Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Ensino Médio
Exercícios de Sequências Reais
Tiago Flor de Santana
Ulysses Sodré

Nota: No que segue, \(a_n\) é o termo geral de uma sequência e \(S_n\) é a soma dos \(n\) primeiros termos da sequência.

  1. Definir a média aritmética entre dois números reais e usar este conceito para mostrar que os números \(1/2\), \(1/5\) e \(1/7\) não estão em PA.
  2. Se \(a^2\), \(b^2\) e \(c^2\) são os termos de uma PA, mostre que os números \(1/(b+c)\), \(1/(a+c)\) e \(1/(a+b)\) também formam uma PA.
  3. Se \(a\), \(b\) e \(c\) são, respectivamente, os termos de ordem \(p\), \(q\) e \(r\) de uma PA, então: \((q-r)a + (r-p)b + (p-q)c = 0\).
  4. Seja uma PA em que \(a_p=q\) e \(a_q= p\). Qual é a fórmula do termo geral \(a_n\) desta PA?
  5. Em uma PA, temos que \(S_p=q\) e \(S_q=p\). Qual é o valor de \(S_{p+q}\)?
  6. Em uma PA, temos que \(S_p=S_q\). Mostre que \(S_{p+q}=0\).
  7. Se em uma PA, temos que \(\dfrac{S_m}{S_n}=\dfrac{m^2}{n^2}\), mostrar que \(\dfrac{a_m}{a_n} = \dfrac{2m-1}{2n-1}\).
  8. Se \(k > 1\) é um número natural, mostre que toda potência da forma \(n^k\) pode ser escrita como a soma de \(n\) sucessivos números ímpares.
  9. Se em uma PA, o primeiro termo é nulo e:
    \begin{align} A & = \frac{a_3}{a_2} + \frac{a_4}{a_3} + \frac{a_5}{a_4} +\cdots+ \frac{a_n}{a_{n-1}} \\ B & = a_2\left[\frac1{a_2} + \frac1{a_3} + \frac1{a_4} +\cdots+ \frac1{a_{n-2}}\right] \end{align}
    qual é o valor da expressão \(A-B\)?
  10. Em toda PA, mostre que a soma:
    \[S = a_1^2 -a_2^2 +a_3^2 -a_4^2 +a_5^2 - \cdots +a_{2k-1}^2 -a_{2k}^2\]
    pode ser escrita na forma
    \[S = \frac{k}{2k-1} (a_1^2 - a_{2k}^2)\]
  11. Em toda PA, mostre que:
    1. \(S_{n+3} = 3 S_{n+2} - 3 S_{n+1} + S_n\)
    2. \(S_{3n} = 3(S_{2n}-S_n)\)
  12. Mostrar que a sequência dos \(S_n\) é uma PA, se \(\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\}\) é uma PA, e sabemos que:
    1. \(S_1 = a_1 + a_2 + a_3 +\cdots+ a_n\)
    2. \(S_2 = a_{1n+1} + a_{1n+2} + a_{1n+3} +\cdots+ a_{1n+n}\)
    3. \(S_3 = a_{2n+1} + a_{2n+2} + a_{2n+3} +\cdots+ a_{2n+n}\)
    4. \(S_4 = a_{3n+1} + a_{3n+2} + a_{3n+3} +\cdots+ a_{3n+n}\)
    5. \(S_n = a_{(m-1)n+1}+a_{(m-1)n+2}+a_{(m-1)n+3}+\cdots+a_{mn}\)
  13. Se \(a\), \(b\) e \(c\), são os termos uma PA que também é uma PG, mostre que \(a^{b-c} b^{c-a} c^{a-b} = 1\).
14 Para qualquer PG, mostre que \(S_n(S_{3n}-S_{2n}) = (S_{2n}-S_n)^2\):
  1. Se em uma PG, tomarmos:
    \begin{align} S & = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n \\ Si & = \frac1{a_1} + \frac1{a_2} + \frac1{a_3} + \cdots + \frac1{a_n} \end{align}
    determinar o produto \(P = a_1 a_2 a_3 \cdots a_n\) em função de \(S\) e \(Si\).
  2. Para cada soma, uma expressão mais simples e depois depois calcular os valores de cada expressão quando \(x=1\) e \(x=1/2\).
    1. \(S = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{n-1}\)$
    2. \(S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots + nx^{n-1}\)
    3. \(S = 1x+2x^2+3x^3+4x^4+\cdots+nx^n\)
    4. \(S = 2 + 6x + 12x^2 + 20x^3 + \cdots + n(n-1)x^{n-2}\)
  3. Se \(|x|\neq 1\), obter a soma:
    \[S = \left(x+\frac1{x}\right)^2 + \left(x^2+\frac1{x^2}\right)^2 +\cdots+ \left(x^n+\frac1{x^n}\right)^2\]
  4. Mostrar que:
    1. \(S(1)=1{+}2{+}3{+}4{+}\cdots{+}n = \frac12 n(n{+}1)\)
    2. \(S(2)=1^2 {+} 2^2 {+} 3^2 {+} 4^2 {+}\cdots{+} n^2 = \frac16 n(n{+}1)(2n{+}1)\)
    3. \(S(3)=1^3{+}2^3{+}3^3{+}4^3{+}\cdots{+}n^3 = \frac14 n^2(n{+}1)^2\)
    4. \(S(4)=1^4 {+} 2^4 {+} 3^4 {+} 4^4 {+}\cdots{+} n^4 = \frac{1}{30} n(n{+}1)(2n{+}1)(3n^2{+}3n{+}1)\)
    5. \(S(5)=1^5 {+} 2^5 {+} 3^5 {+} 4^5 {+}\cdots{+} n^5 = \frac{1}{12} n^2(n{+}1)^2(2n^2{+}2n-1)\)
    6. \(S(6)=1^6 {+} 2^6 {+} 3^6 {+} 4^6 {+}\cdots{+} n^6 = \frac1{42} (6n^{7}{+}21n^{6}{+}21n^{5}-7n^3{+}n)\)
    7. \(S(7)=1^7 {+} 2^7 {+} 3^7 {+} 4^7 {+}\cdots{+} n^7 = \frac1{24} n^2(n{+}1)^2[3n^2(n{+}1)^2-2(2n^2{+}2n-1)]\)
  5. Em uma PA, \(a_9=5a_2\) e \(a_{10}-a_7=12\). Obter a razão e o primeiro termo desta PA?
  6. Se em uma PA, tem-se que \(S_n=4n^2-3n\), qual é o termo geral da PA?
  7. Qual é a soma de todos os números naturais:
    1. com dois algarismos?
    2. pares com dois algarismos?
    3. ímpares com dois algarismos?
    4. divisíveis por 3 com dois algarismos?
    5. com três algarismos?
    6. pares com três algarismos?
    7. ímpares com três algarismos?
    8. divisíveis por 3, com três algarismos?
  8. Resolver cada equação:
    1. \(1+2+3+4+\cdots+X = 55\).
    2. \(4+5+6+\cdots+X = 85\)
    3. \(12 + 15 + 18 + \cdots + X = 255\)
    4. \(1 + 3 + 5 + \cdots + Y = 100\)
    5. \(1 + 3 + 5 + \cdots + 99 = X\)
    6. \([x-1] + [x-2] + [x-3] + \cdots + [x-(x-2)] + 1 = 3x\)
  9. Determinar o valor de \(x\) para que os números: \(\log(2)\), \(\log(2^x-1)\) e \(\log(2^x + 3)\) formem uma PG.
  10. Definir média geométrica entre dois números reais positivos e usar este conceito para mostrar que os números 2, 5 e 7 não estão em PG.
  11. Se \(a\), \(b\) e \(c\) são números reais positivos diferentes de 1, que são termos de uma PG. Mostre que os números \(1/\log_a(7)\), \(1/\log_b(7)\) e \(1/\log_c(7)\) formam uma PA.
  12. Calcular os limites das sequências definidas por:
    1. \(a(n)=\dfrac1{n}\)
    2. \(b(n)=1+\dfrac1{n}\)
    3. \(c(n)=1-\dfrac1{n}\)
    4. \(d(n)=(-1)^n\)
    5. \(e(n)=\dfrac1{n}\)
    6. \(f(n)=1+(-1)^n \dfrac1{n}\)
    7. \(g(n)=n[1+(-1)^n \dfrac1{n}]\)
    8. \(h(n) = n[1+(-1)^n]\)
    9. \(i(n)=\dfrac{2n+7}{3n-7}\)
    10. \(j(n)=\dfrac{3n-7}{2n+7}\)
  13. Quais são os termos da sequência seguinte que são menores que \(\frac{1023}{1024}\) onde:
    \[f(n)=\frac12\left[1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots+\frac{1}{n}\right]\]
  14. Se \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) e \(a_4\) são termos de uma PG, mostre que:
    \[(a_1-a_3)^2 + (a_2-a_3)^2 + (a_2-a_4)^2 = (a_1-a_4)^2\]
  15. Quantos termos deve ter a PA indicada por \(P=\{5,9,13,17,\cdots,n\}\) para que a sua soma seja \(S=10877\)?
    Solução: Tomando \(a_1=5\) e \(r=4\), aplicamos a fórmula da soma:
    \begin{align} S_n & = \frac12 n(a_1 + a_n) \\ & = \frac12 n(a_1+a_1+(n-1)r) \\ & = \frac12 n(2a_1+(n-1)r) \\ & = \frac12 (10+4(n-1))n \\ & = (5+2n-2)n = 2n^2+3n \end{align}
    Obtemos a equação \(2n^2+3n=10877\) cuja solução é dada por: \(n_1=-149/2\) e \(n_2=73\). Como \(n > 0\), o número de termos que \(P\) deve ter para que \(S_n=10877\) é \(n=73\).
  16. Decompor o número \(195\) em \(3\) partes que formam uma PA, de modo que a terceira parte exceda a primeira em \(120\).
    Solução: Como em uma PA, o terceiro termo vale o primeiro mais duas vezes a razão e tomando a razão \(r=60\), com \(n=3\) e aplicando a fórmula da soma, obtemos:
    \[S_n = \frac12(a_1 + a_n)n = \frac32(a_1+a_1+120)=195\]
    Logo, \(a_1=5\) e sob estas condições, a PA é \(P=\{5,65,125\}\).
  17. Determinar o primeiro termo e a razão de uma PA, se a soma dos \(n\) primeiros termos é \(4n^2\) para todo \(n\) natural.
    Solução:
    \[S_n =\frac12(a_n+a_1)n = \frac12(a_1 + (n-1)r+a_1)n=4n^2\]
    logo
    \[\frac12 (2a_1+(n-1)r)= 4n\]
    assim \(2a_1 -r +nr - 8n =0\). Como esta equação é válida para todo \(n\) natural, pelo método dos coeficientes a determinar, obtemos: \(2a_1-r=0, \quad r-8=0\). Da relação anterior, obtemos a razão é \(r=8\) e o primeiro termo é \(a_1=4\).
  18. Sabendo-se que em uma PA, a soma de 3 números é 21 e o produto desses números é 315, calcular esses números. Solução: Considweremos a PA definida por \(P=\{x-r,x,x+r\}\), cuja soma é: \(21 = (x-r) + x + (x+r)\). Assim, \(x=7\) e o produto dos elementos do conjunto \(P\) é: \(315 = (7-r)\cdot 7\cdot(7+r)\), donde segue que \(r_1=2\) ou \(r_2=-2\). Considerando apenas \(r > 0\), obtemos \((x-r)=5,\quad x=7,\quad x+r=9\) e a PA é \(P=\{5,7,9\}\).
  19. Um corpo, ao cair no vácuo, percorre 4,90m no primeiro segundo de queda, 1,47m no segundo seguinte, 24,5m no terceiro segundo, e assim por diante. Calcule o espaço percorrido durante uma queda de 20 segundos.
    Soluçao: Subtraindo os espaços percorridos, pelo corpo, pelos respectivos espaços percorridos no segundo anterior, obtemos:
    \[r=14,7-4,90 = 24,5-14,7 = 9,80\]
    Assim, os espaços percorridos formam uma PA com \(a_1=4,90\) e \(r=9,80\). Como desejamos o espaço percorrido pelo corpo durante uma queda de 20 segundos, calculamos a soma dos 20 primeiros termos desta PA:
    \[S_{20} =\frac{(4,90+a_n)20}{2}=\frac{(4,90+(a_1+(n-1)r)20}{2}=1960\]
    O espaço percorrido pelo corpo na queda de 20 segundos é de 1960 metros.
  20. Determinar três números em PA, conhecendo-se a sua soma \(S\) e a soma \(Q=m^2\) dos quadrados dos termos da PA.
    Solução: Seja a PA definida por \(P={x-r,x,x+r}\) e a sua soma \(S=(x-r)+x+(x+r)\), então \(x=\frac{S}3\) e a soma de seus quadrados:
    \[Q=\left(\frac{S}3-r\right)^2 + \left(\frac{S}3\right)^2 +\left(\frac{S}3+r\right)^2 = m^2\]
    logo
    \[\frac{S^2}3 + 2r^2 = m^2\]
    de onde segue que
    \[r_1 = +\sqrt{\frac{m^2}{2}-\frac{S^2}{6}},\quad r_2 = -\sqrt{\frac{m^2}{2}-\frac{S^2}{6}}\]

    Tomando somente os valores \(r > 0\), obtemos os termos da PA:

    \[\begin{array}{cll} a_1 & = x-r & = \dfrac{S}{3} - \sqrt{\dfrac{m^2}{2}-\dfrac{S^2}{6}} \\ a_2 & = x & = \dfrac{S}{3} \\ a_3 & = x+r & = \dfrac{S}{3} + \sqrt{\dfrac{m^2}{2}-\dfrac{S^2}{6}} \end{array}\]
  21. Fulano deve transportar \(250\operatorname{m}^3\) de pedras para calçar uma estrada. O depósito está a \(420\operatorname{m}\) do lugar onde se deve deixar o primeiro metro cúbico, e cada um deles deve estar a \(20\operatorname{m}\) de distância do anterior. Fulano leva \(1\operatorname{m}^3\) por viagem. Quantos dias levará para transportar todas as pedras, se ele trabalha 8 horas por dia e o tempo usado em carregar e descarregar faz com que ele se movimente a uma velocidade de apenas 4/?
    Solução: O primeiro metro cúbico deve estar a 420m da pedreira, o segundo metro cúbico a 440m, o terceiro metro cúbico a 460m, etc A distância que o carroceiro deve percorrer é o dobro da soma dos termos de uma PA na qual o \(a_1=420\), a razão \(r=20\) e o número de termos é \(n=250\). Assim:
    \[S(250)=\frac12(a_1+a_n)n=\frac12(420+420+249){\times}250=727500\]
    de onde segue que \(2S_{250}=1455000\). Dividindo o espaço percorrido (1455000m) pela velocidade do carroceiro, obtemos o tempo gasto.
    \[t = 1455000/4000 = 363,75\]
    O tempo gasto foi de (363+3/4) de horas. Pela regra de três simples:
    \[\begin{array}{ccc} 1 \text{ dia } & -- & 8 \text{ horas} \\ x \text{ dias }& -- & 363,75 \text{ horas} \\ \end{array}\]

    obtemos \(x=45,46875\), que corresponde a 45 dias e 3 horas.

  22. A soma de 5 números em progressão aritmética é 25, é seu produto é 945. Obtenha essa PA.
    Solução: Seja a soma dos números da seguinte forma:
    \[(x+2r) + (x+r) + x + (x-r) + (x-2r) = 25\]
    de onde segue que \(x=5\) e o produto satisfaz:
    \[(x+2r)(x+r)x(x-r)(x-2r) = 945\]
    e tomando \(x=5\) nesta equação, obtemos
    \[(5+2r)(5+r)5(5-r)(5-2r) = 945\]
    que pode ser escrita na forma:
    \[4r^4 -125r^2 +436 =0\]
    Resolvendo esta equação biquadrada, obtemos quatro raízes:
    \[r_1=\sqrt{27,25}, r_2=-\sqrt{27,25}, r_3=2, r_4=-2\]
    e assim, a PA desejada pode ter de uma das formas:
    \begin{align} P1 & = \{5-2r_1, 5-r_1, 5, 5+r1, 5+2r_1\} \\ P2 & = \{5+2r_1, 5+r_1, 5, 5-r_1, 5-2r_1\} \\ P3 & = \{1, 3, 5, 7, 9 \} \\ P4 & = \{9, 7, 5, 3, 1 \} \end{align}
  23. Demonstrar que quando \(n\) cresce indefinidamente, a soma
    \[T = \frac{1+2+3+\cdots+(n-1)+n}{n^2}\]
    tem limite \(1/2\).
    Demonstração: O númerador de \(T\) é a soma de uma PA de \(n\) termos e a razão é \(r=1\), e podemos reescrever a equação \(T\) na forma:
    \[T = \frac{(1+n)n}{2n^2} = \frac{1+n}{2n} = \frac{1}{2n}+\frac12\]
    Quando \(n \to \infty\), \(1/2n\) tende para zero e \(T\) tende para \(1/2\).
  24. Demonstrar que quando \(n\) cresce indefinidamente, a soma:
    \[U=\frac{1+2+3+\cdots+(n-1)}{n^2}\]
    tem limite \(1/2\).
    Demonstração: O numerador de \(U\) é a soma dos termos de uma PA de \(n-1\) termos e razão \(r=1\), e podemos reescrever a equação \(U\) como:
    \[U = \frac{(n-1)n}{2n^2} = \frac{n-1}{2n} = \frac12 - \frac{1}{2n}\]
    Quando \(n \to \infty\), a expressão \(-\dfrac{1}{2n}\) tende a zero e \(U\) tende a \(1/2\).
  25. O menor ângulo interno de um polígono regular convexo é de \(139\) graus e os outros ângulos formam com o primeiro ângulo uma PA cuja razão é \(2\) graus. Calcular quantos lados possui este polígono convexo.
    Solução: Se \(n\) é o número de lados do polígono, então, \(n\) é o número de ângulos internos. Temos que o \(n\)-ésimo ângulo vale \(A_n = 139 + (n-1)2 = 137 + 2n\). Logo a soma dos ângulos vale: \(S(A_n) = \frac12(139+137+2n)n = 138n+n^2\). Sabendo da Geometria que a soma dos ângulos internos de um polígono regular com \(n\) lados é igual a S_n=180(n-2)=180n-360, obtemos a expressão: \(138n + n^2 = 180n - 360\) logo $\(n^2 - 42n + 360 = 0\).
    Assim, obtemos \(n_1=30\) e \(n_2=12\).
    Como um polígono é convexo não possui ângulo interno superior a \(180^0\), e substituíndo os valores de \(n\) em \(A_n\), obtemos para \(n=30\), \(A_{30}=197\) graus que é um ângulo maior que \(180^0\) e para \(n=12\), obtemos \(A_{12}=161\) graus, menor que \(180^\). Logo, o poligono convexo tem \(12\) lados.
  26. O produto dos 4 termos de uma PA é 945 e a razão é 2. Obtenha essa PA.
    Solução: Seja a PA: \(\{x-3,x-1,x+1,x+3\}\). Seu produto é: \((x-3)(x+3)(x-1)(x+1) = (x^2-9)(x^2-1)=945\), logo \(x^4 - 10 x^2 - 936 = 0\).
    Resolvendo esta equação biquadrada, obtemos apenas duas raízes reais: \(x_1=6\) ou \(x_2=-6\). Portanto a PA desejada é: \(P_1=\{3,5,7,9\}\) ou \(P_2=\{-9,-7,-5,-3\}\).
  27. Determinar o primeiro termo e a razão da PA, sabendo que a soma dos \(n\) primeiros termos é \(n^2/2\) para todo \(n\) natural.
    Solução: Para \(n=1\) a soma da PA é: \(S_1=a_1=1/2\). Para \(n=2\), \(S_2=a_1+a_2=4/2=2\), onde \(a_2=3/2\). Logo a razão dessa PA é \(r=1\). Portanto, a PA é: \(P=\{1/2, 3/2, 5/2, \cdots,n\}\).
  28. Qual é o limite da soma dos termos da PG infinita definida por \(G=\{1/3,1/9,1/27,\cdots\}\)?
    Solução: Esta é uma PG de razão \(r=1/3\) e usando a fórmula da soma da PG infinita, temos que \(S =\frac{a_1}{1-q}=\frac{1/3}{1-1/3}=1/2\). Portanto o limite da soma dos termos da PG é: \(1/2\).
  29. Qual é o limite da soma dos termos da PG definida pelo conjunto \(G=\{5,15/4,45/61,\cdots\}\)?
    Solução: Como \(G\) é uma PG de razão \(r=3/4\), temos que: \(S = \frac{a_1}{1-q} = \frac{5}{1-3/4} = 20\). Assim, o limite da soma dos termos do conjunto \(G\) é igual a 20.
  30. Decompor o número 195 em 3 partes de modo a formar uma PG em que a terceira parte excede a primeira parte em 120 unidades.
    Solução: Tomando \(x\) como a primeira parte, obtemos dos dados acima as seguintes equações:
    \begin{align} x + xq + xq^2 & = 195 \tag{Eq1} \\ -x + xq^2 & = 120 \tag{Eq2} \end{align}
    Subtraindo a equação (Eq2) da equação (Eq1) obtemos
    \[x = \frac{75}{2+q} \tag{Eq3}\]
    Substituindo \(x\) em (Eq2) obtemos a equação:
    \[\frac{75}{2+q} + \frac{75}{2+q} q^2 = 120\]
    de onde obtemos \(q_1=3\) e \(q_2=7/5\) e substituindo \(q_1\) e \(q_2\) em (Eq3), obtemos:
    \[x=15 \quad\text{ou}\quad x=125\]
    Obtemos então as duas progressões geométricas:
    \[P_1=\{15,45,135\} \quad e \quad P_2=\{125,175,245\}\]
    Usando as condições enunciadas, a PG solicitada é:
    \[P = \{15,45,135\}\]
  31. Obter a fração ordinária geratriz da dízima periódica \(0,423423423\cdots\)
    Solução: Temos que:
    \[0,423423\cdots =\frac{423}{1000}+\frac{423}{1000^2}+\frac{423}{1000^3}+\cdots\]
    Obtemos assim a soma de uma PG infinita da forma:
    \[a_n =\frac{423}{1000} \left(\frac{1}{1000}\right)^{n-1}\]
    Usando a fórmula da soma dos termos de uma PG infinita, obtemos a geratriz da dízima periódica que é:
    \[0,423423\cdots =\frac{0,423}{1-0,001}=\frac{47}{111}\]
  32. Calcular o limite da soma das frações:
    \[S =\frac12+\frac24+\frac38+\frac{4}{16}+\cdots\]
    Solução: A expressão de \(S\) pode ser descomposta em linhas, da seguinte forma:
    \[\begin{array}{lccccccc} L1: & \dfrac12 & +\dfrac14 & +\dfrac18 & +\dfrac{1}{16} & +\cdots & +\dfrac{1}{2^n} & +\cdots \\ L2: & & +\dfrac14 & +\dfrac18 & +\dfrac{1}{16} & +\cdots & +\dfrac{1}{2^n} & +\cdots \\ L3: & & & +\dfrac18 & +\dfrac{1}{16} & +\cdots & +\dfrac{1}{2^n} & +\cdots \\ \end{array}\]
    Temos que a soma de cada linha é:
    \begin{align} L_1 & = \frac{1/2}{1-1/2}= 1 \\ L_2 & = \frac{1/4}{1-1/2}= 1/2 \\ L_3 & = \frac{1/8}{1-1/2}= 1/4 \\ L_4 & = \frac{1/8}{1-1/2}= 1/8 \\ L_n & = \frac{1/8}{1-1/2}= 1/(n-1)^2 \end{align}
    Logo, a soma de todas as linhas é dada por:
    \[S = 1+1/2+1/4+1/8+\cdots = \frac{1}{1-1/2} = 2\]
  33. Em uma PG de quatros termos, a soma dos termos de ordem par é 10 e a soma dos termos de ordem ímpar é 5. Obter esta PG.
    Solução: Seja a PG indicada por \(G=\{x,xq,xq^2,xq^3\}\).
    A soma dos termos de ordem ímpar é:
    \[x + xq^2 = 5\]
    A soma dos termos de ordem par é:
    \[xq + xq^3 = 10\]
    Dividindo membro a membro a segunda equação pela primeira, obtemos \(q=2\). Como a soma da PG é:
    \[S=10+5=\frac{x(q^n-1)}{q-1}=\frac{x(2^4-1)}{2-1} = 15x\]
    Logo, \(x=1\) e a progressão é \(G=\{1,2,4,8\}\).
  34. Numa PG, composta de 4 termos, a soma dos meios é \(a=24\), e a soma dos extremos é \(b=56\). Qual é a PG?
    Solução: Como a PG tem 4 termos, ela é da forma: \(G=\{a_1,a_1q,a_1q^2,a_1q^3\}\). Logo
    \begin{align} a_1 + a_1q^3 & = b \tag{Eq4} \\ a_1q + a_1q^2 & = a \tag{Eq5} \end{align}
    Dividindo membro a membro as duas expressões, obtemos:
    \[\frac{a_1}{a_1q}+\frac{a_1q^3}{a_1q^2}=\frac{b}{a}\]
    que implica
    \[\frac{1+q^3}{q(1+q)}=\frac{b}{a}\]
    logo
    \[aq^3-bq^2-bq+a=0\]
    e como \(a=24\) e \(b=56\), obtemos a equação simplificada:
    \[3q^3-7q^2-7q+3=0\]
    que pode ser resolvida na página Equação do terceiro grau.
  35. Seja um quadrado de lado \(a\). Unindo os pontos médios de cada lado de modo a obter um novo quadrado, da mesma forma unindo os pontos médios do novo quadrado para obter o 3o. quadrado e contínuando indefinidamente. Calcular em função de \(a\) o limite da soma das áreas de todos os quadrados inscritos.
    Solução: Se \(a_1\) é a medida do lado do 2o. quadrado, temos que:
    \[(a_1)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2}\]
    e notamos que a área do 2o. quadrado [e a metade da área do primeiro quadrado, a área do 3o. quadrado é a metade da área do segundo quadrado, e assim por diante. Logo a soma das áreas dos quadrados inscritos é:
    \[S = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{8} + \cdots\]
    que é uma PG de razão \(r=1/2\) e \(a_1=a^2\). O limite desta soma é:
    \[S = \frac{a^2/2}{1 - 1/2} = a^2\]
  36. Seja a sequência de triângulos \(ABC\), \(A_1B_1C_1\), \(A_2B_2C_2,\cdots\), \(A_nB_nC_n\), cujos vértices de cada novo triângulo são os pontos médios dos lados do triângulo anterior. Calcular o limite da soma das áreas desses triângulos, para \(n \to \infty\), supondo que é conhecida a área do 1o. triângulo. Notamos que quando \(n\to\infty\), o último triângulo se reduz a um ponto. Que ponto é esse?
    Solução: Sendo \(S\) a área do triângulo inicial, a área do primeiro triângulo construído é \(S/4\); do segundo triângulo construído é \(S/16\); e assim por diante. Dessa forma a área do triângulo construído de ordem \(n\) é \(S/4^n\). A soma das áreas de todos os triângulos é:
    \[S_t = S + S/4 + S/4^2 + S/4^3 + \cdots + S/4^n +\cdots \]
    Como se trata de uma PG infinita de razão \(1/4\), esta soma é:
    \[S_t = \frac{S}{1-1/4} = 4S/3\]
    Como os vértices de um triângulo estão sempre nos pontos médios dos lados do triângulo anterior, estão sempre na mediana deste e na do 1o. triângulo. o encontro final ocorre no ponto de interseção das medianas do primeiro triângulo, que também é denominado o centro de gravidade do triângulo dado.
  37. Seja o triângulo retângulo \(ABC\), de lados conhecidos \(a\), \(b\), \(c\). Do vértice do ângulo reto, traça-se \(AM\), perpendicular à hipotenusa; depois \(MD\), perpendicular a \(AC\), e assim por diante indefinidamente. Calcular os comprimentos das perpendiculares assim traçadas, mostrando que tais medidas decressem em PG. Calcular a soma \(AM+MD+DN+NE+\cdots\)
    Solução: Como \(ABC\) e \(MAB\) são semelhantes, \(BA/BC=AM/AC\) assim:
    \[AM=BA{\times}AC/BC=b/a\]
    Do mesmo modo, mostra-se que
    \[MD = cb^2/a^2, DN = cb^3/a^3, \cdots\]
    Logo, as perpendiculares decrescem em PG porque \(b/a < 1\) e a soma pode ser calculada como a soma dos termos de uma PG.