Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Ensino Médio
Relações Matemáticas
Rossana M.M.Pereira e Ulysses Sodré

Material desta página

1 Aplicações das relações e funções no cotidiano

Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações é mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim, em todos os lugares. Ao interpretarmos tais gráficos, verificamos a necessidade do conceito de plano cartesiano.

Exemplo: O Sistema \(ABO\) dos grupos sanguíneos é explicado pela recombinação genética dos alelos \((a,b,o)\) e este é um bom exemplo de aplicação do conceito de produto cartesiano. Uma aplicação prática do conceito de relação é a discussão sobre a interação de neurônios (células nervosas do cérebro).

Na relação do espaço em função do tempo, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da exposição da intensidade de luz, ou pessoa em função da impressão digital, percebemos quão importante é o conceito de função para compreendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais, etc

As aplicações de plano cartesiano, produto cartesiano, relações e funções estão presentes em nosso cotidiano.

Valores assumidos por uma ação numa Bolsa de Valores

2 Plano Cartesiano

Referência histórica: Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês, cujo nome em latim era Cartesius, daí a palavra cartesiano.

O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos \(OX\) e \(OY\) perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo \(OX\)) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo \(OY\)). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal.

Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus).

Para cada ponto \(P\), podemos construir um segmento de reta que liga \(P\) à origem do sistema e este segmento forma um ângulo \(\theta\) com o eixo das abscissas orientado no sentido positivo. O ponto \(P\) pode estar em um único quadrante, dependendo do ângulo \(\theta\). Quando o ponto \(P\) está em um dos eixos coordenados, ele não pertence a qualquer um dos quadrantes.

\[\begin{array}{c|c} \text{Segundo quadrante} & \text{Primeiro quadrante} \\ 90^{\circ} < \theta < 180^\circ & 0 < \theta < 90^\circ \\ \hline \text{Terceiro quadrante} & \text{Quarto quadrante} \\ 180^\circ < \theta < 270^\circ & 270^\circ < \theta < 360^\circ \end{array}\]

Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti-horário

Cada ponto \(P=(a,b)\) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, sendo que o primeiro número é denominado abscissa e o segundo número recebe o nome de ordenada. Este par ordenado representa as coordenadas do ponto \(P\).

O primeiro número indica a medida do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo).

QuadranteSinal de xSinal de yPonto
Origemnão temnão tem(0,0)
Primeiro++(2,4)
Segundo\(-\)+(-4,2)
Terceiro\(-\)\(-\)(-3,-7)
Quarto+\(-\)(7,-2)

O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo). Observe no desenho que: \((a,b) \neq (b,a)\) se \(a \neq b\).

3 Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos \(A\) e \(B\) não vazios, definimos o produto cartesiano entre \(A\) e \(B\), denotado por \(A\times B\), como o conjunto de todos os pares ordenados da forma \((x,y)\) onde \(x\in A\) e \(y\in B\).

\[A{\times}B=\{(x,y): x\in A \text{ e } y\in B \}\]

Observe que \(A{\times}B \neq B{\times}A\), se \(A\) é não vazio ou \(B\) é não vazio. Se \(A=\emptyset\) ou \(B=\emptyset\), por definição:

\[A\times \emptyset =\emptyset =\emptyset \times B\]

Se \(A\) possui \(m\) elementos e B possui \(n\) elementos, então \(A\times B\) possui \(m{\times}n\) elementos.

Exemplo: Dados \(A=\{a,b,c,d\}\) e \(B=\{1,2,3\}\), o produto cartesiano \(A{\times}B\), tem 12 pares ordenados. Realmente,

\[A{\times}B=\{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)\}\]

O gráfico é dado por:

4 Relações no Plano Cartesiano

Sejam \(A\) e \(B\) conjuntos não vazios. Uma relação em \(A{\times}B\) é qualquer subconjunto \(R\) de \(A{\times}B\).

A relação mostrada na figura anterior é:

\[R=\{(a,3),(b,3),(c,2),(c,3),(d,2),(d,3)\}\]

Uma relação \(R\) de \(A\) em \(B\) pode ser denotada por \(R:A \to B\) ou \(R \subset A{\times}B\).

Exemplo: Se \(A=\{1,2\}\) e \(B=\{3,4\}\), o produto cartesiano é

\[A{\times}B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}\]

e neste caso, temos algumas relações em \(A{\times}B\):

  1. \(R1=\{(1,3),(1,4)\}\)
  2. \(R2=\{(1,3)\}\)
  3. \(R3=\{(2,3),(2,4)\}\)

5 Domínio e Contradomínio de uma Relação

As relações mais importantes são aquelas definidas sobre conjuntos de números reais e nem sempre uma relação está definida sobre todo o conjunto dos números reais. Para evitar problemas como estes, costuma-se definir uma relação \(R:A \to B\), onde \(A\) e \(B\) são subconjuntos de \(R\), da seguinte forma:

  1. O conjunto \(A\) é o domínio da relação \(R\), denotado por:
    \[\text{Dom}(R) = \{x\in A: \text{existe } y\in B: (x,y)\in R\}\]
  2. O conjunto \(B\) é o contradomínio da relação, denotado por:
    \[\text{CoDom}(R) = \{y\in B: \text{existe } x\in A: (x,y)\in R\}\]

Nota: Se um elemento \(x \in \text{Dom}(R)\), está relacionado com um elemento \(y \in \text{CoDom}(R)\), denotamos este fato por: \(xRy\), ou de uma forma alternativa, \((x,y)\in R\).

Representações gráficas de relações em A{}B:

\[R1 = \{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)\}\]

\[R2 = \{(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)\}\]

\[R3 = \{(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)\}\]

6 Relações Inversas

Seja \(R\) uma relação de \(A\) em \(B\). A relação inversa de \(R\), denotada por \(R^{-1}\), é definida de \(B\) em \(A\) por:

\[R^{-1} = \{(y,x)\in B{\times}A: (x,y)\in R\}\]

Exemplo: Sejam \(A=\{a,b,c\}\), \(B=\{d,e,f\}\) e \(R\) uma relação em \(A{\times}B\), definida por

\[R = \{(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f)\}\]

Então:

\[R^{-1} = \{(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)\}\]

Nota: O gráfico da relação inversa \(R^{-1}\) é simétrico ao gráfico da relação \(R\), com respeito à reta \(y=x\) (identidade).

7 Propriedades de Relações

Reflexividade: Uma relação \(R\) é reflexiva no conjunto \(A\), se todo elemento de \(A\) está relacionado consigo mesmo, ou seja, para todo \(x\in A\): \((x,x)\in R\), isto é, para todo \(x\in A\) tem-se que \(xRx\).

Exemplo: Uma relação reflexiva em \(A=\{a,b,c\}\), é dada por:

\[R=\{(a,a),(b,b),(c,c)\}\]

Simetria: Uma relação \(R\) é simétrica em \(A\) se, para todo \(x\) do domínio de \(R\) tal que \(xRy\), tem-se que \(yRx\), ou seja: quaisquer que sejam \(x\in A\) e \(y\in A\) tal que \((x,y)\in R\), segue que \((y,x)\in R\).

Exemplo: Uma relação simétrica em \(A=\{a,b,c\}\), é:

\[R = \{(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)\}\]

Transitividade: Uma relação \(R\) em \(A\) é transitiva, se para todo \(x\in A\) tal que \(xRy\) e para todo \(y\in A\) tal que \(yRz\), implica que \(x\) deve estar relacionado com \(z\), ou seja: quaisquer que sejam \(x,y,z\in A\), se \((x,y)\in R\) e \((y,z)\in R\) então \((x,z)\in R\).

Exemplo: Uma relação transitiva em \(A=\{a,b,c\}\), é:

\[R = \{(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)\}\]

Anti-simetria: Sejam \(x,y\in A\). Uma relação \(R\) é anti-simétrica em \(A\), se \((x,y)\in R\) e \((y,x)\in R\) implica que \(x=y\). Alternativamente, uma relação é anti-simétrica: Se \(x\) e \(y\) são elementos distintos do conjunto \(A\) então \(x\) não tem relação com \(y\) ou (exclusivo) \(y\) não tem relação com \(x\), o que significa que o par de elementos distintos \((x,y)\) do conjunto A só pode estar na relação se o par \((y,x)\) não estiver.

Exemplo: Uma relação anti-simétrica em \(A=\{a,b,c\}\), é:

\[R = \{(a,a),(b,b),(a,b),(a,c)\}\]

8 Relação de equivalência

Uma relação \(R\) sobre um conjunto \(A\) não vazio é denominada uma relação de equivalência sobre \(A\) se, e somente se, \(R\) é reflexiva, simétrica e transitiva.

Exemplo: Se \(A=\{a,b,c\}\) então a relação \(R\) em \(A{\times}A\), definida na sequência, é de equivalência:

\[R = \{(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a)\}\]