Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Trigonometria
Elementos gerais sobre Trigonometria
Anderson Quilles
Cláudio Bitto
Sônia F. L. Toffoli
Ulysses Sodré

Material desta página

1 O papel da trigonometria

A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: medida dos triângulos, assim através do estudo da trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).

Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.

A trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.

2 Ponto móvel sobre uma curva

Seja uma curva no plano cartesiano. Se um ponto \(P\) está localizado sobre esta curva, simplesmente dizemos \(P\) pertence à curva e que \(P\) é um ponto fixo na mesma. Assumindo que este ponto pode ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.

Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo.

3 Arcos da circunferência

Se um ponto móvel em uma circunferência, partir de \(A\) e parar em \(M\), ele descreve um arco \(AM\). O ponto \(A\) é a origem do arco e \(M\) é a extremidade do arco.

Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por \(AB\) se o sentido de percurso for de \(A\) para \(B\) e \(BA\) quando o sentido de percurso vai de \(B\) para \(A\).

Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos \(A\) e \(B\) sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo \(A\) e \(B\) as suas extremidades.

4 Medida de um arco

A medida de um arco de circunferência é realizada por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se \(u\) é um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco \(AB\), é o número de vezes que o arco \(u\) cabe no arco \(AB\).

Na figura seguinte, a medida do arco \(AB\) é 5 vezes a medida do arco \(u\). Denotando a medida do arco \(AB\) por \(m(AB)\) e a medida do arco \(u\) por \(m(u)\), temos \(m(AB)=5 m(u)\).

A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica de um arco \(AB\) desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de \(A\) para \(B\) for anti-horário, e negativo se o sentido for horário.

5 O número pi

Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante, denotada pela letra grega \(\pi\), que é um número irracional, isto é, NÃO pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número \(\pi\) é dada por:

\[\pi = 3,1415926535897932384626433832795\cdots\]

Mais informações sobre o número \(\pi\), podem ser obtidas na nossa página Áreas de regiões circulares.

6 Unidades de medida de arcos

A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum.

  1. Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que denotamos por 1 rad.
  2. Grau: Medida de um arco que corresponde a \(1/360\) do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
  3. Grado: É a medida de um arco igual a \(1/400\) do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.

Nota: Lembramos que a medida de um ângulo \(Z\), é denotada por \(m(Z)\) ou \(\mu(Z)\).

Exemplo: Para obter em radianos, a medida de um arco com 12 cm, em uma circunferência cujo raio \(r\) mmede 8 cm, samos a relação:

\[m(AB)=\frac{\mu(AB)}{\mu(raio)} = \frac{12}{8}\]

Portanto \(m(AB)=\mu(AB)=1,5\;\text{rad}\).

7 Arcos de uma volta

Se \(AB\) é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a \(C=2\pi r\;\text{rad}\), então:

\[m(AB)= \frac{\text{medida do arco(AB)}}{\text{medida do raio}} = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi\]

A medida em radianos de um arco de uma volta completa é \(2\pi\) rad, isto é,

\[2\pi\;\text{rad} = 360^0\]

Podemos estabelecer os resultados seguintes

Desenho
Graus 90 180 270 360
Grados 100 200 300 400
Radianos \(\pi/2\) \(\pi\) \(3\pi/2\) \(2\pi\)

Nota: \(0^0 = 0\;\text{grado} = 0\;\text{rad}\).

8 Mudança de unidades

Um arco \(AB\) de medida \(R\operatorname{rad}\), mede \(G^0\). A relação entre estas medidas é obtida pela seguinte proporção,

\[\begin{array}{rcr} 2\pi\;\text{rad} & --- & 360^0 \\ R\;\text{rad} & --- & G^0 \end{array}\]

Assim, temos: \(\dfrac{R}{2\pi}=\dfrac{G}{360}\), ou ainda,

\[\frac{R}{\pi} = \frac{G}{180}\]

Exemplo1: Para obter a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, tomamos

\[\frac{R}{\pi} = \frac{60}{180}\]

Assim \(R=\pi/3 = 60^0\) = \(\pi/3\;\text{rad}\)

Exemplo2: Para obter a medida em graus de um arco de medida 1 rad, tomamos:

\[\frac{1}{\pi} = \frac{G}{180}\]

Assim

\[1\;\text{rad} = \frac{180}{\pi} \text{ graus}.\]

Existem mais informações sobre o grau e o radiano, com notas históricas, ilustrações e curiosidades na nossa página Geometria Plana: Ângulos.