Material desta página
Apresentamos o desenvolvimento teórico do método de Tartaglia, também conhecido como método de Cardano, uma vez que este último tornou público o trabalho de Tartaglia. Detalhes históricos sobre estes assuntos podem ser obtidos na segunda bibliografia no final desta página.
Uma equação geral do terceiro grau na variável x, é dada por:
e se \(a \neq 0\), dividimos esta equação por a para obter:
e assim vamos considerar só as equações em que o coeficiente de \(x^3\) são iguais a \(1\), isto é, equações da forma geral:
onde \(A=b/a\), \(B=c/a\) e \(C=d/a\).
Usando a translação \(x = y - A/3\) na equação anterior, obtemos:
e tomando
podemos simplificar a equação do terceiro grau na variável \(y\), para:
Como toda equação desta forma possui pelo menos uma raiz real, nós procuramos esta raiz, substituindo \(y=u+v\) na última equação, para obter:
o que equivale a escrever
ou seja
Usando esta última equação e impondo a condição para que:
obtemos valores de \(u\) e \(v\) para os quais \(y=u+v\) deve ser uma raiz da equação.
Estas últimas condições implicam que:
Considerando \(u^3\) e \(v^3\) como variáveis, o problema equivale a resolver uma equação do segundo grau da forma:
onde a soma das raízes é \(S=u^3 + v^3\) e o produto das raízes é \(P=u^3 v^3\).
Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos:
para obter as partes \(u\) e \(v\) da primeira raiz:
Com o discriminante desta última equação, definido por:
e usando a fórmula de Bhaskara (que o próprio Bhaskara relatou em um trabalho, que não é de sua autoria a fórmula, mas do matemático hindu Sridhara), obtemos:
A primeira raiz \(r_1\) da equação original
depende da translação realizada no início e é obtida como:
Como \(r_1\) é uma raiz, utilizamos a divisão
que é a função polinomial de segundo grau:
onde o resto da divisão é igual a:
que deve ser nulo ou muito próximo de zero se o valor for aproximado.
Os zeros desta equação do segundo grau, podem ser obtidos facilmente e as outras duas raízes dependem do valor \(\Delta\) que é o discriminante desta última polinomial.
Pela análise destes valores, conhecemos as características das raízes da equação \(x^3+Ax^2+Bx+C=0\).
| Discriminante | Raízes da equação e seus tipos |
|---|---|
| \(\Delta = 0\) | 3 raízes reais, sendo duas iguais |
| \(\Delta > 0\) | 1 raiz real e 2 complexas conjugadas |
| \(\Delta < 0\) | 3 raízes reais distintas |
A construção das raizes não é simples e consideramos duas situações: \(\Delta < 0\) ou \(\Delta\geq 0\).
Situação \(\Delta < 0\): Calculamos os valores:
sendo as três raízes reais dadas por:
Situação \(\Delta\geq 0\): Calculamos os valores:
sendo que a primeira raiz é:
Para obter as outras raizes, construímos outra constante:
e consideramos duas possibilidades sobre \(d2\):
P1: Se \(d2 < 0\), então as outras raízes são:
P2:. Se \(d2\geq 0\), então as outras raízes são:
Exercício: Usando os passos acima expostos, resolver as equações:
Utilizando o link Raízes de uma equação do terceiro grau, de nossa página, podemos resolver tais equações rapidamente. O código fonte está escrito na linguagem JavaScript e pode ser usado no meio científico desde citada a fonte, que segue exatamente o método algébrico exposto aqui.