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Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável \(x\) é uma função matemática \(f:R\to R\) definida por:
onde \(a_0\), \(a_1\), \(a_2,\cdots\), \(a_n\) são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente \(a_0\) é o termo constante.
Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em \(x\).
Uma das funções polinomiais mais importantes é \(f:R\to R\) definida por:
O gráfico desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas características utilizadas em estudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros.
Ver o link Função quadrática nesta mesma página para entender a importância da função polinomial quadrática.
O valor numérico de um polinômio \(p=p(x)\) em um ponto \(x=a\) é obtido pela substituição de \(x\) pelo número \(a\), para obter \(p(a)\).
Exemplo: O valor numérico de \(p(x)=2x^2+7x-12\) em \(x=3\) é dado por: \(p(3) = 2{\times}(3)^2+7{\times}3-12 = 2{\times}9+21-12=18+9=27\).
Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo denominado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio \(p=p(x)\) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, aqui será denotado por \(gr(p)\).
Sobre o grau de um polinômio, existem várias observações importantes:
Nota: É comum usar apenas uma letra \(p\) para representar a função polinomial \(p=p(x)\) e \(P[x]\) o conjunto de todos os polinômios reais em \(x\).
Os polinomios \(p\) e \(q\) em \(P[x]\), definidos por:
são iguais se, e somente se, para todo \(k=0,1,2,3,\cdots,n\):
Teorema: Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja identicamente nulo é que todos os seus coeficientes sejam nulos.
Assim, um polinômio:
é nulo se, e somente se, para todo \(k=0,1,2,3,\cdots,n\): \(a_k= 0\).
O polinômio nulo é denotado por \(p_0=0\) em \(P[x]\).
O polinômio unidade (identidade para o produto) \(p_1=1\) em \(P[x]\), é o polinômio:
tal que \(a_0=1\) e \(a_k=0\), para todo \(k=1,2,3,\cdots,n\).
Consideremos \(p\) e \(q\) polinômios em \(P[x]\), definidos por:
Definimos a soma de \(p\) e \(q\), por:
A estrutura matemática \((P[x],+)\) formada pelo conjunto de todos os polinômios com a soma definida antes, possui algumas propriedades:
Com estas propriedades, a estrutura \((P[x],+)\) é um grupo comutativo.
Sejam \(p,q\in P[x]\), dados por:
Definimos o produto de \(p\) e \(q\), como um outro polinômio \(r\in P[x]\):
tal que:
para cada \(c_k (k=1,2,3,\cdots,m+n)\). Observamos que para cada termo da soma que gera \(c_k\), a soma do índice de \(a\) com o índice de \(b\) sempre fornece o mesmo resultado \(k\).
A estrutura matemática \((P[x],\cdot)\) formada pelo conjunto de todos os polinômios com o produto definido acima, possui várias propriedades:
Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômios
Distributiva: Quaisquer que sejam \(p,q,r\in P[x]\), tem-se que:
Com as propriedades apresentadas com a soma e o produto, a estrutura matemática \((P[x],+,\cdot)\) é um anel comutativo com identidade.
Embora uma sequência não seja um conjunto mas sim uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais (ou inteiros), usamos neste momento uma notação para sequência no formato de um conjunto.
O conjunto \(P[x]\) de todos os polinômios pode ser identificado com o conjunto \(S\) das sequências quase-nulas de números reais , isto é, as sequências da forma:
Isto significa que após um certo número natural n, todos os termos da sequência são nulos.
A identificação ocorre quando tomamos os coeficientes do polinômio
e colocamos os mesmos entre parênteses e após o n-ésimo coeficiente colocamos uma quantidade infinita de zeros, assim nós temos somente uma quantidade finita de números não nulos, razão pela qual tais sequências são denominadas sequências quase-nulas.
Esta forma de notação
funciona bem quando trabalhamos com espaços vetoriais, que são estruturas matemáticas onde a soma dos elementos e a multiplicação dos elementos por escalar têm várias propriedades.
Vamos considerar \(S\) o conjunto das sequências quase-nulas de números reais com as operações de soma, multiplicação por escalar e de multiplicação, dadas abaixo.
Sejam \(p\) e \(q\) em \(S\), tal que:
e vamos supor que \(m < n\).
Definimos a soma de \(p\) e \(q\), como:
e a multiplicação de um escalar \(k\) por \(p\in S\), como:
e o produto de p e q em S como:
sendo que
para cada \(c_k (k=1,2,3,\cdots,m+n)\).
O conjunto \(S\) com as operações definidas é: associativo, comutativo, distributivo e possui elementos: neutro, identidade, unidade, oposto.
Se \(gr(p)=m\) e \(gr(q)=n\) então
Dados os polinômios \(p\) e \(q\) em \(P[x]\), dizemos que \(q\) divide \(p\) se existe um polinômio \(g\) em \(P[x]\) tal que
Se \(p\in P[x]\) é um polinômio com \(gr(p)=n\) e \(g\) é um outro polinômio com \(gr(g)=m < n\), então existe um polinômio \(q\in P[x]\) e um polinômio \(r\in P[x]\) com \(gr(r) < gr(g)\), tal que:
Um caso particular importante é quando tomamos \(g(x)=x-c\) e
Como para todo \(k=1,2,3,\cdots,n\) vale a identidade:
então para
temos que
e tomando a diferença entre \(p(x)\) e \(p(c)\), obtemos:
o que garante que podemos evidenciar \(g(x)=x-c\) para obter
onde \(q=q(x)\) é um polinômio de grau \(n-1\). Assim, podemos escrever:
e é claro que \(r(x)=p(c)\) é um polinômio de grau \(0\).
Um zero de um polinômio real \(p\in P[x]\) é um número \(c\), que pode ser real ou complexo, tal que \(p(c)=0\). O zero de um polinômio também é denominado raiz da equação \(p(x)=0\).
Uma consequência do Algoritmo da Divisão de polinômios é que: \(x-c\) é um fator de \(p\) se, e somente se, \(r(x)=f(c)=0\), o que é equivalente a afirmar que \(c\) é um zero de \(p\), se, e somente se, \(x-c\) é um divisor de \(p=p(x)\).
Uma equação algébrica real na variável \(x\) é uma relação matemática que envolve apenas um número finito de operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de termos envolvendo a variável \(x\).
Exemplos:
A função exponencial \(\exp(x)=e^x\) pode ser escrita como um somatório com infinitos termos contendo potências de x:
assim, a equação
não é uma equação algébrica, o que equivale a dizer que esta equação é transcendente.
Quando a equação é da forma \(p(x) = 0\) onde \(p\) é um polinômio real em \(P[x]\), a equação é polinomial.
Quando uma equação possui a variável sob um sinal de radiciação ela é denominada equação irracional.
Exemplo: \(2x^2+3x+7=0\) e \(3x^2+7\sqrt{x}=2x+3\) são equações algébricas. A primeira é polinomial, mas a segunda não é polinomial. Esta segunda é uma equação irracional.
Nota: Uma equação algébrica irracional sempre pode ser colocada na forma de uma equação polinomial. Quando uma equação algébrica irracional é transformada em uma equação polinomial, as raízes da nova equação podem não coincidir com as raízes da equação original e as raízes obtidas desta nova equação que não servem para a equação original são denominadas raízes estranhas.
Exercício: Exibir uma equação irracional que tenha raízes estranhas.
Alguns tipos especiais de equações podem ser resolvidos.
Equação do primeiro grau: A equação \(ax+b=0\) com \(a\neq 0\) admite uma única raíz:
Equação do segundo grau: A equação \(ax^2+bx+c=0\), com \(a\neq 0\), admite exatamente duas raízes no conjunto dos números complexos:
Nesta página há dois links que tratam sobre o assunto: Equações do Segundo grau que dá um tratamento mais detalhado sobre o assunto e Cálculo de raízes de uma Equação do segundo grau que é um formulário onde você entra com os coeficientes e obtém as raízes sem muito esforço.
Equação cúbica: A equação \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) com \(a\neq 0\), admite exatamente três raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Tartaglia (Cardano).
Veja o nosso link O método de Tartaglia (Equação do terceiro grau) onde podemos encontrar material mais aprofundado sobre o assunto.
Para obter apenas o cálculo das três raízes de uma equação do terceiro grau, vá ao nosso link Raízes de uma Equação do terceiro grau.
Equação quártica: A equação \(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\) com \(a\neq 0\), admite exatamente quatro raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Ferrari.
Equação quíntica: Para equações completas de grau maior ou igual a 5, NÃO existem métodos algébricos para obter todas as raízes, mas existem muitos métodos numéricos que proporcionam as raízes de tais equações com grande precisão.
Existe uma versão da planilha Kyplot (freeware), com um mecanismo capaz de calcular com grande precisão raízes de equações polinomiais de grau \(n\).
Em Português, há um excelente livro que trata sobre Equações Algébricas e a história da Matemática subjacente: O Romance das Equações Algébricas
, Gilberto G. Garbi, Makron Books, São Paulo, 1999.
Teorema (Gauss): Toda equação algébrica polinomial com coeficientes reais ou complexos, admite no conjunto dos números complexos, pelo menos uma raiz.
Teorema equivalente: Toda equação algébrica polinomial de grau \(n\), com coeficientes reais ou complexos, admite exatamente \(n\) raízes, no conjunto dos números complexos.
Consequência: Toda equação algébrica polinomial real de grau \(n\), admite no máximo \(n\) raízes, no conjunto dos números reais.
Em nosso Site, existe o link Produtos Notáveis contendo 33 identidades polinomiais, sendo algumas não triviais.
Algumas desigualdades bastante comuns que podem ser obtidas a partir das identidades polinomiais:
Há vários livros de Matemática dedicados somente a desigualdades, pois uma grande parte da Matemática é construída através deste conceito.
Áreas onde existem muitas aplicações para as desigualdades são a Análise Matemática e a Programação Linear.