorrido em graus? E em radianos?
Solução M03
Uma volta inteira na pista equivale a \(360^0\), assim \(1/3\) de
\(360^0\) é igual a \(120^0\).
Uma volta inteira na pista equivale a \(2\pi\) radianos, então o atleta
percorreu \(2\pi/3\).
Em uma pista de atletismo com a forma circular com quatro raias, a
medida do raio da circunferência até o meio da primeira raia (onde o
atleta corre) é 100 metros e a distância entre cada raia é de 2 metros.
Se todos os atletas corressem
até completar uma volta inteira, quantos metros cada um dos atletas
correria?
Solução M04
Simplificamos os resultados com \(\pi=3,1415\) e indicamos as raias de
dentro para fora como C1, C2, C3, C4 e C5.
A raia C1 tem raio que mede 10 m, então:
$$m(C1){=}2\pi(100){=}200\pi{=}200(3,1415){=}628,30\;\text{m}$$
A raia C2 tem raio que mede 12 m, então:
$$m(C2){=}2\pi(102){=}204\pi{=}204(3,1415){=}640,87\;\text{m}$$
A raia C3 tem raio que mede 14 m, então:
$$m(C3){=}2\pi(104){=}208\pi{=}208(3,1415){=}653,43\;\text{m}$$
A raia C4 tem raio que mede 16 m, então:
$$m(C4){=}2\pi(106){=}212\pi{=}212(3,1415){=}665,99\;\text{m}$$
Qual é a medida (em graus) de três ângulos, sendo que a soma das
medidas do primeiro com o segundo é 14 graus, a do segundo com o
terceiro é 12 graus e a soma das medidas do primeiro com o terceiro é 8
graus.
Solução M05
Sejam \(a\), \(b\) e \(c\) os três ângulos, assim:
\begin{align*}
m(a) + m(b) &=14^0 \\
m(b) + m(c) &=12^0 \\
m(a) + m(c) &= 8^0
\end{align*}
Resolvendo o sistema de equações, obtemos:
$$m(a)=5^0, \quad m(b)=9^0, \quad m(c)=3^0$$
Qual é a medida do ângulo que o ponteiro das horas de um relógio
descreve em um minuto? Calcule o
ângulo em graus e em radianos.
Solução M06
O ponteiro das horas percorre em cada hora um ângulo de \(30^0\), que
corresponde a \(360/12\) graus. Como 1 hora possui 60 minutos, então o ângulo
percorido é igual a \(a=0,5\) graus, que é obtido pela regra de três:
$$\begin{matrix}
60 \text{ minutos} & --- & 30^0 \\
1 \text{ minuto} & --- & a^0
\end{matrix}$$
Convertemos agora a medida do ângulo para radianos, para obter
\(a=\pi/360\) rad, através da regra de três:
$$\begin{matrix}
180^0 & --- & \pi \text{ rad} \\
(0,5)^0 & --- & a \text{ rad}
\end{matrix}$$
Os dois ponteiros de um relógio se sobrepoem à 0 horas.
Em que momento os dois ponteiros coincidem pela primeira vez novamente?
Solução M07
O ponteiro dos minutos percorre \(360^0\) enquanto o ponteiro das horas
percorre \(360^0/12=30^0\). Até 1:00h os ponteiros não se encontraram, o que
deve ocorrer entre 1:00h e 2:00h.
Na situação original à 1:00h, deste instante até o momento do encontro o
ponteiro dos minutos deslocou \(a^0\) e o ponteiro das horas deslocou \((a-30)^0\),
como está na figura, assim:
$$\begin{matrix}
\text{Ponteiro dos minutos} & \text{ponteiro das horas} \\
360^0 & 30^0 \\
a^0 & (a-30)^0
\end{matrix}$$
Pela tabela, tem-se que: \(360(a-30)=30a\), de onde segue que \(330a=10800\)
e assim podemos concluir que \(a=32,7272^0\)
O ponteiro dos minutos deslocou \(32,7272^0\) após 1:00h, e devemos verificar
a quantos minutos corresponde este ângulo.
A regra de três fornece x=5,4545'=5'27,27''. Os ponteiros coincidem
de novo após às 12:00h à 1 hora, 5 minutos e 27,27 segundos.
Considere o desenho de um relógio mostrado na figura seguinte.
Obter o menor ângulo formado pelos
ponteiros do relógio que está marcando 12h e 20minutos.
Solução M08
O ponteiro das horas percorre em cada hora um ângulo de \(360/12=30^0\).
Em vinte minutos (1/3 de uma hora) ele percorre o ângulo \(a=10^0\).
O ângulo formado entre os números 12 e 4 é de \(120^0\), então o ângulo
entre os ponteiros é \(120-10=110^0\).
Mostrar que, em um polígono regular um ângulo externo mede
\(\pi/14\) radianos, o número de lados desse polígono é igual a 28.
Escreva o ângulo \(a=12^0 28'\) em radianos.
Solução M10
Usando o fato de que 1 grau possui 60 minutos, temos
$$\begin{matrix}
1^0 & --- & 60 \text{ minutos} \\
x^0 & --- & 28 \text{ minutos}
\end{matrix}$$
Pela regra de três, \(x=28/60=(0,4666)^0\), assim
$$12^0 28'=(12+28/60)^0=12+0,4666=(12,4666)^0.$$
Se \(M\) é a medida do ângulo (em radianos), temos:
$$\begin{matrix}
180^0 & --- & \pi \text{ rad} \\
(12,4666)^0 & --- & M \text{ rad}
\end{matrix}$$
e pela regra de três, \(M=12,4666\pi/180=0,2211\) rad.
Escrever o ângulo \(\alpha=36^0 12' 58''\) em radianos.
Solução M11
Como 1' equivale a 60'', temos a regra de três:
$$\begin{matrix}
1' & --- & 60'' \\
x' & --- & 58''s
\end{matrix}$$
assim, \(x=58/60=0,967'\), logo
$$\alpha = 36^0+(12+0,967)'=36^0+12,967'$$
Como \(1^0\) equivale a 60', então:
$$\begin{matrix}
1^0 & --- & 60' \\
x^0 & --- & 12,967'
\end{matrix}$$
logo \(x=12,967/60=(0,2161)^0\) e
$$\alpha = (36+0,2161)^0 = (36,2161)^0$$
A medida M de \(alpha\), é \(M=36,2161^0\pi/180=0,6321\) rad,
obtida como solução da regra de três:
$$\begin{matrix}
180^0 & --- & \pi \text{ rad} \\
(36,2161)^0 & --- & M
\end{matrix}$$
Dados os ângulos \(x=0,47623\) rad e \(y=0,25412\) rad, escrever os
mesmos em graus, minutos e segundos.
Solução M12
Considerando a regra de três simples
$$\begin{matrix}
180^0 & --- & \pi \text{ rad} \\
x & --- & 0,47623 \text{ rad}
\end{matrix}$$
obtemos
$$x=0,47623(180)/\pi=(27,2911)^0=27^0 (17,466)' = 27^0 17' 27''$$
De modo análogo, obtemos:
$$y=0.25412(180)/\pi = 14,56^0 = 14^0 33,6' = 14^0 33'36''$$
Em uma circunferência de raio \(r\), calcular a medida do arco
subtendido no gráfico pelo
ângulo \(a\) em cada caso:
\(a=0^0 17' 48''\) e \(r=6,2935\) cm
\(a=121^0 6' 18''\) e \(r=0,2163\) cm
Solução M13
(a) Primeiro convertemos o ângulo para radianos para obter:
$$a{=}0^0 17'48''{=}(17+48/60)'{=}(17,8)'{=}(17,8/60)^0{=}0,2967^0$$
Com a regra de três:
$$\begin{matrix}
180^0 & --- & \pi \text{ rad} \\
0,2967^0 & --- & a \text{ rad}
\end{matrix}$$
obtemos \(a=0,2967\pi/180=0,0051778\) rad e como a medida do arco é
dada pela medida do ângulo (em radianos) multiplicada pela medida do raio,
temos que a medida do arco é \(0,0051778(6,2935)=0,03286\) cm.
(b) Analogamente, \(a=121^0 6' 18'' =121,105^0\). Em radianos, a
medida do ângulo é \(a=121,105\pi/180=2,1137\) rad, e a medida do
arco é \(2,1137(0,2163)=0,4572\) cm.
Em uma circunferência de centro \(O\) e raio \(r\), calcule a medida
do ângulo \(AÔB\) subtendido pelo arco \(AB\) do gráfico
nos seguintes casos.
\(AB=0,16296\) cm e \(r=12,587\) cm.
\(AB=1,3672\) cm e \(r=1,2978\) cm.
Solução M14
A medida do ângulo \(AOB\) é o comprimento de \(AB\) dividido
pelo comprimento do raio, assim
$$m(AOB)=\frac{0,16296}{12,587}=0,012947\text{ rad} = 0^0 44' 30''$$
Em uma circunferência, dado o comprimento do arco \(AB\) e o ângulo
\(AÔB\) subtendido a este arco, calcule a medida do raio, em cada um dos casos:
\(AÔB=0^0 44' 30''\) e \(AB=0,032592\) cm
\(AÔB=60^0 21' 6'' \) e \(AB=0,4572\) cm
Solução M15
Primeiro devemos exprimir o ângulo em radianos:
$$AOB = 0^0 44'30''=(0,7417)^0=0,7417\pi/180=0,01294 \text{ rad}$$
e a medida do raio é dada pela medida \(AB\) dividida pela \(m(AOB)\), logo
$$m(R) = = 0,032592/0,01294 = 2,518 \text{ cm}$$
Analogamente,
$$AOB=60^0 21'6''=(60,3517)^0=60,3517\pi/180=1,0533 \text{ rad}$$
e a medida do raio é
$$m(R) = 0,4572/1,0533=0,4340 \text{ cm}$$
Se todos os atletas corressem
até completar uma volta inteira, quantos metros cada um dos atletas
correria?
Calcule o
ângulo em graus e em radianos.
Obter o menor ângulo formado pelos
ponteiros do relógio que está marcando 12h e 20minutos.
pelo
ângulo \(a\) em cada caso:
nos seguintes casos.