Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Trigonometria
Triangulo no triângulo retângulo
Cristiano A.Santos
Leonidas Marchesini Jr.
Ulysses Sodré

Material desta página

1 Trigonometria e aplicações

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum no Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio.

A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.

Algumas aplicações da trigonometria são:

  1. Determinação da altura de um certo prédio.
  2. Os gregos mediram o raio de terra, por um processo muito simples.
  3. Seria impossível medir a distância da Terra à Lua, mas com a trigonometria se torna simples.
  4. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
  5. Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.

2 Triângulo Retângulo

É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus, então os outros dois ângulos medem 90 graus.

Nota: Se a soma de dois ângulos mede 90 graus, estes ângulos são denominados complementares, assim, podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.

Para mais detalhes sobre triângulos, ver Polígonos.

3 Lados de um triângulo retângulo

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.

TermoOrigem da palavra
CatetoCathetós: (perpendicular)
HipotenusaHypoteinusa:Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)

Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotamos as seguintes notações para triângulos:

LetraLadoÂnguloVérticeMedida
aHipotenusaA é retoA90 graus
bCatetoB é agudoB< 90 graus
cCatetoC é agudoC< 90 graus

Para ver mais detalhes, ver Ângulos.

4 Nomenclatura dos catetos

Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Quando operamos com o ângulo \(C\), o seu lado oposto, é indicado por \(c\), o cateto oposto ao ângulo \(C\) e o lado adjacente ao ângulo \(C\), indicado por \(b\), é o cateto adjacente ao ângulo \(C\).

ÂnguloLado opostoLado adjacente
\(C\)\(c\) cateto oposto\(b\) cateto adjacente
\(B\)\(b\) cateto oposto\(c\) cateto adjacente

Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.

5 Propriedades do triângulo retângulo

  1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.
  2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos.
  3. Alturas: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade em um vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver o gráfico seguinte) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.

6 A hipotenusa como base de um triângulo retângulo

Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:

  1. o segmento \(AD\), denotado por \(h\), é a altura relativa à hipotenusa \(CB\), indicada por \(a\).
  2. o segmento \(BD\), denotado por \(m\), é a projeção ortogonal do cateto \(c\) sobre a hipotenusa \(CB\), indicada por \(a\).
  3. o segmento \(DC\), denotado por \(n\), é a projeção ortogonal do cateto \(b\) sobre a hipotenusa \(CB\), indicada por \(a\).

7 Projeções de segmentos

Introduzimos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.

Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destes segmentos sobre a reta.

Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos \(AB\) são indicadas por \(A'B'\) sendo que no último caso \(A' = B'\) é um ponto.

8 Projeções no triângulo retângulo

Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.

  1. \(m\) = projeção de \(c\) sobre a hipotenusa \(a\).
  2. \(n\) = projeção de \(b\) sobre a hipotenusa \(a\).
  3. \(a = m+n\).
  4. \(h\) = média geométrica entre \(m\) e \(n\). Para saber mais, clique em Média Geométrica.

9 Relações Métricas no triângulo retângulo

Para extrair algumas propriedades, decompomos o triângulo retângulo \(ABC\) em dois triângulos retângulos menores: \(ACD\) e \(ADB\). Assim, o ângulo \(A\) é decomposto na soma dos ângulos \(CÂD=B\) e \(DÂB=C\).

Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.

Triângulohipotenusacateto maiorcateto menor
\(ABC\)\(a\)\(b\)\(c\)
\(ADC\)\(b\)\(n\)\(h\)
\(ADB\)\(c\)\(h\)\(m\)

Assim:

\begin{align} \frac{a}{b} = \frac{b}{n} = \frac{c}{h} \\ \frac{a}{c} = \frac{b}{h} = \frac{c}{m} \\ \frac{b}{c} = \frac{n}{h} = \frac{h}{m} \end{align}

logo:

\begin{align} \frac{a}{c}=\frac{c}{m} & \Leftrightarrow c^2=a \cdot m \\ \frac{a}{b}=\frac{b}{n} & \Leftrightarrow b^2=a \cdot n \\ \frac{a}{c}=\frac{b}{h} & \Leftrightarrow a \cdot h=b \cdot c \\ \frac{h}{m}=\frac{n}{h} & \Leftrightarrow h^2=m \cdot n \end{align}

Existem também outras relações do triângulo inicial \(ABC\).

Como \(a=m+n\), somando \(c^2\) com \(b^2\), obtemos:

\[c^2 + b^2 = am + an = a(m+n) = a a = a^2\]

que resulta no Teorema de Pitágoras:

\[a^2 = b^2 + c^2\]

A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.

10 Funções trigonométricas básicas

As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra \(x\).

Notações:

  1. \(CO\) indica a medida do cateto oposto a \(x\);
  2. \(CA\) indica a medida do cateto adjacente a \(x\), e
  3. \(H\) indica a medida da hipotenusa.
FunçãoNotaçãoDefinição
senosen(x)\(\frac{CO}{H}\)
cossenocos(x)\(\frac{CA}{H}\)
tangentetan(x)\(\frac{CO}{CA}\)

Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa HIP medindo 1 unidade, então o seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo.

\begin{align} \text{sen}(x) & = \frac{CO}{H} = \frac{CO}{1} = CO \\ \cos(x) & = \frac{CA}{H} = \frac{CA}{1} = CA \\ \text{tan}(x) & = \frac{CO}{CA} = \frac{\text{sen}(x)}{\cos(x)} \end{align}

Relação fundamental da Trigonometria: Para todo ângulo \(x\) (medido em radianos), vale a importante relação:

\[\cos^2(x) + \text{sen}^2(x) = 1\]
Londrina-PR, 29-julho-2020