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A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: medida dos triângulos, assim através do estudo da trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.
A trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.
Seja uma curva no plano cartesiano. Se um ponto \(P\) está localizado sobre esta curva, simplesmente dizemos \(P\) pertence à curva e que \(P\) é um ponto fixo na mesma. Assumindo que este ponto pode ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.
Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo.
Se um ponto móvel em uma circunferência, partir de \(A\) e parar em \(M\), ele descreve um arco \(AM\). O ponto \(A\) é a origem do arco e \(M\) é a extremidade do arco.
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por \(AB\) se o sentido de percurso for de \(A\) para \(B\) e \(BA\) quando o sentido de percurso vai de \(B\) para \(A\).
Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos \(A\) e \(B\) sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo \(A\) e \(B\) as suas extremidades.
A medida de um arco de circunferência é realizada por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se \(u\) é um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco \(AB\), é o número de vezes que o arco \(u\) cabe no arco \(AB\).
Na figura seguinte, a medida do arco \(AB\) é 5 vezes a medida do arco \(u\). Denotando a medida do arco \(AB\) por \(m(AB)\) e a medida do arco \(u\) por \(m(u)\), temos \(m(AB)=5 m(u)\).
A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica de um arco \(AB\) desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de \(A\) para \(B\) for anti-horário, e negativo se o sentido for horário.
Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante, denotada pela letra grega \(\pi\), que é um número irracional, isto é, NÃO pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número \(\pi\) é dada por:
Mais informações sobre o número \(\pi\), podem ser obtidas na nossa página Áreas de regiões circulares.
A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum.
Nota: Lembramos que a medida de um ângulo \(Z\), é denotada por \(m(Z)\) ou \(\mu(Z)\).
Exemplo: Para obter em radianos, a medida de um arco com 12 cm, em uma circunferência cujo raio \(r\) mmede 8 cm, samos a relação:
Portanto \(m(AB)=\mu(AB)=1,5\;\text{rad}\).
Se \(AB\) é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a \(C=2\pi r\;\text{rad}\), então:
A medida em radianos de um arco de uma volta completa é \(2\pi\) rad, isto é,
Podemos estabelecer os resultados seguintes
| Desenho |  |
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|---|---|---|---|---|
| Graus | 90 | 180 | 270 | 360 |
| Grados | 100 | 200 | 300 | 400 |
| Radianos | \(\pi/2\) | \(\pi\) | \(3\pi/2\) | \(2\pi\) |
Nota: \(0^0 = 0\;\text{grado} = 0\;\text{rad}\).
Um arco \(AB\) de medida \(R\operatorname{rad}\), mede \(G^0\). A relação entre estas medidas é obtida pela seguinte proporção,
Assim, temos: \(\dfrac{R}{2\pi}=\dfrac{G}{360}\), ou ainda,
Exemplo1: Para obter a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, tomamos
Assim \(R=\pi/3 = 60^0\) = \(\pi/3\;\text{rad}\)
Exemplo2: Para obter a medida em graus de um arco de medida 1 rad, tomamos:
Assim
Existem mais informações sobre o grau e o radiano, com notas históricas, ilustrações e curiosidades na nossa página Geometria Plana: Ângulos.