Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Ensino Médio
Logaritmos
Ulysses Sodré

Material desta página

1 A hipérbole equilátera

Seja a função real \(f(x)=1/x\) definida para todo \(x\neq 0\). O gráfico desta função é a curva plana denominada hipérbole equilátera, sendo que um ramo dessa hipérbole está no primeiro quadrante e o outro está localizado no terceiro quadrante.

Esta curva tem importantes aplicações em Ótica e construções de óculos, lentes, telescópios, estudos de química, estudos em economia, etc.

2 Definição de Logaritmo

O logaritmo natural (ou neperiano) de \(u\), muitas vezes, denotado por \(\ln(u)\), pode ser definido do ponto de vista geométrico, como a área da região plana localizada sob o gráfico da curva \(y=1/x\), acima do eixo \(y=0\), entre as retas \(x=1\) e \(x=u\), que está no desenho colorido de vermelho.

A área em vermelho representa o logaritmo natural de \(u\), denotado por \(\ln(u)\). Em função do gráfico, em anexo, usamos a definição:

\[\ln(u)=\text{área}(1,u)\]

Se \(u>1\), a região possui uma área bem definida, mas tomando \(u=1\), a região se reduz a uma linha vertical (que não posssui área ou seja, possui área nula) e neste caso tomamos \(\ln(1)=\text{área}(1,1)\). Assim:

\[\ln(1)=0\]

Quando aumentamos os valores de \(u\), esta função também aumenta os seus valores, o que significa que esta função é crescente para valores de \(u>0\).

O conceito de Integral de uma função real, normalmente estudado na disciplina Cálculo Diferencial e Integral, justifica a forma como apresentamos o Logaritmo natural de um número real.

3 Propriedades gerais dos logaritmos

Com o uso deste conceito fundamental da Matemática, podemos demonstrar várias propriedades dos logaritmos naturais (que não será feito aqui), para números reais positivos \(x\) e \(y\) e para qualquer número real \(k\), desde que tenham sentido as expressões matemáticas:

Propriedades básicas dos logaritmos naturais

  1. \(\ln(1)=0\)
  2. \(\ln(x.y)=\ln(x)+\ln(y)\)
  3. \(\ln(x^k)=k\ln(x)\)
  4. \(\ln(x/y)=\ln(x)-\ln(y)\)

4 Algumas simplificações matemáticas

As propriedades dos Logaritmos podem ser usadas para simplificar expressões matemáticas.

Exemplos:

  1. \(\ln(5)+4.\ln(3)=\ln(5)+\ln(3^{4}=\ln(5.3^{4})=\ln(405)\)
  2. \(\frac12\ln(4t^2)-\ln(t)=\ln[(4t^2)^{\frac12}]-\ln(t)=\ln(2)\), se \(t>0\)
  3. \(\ln(a)+\ln(b)-\ln(c)+\ln(10)=\ln(10ab/c)\)

Exercício: Qual dos números é o menor: \(2\ln(3)\) ou \(3\ln(2)\)? Observamos que:

\[2\ln(3)=\ln(3^2)=\ln(9), \quad 3\ln(2)=\ln(2^3 =\ln(8)\]

e como a função \(\ln\) é crescente, então:

\[3\ln(2)=\ln(8) < \ln(9)=2\ln(3)\]

5 Base para um logaritmo

Existe um importante número real \(e=2,71828...\) (atribuído a Euler) tal que

\[\ln(e) = 1\]

A partir da observação anterior, o número \(e\) representa a base para os logaritmos naturais e podemos escrever:

\[\ln(u) = \log_e(u)\]

que lemos como logaritmo do número real u na base e.

A partir do exposto acima, temos uma propriedade que permite a mudança logarítmica de uma base positiva para outra base positiva, sendo que ambas as bases devem ser diferentes de \(1\).

\[\log_a(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}\]

Exercício: Você saberia explicar a razão pela qual não é possível definir logaritmo de um número na base \(1\)?

6 Logaritmo decimal

No âmbito do Ensino Médio, usa-se bastante a base \(10\), pois neste ambiente a base decimal recebe as preferências para o trabalho com o nosso sistema de numeração, mas devemos observar que em contextos mais avançados, a base decimal é pouca usada.

Quando escrevemos \(\log\) a partir daqui neste trabalho, vamos entender o logaritmo na base decimal e escrevemos:

\[y = \log(x)\]

para entender que \(y\) é o logaritmo de \(x\) na base \(10\) e nesta base \(10\), temos algumas características interessantes com os logaritmos das potências de \(10\).

  1. \(\log(1)=0\)
  2. \(\log(0)\) não tem sentido
  3. \(\log(10)=\log(10^1)=1\)
  4. \(\log(1/10)=\log(10^{-1})=-1\)
  5. \(\log(100)=\log(10^2)=2\)
  6. \(\log(1/100)=\log(10^{-2})=-2\)
  7. \(\log(1000)=\log(10^3)=3\)
  8. \(\log(1/1000)=\log(10^{-3})=-3\)
  9. \(\log(10^{n})=n\)
  10. \(\log(10^{-n})=-n\)

A partir da propriedade

\[\log 10^n=n\]

temos que o logaritmo de \(10^n\) na base \(10\) é o expoente \(n\), o que nos faz pensar que para todo \(x\) real positivo vale a relação:

\[\log(10^x) = x\]

7 Definição estranha de logaritmo

A última expressão mostrada acima é correta e existe uma outra relação muito mais geral do que esta, pois o logaritmo de um número real positivo \(x\) na base \(b\) é igual ao número \(e\) se, e somente se, \(x\) pode ser escrito como a potência \(b\) elevada ao expoente \(e\), isto é:

\[\log_b(x) = e \Leftrightarrow x = b^e\]

Em livros de Matemática elementar, esta é tomada como a definição de logaritmo de um número em uma certa base, o que é estranho pois tal definição é cíclica:

  1. Define-se o logarítmo em função da exponencial;
  2. Define-se a exponencial em função do logaritmo.

8 Cálculos de logaritmos de alguns números

Com a definição estranha é possível obter o um valor aproximado para o \(\log(2)\). Consideremos que \(y=\log(2)\) e \(10^y=2\). Inicialmente, temos que \(\log(2)\) é positivo e menor do que \(1\), pois \(1<2<10\) assim

\[0 < \log(2) < 1 \]

É interessante obter dois números que sejam potências de \(2\) e que estejam muito próximos de potências de \(10\).

Por exemplo:

\[1000 <1024 =2^{10}, \quad 8192 = 2^{13} < 10000\]

logo \(1000<1024<8192<10000\), assim, aplicando o logaritmo na base \(10\), obtemos:

\[3 < 10\log(2) <13\log(2) < 4\]

então

\[0,300 =3/10<\log(2)<4/13=0,308\]

e a média aritmética entre \(0,300\) e \(0,308\) é igual a \(0,304\), que é uma boa estimativa para \(\log(2)\), isto é:

\[\log(2) \approx 0,304\]

O ideal é obter outras potências de \(10\) que estejam próximas de potências de \(2\), o que não é fácil para alguém que não tenha uma calculadora que opere com muitos decimais, o que pode ser visualizado através da tabela mostrando algumas de tais potências:

\[\begin{matrix} \text{Intervalo real} & \text{Valores} & \text{Média} \\ \hline 10^0< 2^1<10 & 0<\log(2)< 1 & 0,500 \\ 10^0< 2^2<10^1 & 0<\log(2)< 1/2 & 0,250 \\ 10^1< 2^4<10^2 & 1/4<\log(2)< 2/4 & 0,375 \\ 10^1< 2^5<10^2 & 1/5<\log(2)< 2/5 & 0,300 \\ 10^1< 2^6<10^2 & 1/6<\log(2)< 2/6 & 0,250 \\ 10^2< 2^8<10^3 & 2/8<\log(2)< 3/8 & 0,313 \\ 10^3<2^{10}<10^4 & 3/10<\log(2)<4/10 & 0,350 \\ 10^3<2^{11}<10^4 & 3/11<\log(2)<4/11 & 0,318 \\ 10^3<2^{12}<10^4 & 3/12<\log(2)<4/12 & 0,292 \\ 10^3<2^{13}<10^4 & 3/13<\log(2)<4/13 & 0,269 \\ 10^4<2^{14}<10^5 & 4/14<\log(2)<5/14 & 0,321 \\ 10^4<2^{15}<10^5 & 4/15<\log(2)<5/15 & 0,300 \\ 10^4<2^{16}<10^5 & 4/16<\log(2)<5/16 & 0,282 \\ 10^5<2^{17}<10^6 & 5/17<\log(2)<6/17 & 0,393 \\ 10^5<2^{18}<10^6 & 5/18<\log(2)<6/18 & 0,306 \\ 10^5<2^{19}<10^6 & 5/19<\log(2)<6/19 & 0,289 \\ 10^6<2^{20}<10^7 & 6/20<\log(2)<7/20 & 0,325 \\ \end{matrix}\]

Em Cálculo Diferencial e Integral, podemos desenvolver a função \(\ln\) através de uma série de potências de \(x\) para calcular logaritmos de números reais positivos com \(-1

\[\ln(1+x) = x - \frac12 x^2 + \frac13 x^3 - \frac14 x^{4} + \frac15 x^{5} + \cdots\]

Uma outra série mais eficiente, permite obter o valor de \(\ln(y)\) para qualquer \(y\in R\) desde que se saiba o valor de \(x\) para o qual \(y=(1+x)/(1-x)\).

\[\ln(y) = 2\left(x +\frac13 x^3 +\frac15 x^5 +\frac17 x^7 +\cdots\right)\]

Por exemplo, para obter \(\ln(3)\), tomamos \(y=3\) e devemos ter \(x=1/2\) para satisfazer à relação \(y=(1+x)/(1-x)\).

Voltando ao estudo básico, \(\log(2)=0,3010299956639812\cdots\) e com este valor, podemos obter os logaritmos das potências de \(2\), como por exemplo:

  1. \(\log(4)=\log(2^2)=2\log(2)=0,60206\)
  2. \(\log(8)=\log(2^3)=3\log(2)=0,90309\)
  3. \(\log(16)=\log(2^4)=4\log(2)=1,20412\)
  4. \(\log(32)=\log(2^5)=5\log(2)=1,50515\)
  5. \(\log(2^n)=n\log(2)\)
  6. \(\log(1/2)=\log(2^{-1})=(-1)\log(2)=-0,30103\)
  7. \(\log(1/4)=\log(2^{-2})=(-2)\log(2)=-0,60206\)
  8. \(\log(1/8)=\log(2^{-3})=(-3)\log(2)=-0,90309\)
  9. \(\log(1/16)=\log(2^{-4})=(-4)\log(2)=-1,20412\)
  10. \(\log(1/32)=\log(2^{-5})=(-5)\log(2)=-1,50515\)
  11. \(\log(2^{-n})=-n\log(2)\)

Temos também que (3)=0,47712, o que nos permite realizar uma grande quantidade de cálculos com logaritmos.

Com \(\log(2)\) e \(\log(3)\), não é possível calcular os logaritmos dos números primos maiores do que \(5\), mas é possível obter uma grande quantidade de logaritmos de números naturais.

Exemplo: Como \(\log(2)=0,301\) e \(\log(3)=0,477\), vamos calcular alguns logaritmos.

  1. \(\log(5)=\log(10/2)=\log(10)-\log(2)=1-0,301=0,699\)
  2. \(\log(6)=\log(2.3)=\log(2)+\log(3)=0,301+0,477=0,778\)
  3. \(\log(8)=\log(2^3)=3 \log(2)=0,903\)
  4. \(\log(9)=\log(3^2)=2 \log(3)=0,954\)

Uma estimativa razoável para \(\log(7)=0,8451\) pode ser obtida com a média aritmética entre \(\log(6)\) e \(\log(8)\), isto é:

\[\log(7)=0,840\]

9 Característica e mantissa de um logaritmo na base 10

Se um número está entre duas potências consecutivas de 10, o expoente da menor delas é a característica do logaritmo deste número e a diferença entre o logaritmo do número e a característica é a mantissa que é a parte decimal do logaritmo.

Nota: Na tabela seguinte aparece o sinal negativo apenas para o número que está envolvido em parenteses, antes da vírgula.

\[\begin{matrix} \text{Número} & \text{Logaritmo} & \text{Característica} & \text{Mantissa} \\ \hline 0,002 & (-3),30103 & -3 & 0,30103 \\ 0,02 & (-2),30103 & -2 & 0,30103 \\ 0,2 & (-1),30103 & -1 & 0,30103 \\ 2 & 0,30103 & 0 & 0,30103 \\ 20 & 1,30103 & 1 & 0,30103 \\ 200 & 2,30103 & 2 & 0,30103 \\ 2000 & 3,30103 & 3 & 0,30103 \\ \end{matrix}\]

Esta notação simplifica operações com logaritmos, visando mostrar que, se a divisão de dois números é um múltiplo de 10, basta mudar a característica e preservar a mantissa do logaritmo. Isto pode ser observado na Tábua moderna de logaritmos que aparece no final desta Página.

A notação \((-3),30103\) significa que apenas a característica é negativa, valendo -3 e ela deve ser somada à mantissa que é um número positivo \(0,30103\) e isto significa que o resultado deve ser um número com um sinal negativo, isto é, \(-2,69897\).

10 Tábua moderna de logaritmos

Para obter o logaritmo de um número positivo, não se esqueça de colocar o ponto decimal no lugar da vírgula.

Entrar com o número:
Logaritmo do número:

Exercício: Calcular \(\log(2)\), \(\log(20)\), \(\log(200)\) e \(\log(2000)\). Você observou algo interessante sobre as características e mantissas desses logaritmos?