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Seja a função real \(f(x)=1/x\) definida para todo \(x\neq 0\). O gráfico desta função é a curva plana denominada hipérbole equilátera, sendo que um ramo dessa hipérbole está no primeiro quadrante e o outro está localizado no terceiro quadrante.
Esta curva tem importantes aplicações em Ótica e construções de óculos, lentes, telescópios, estudos de química, estudos em economia, etc.
O logaritmo natural (ou neperiano) de \(u\), muitas vezes, denotado por \(\ln(u)\), pode ser definido do ponto de vista geométrico, como a área da região plana localizada sob o gráfico da curva \(y=1/x\), acima do eixo \(y=0\), entre as retas \(x=1\) e \(x=u\), que está no desenho colorido de vermelho.
A área em vermelho representa o logaritmo natural de \(u\), denotado por \(\ln(u)\). Em função do gráfico, em anexo, usamos a definição:
Se \(u>1\), a região possui uma área bem definida, mas tomando \(u=1\), a região se reduz a uma linha vertical (que não posssui área ou seja, possui área nula) e neste caso tomamos \(\ln(1)=\text{área}(1,1)\). Assim:
Quando aumentamos os valores de \(u\), esta função também aumenta os seus valores, o que significa que esta função é crescente para valores de \(u>0\).
O conceito de Integral de uma função real, normalmente estudado na disciplina Cálculo Diferencial e Integral, justifica a forma como apresentamos o Logaritmo natural de um número real.
Com o uso deste conceito fundamental da Matemática, podemos demonstrar várias propriedades dos logaritmos naturais (que não será feito aqui), para números reais positivos \(x\) e \(y\) e para qualquer número real \(k\), desde que tenham sentido as expressões matemáticas:
Propriedades básicas dos logaritmos naturais
As propriedades dos Logaritmos podem ser usadas para simplificar expressões matemáticas.
Exemplos:
Exercício: Qual dos números é o menor: \(2\ln(3)\) ou \(3\ln(2)\)? Observamos que:
e como a função \(\ln\) é crescente, então:
Existe um importante número real \(e=2,71828...\) (atribuído a Euler) tal que
A partir da observação anterior, o número \(e\) representa a base para os logaritmos naturais e podemos escrever:
que lemos como logaritmo do número real u na base e
.
A partir do exposto acima, temos uma propriedade que permite a mudança logarítmica de uma base positiva para outra base positiva, sendo que ambas as bases devem ser diferentes de \(1\).
Exercício: Você saberia explicar a razão pela qual não é possível definir logaritmo de um número na base \(1\)?
No âmbito do Ensino Médio, usa-se bastante a base \(10\), pois neste ambiente a base decimal recebe as preferências para o trabalho com o nosso sistema de numeração, mas devemos observar que em contextos mais avançados, a base decimal é pouca usada.
Quando escrevemos \(\log\) a partir daqui neste trabalho, vamos entender o logaritmo na base decimal e escrevemos:
para entender que \(y\) é o logaritmo de \(x\) na base \(10\) e nesta base \(10\), temos algumas características interessantes com os logaritmos das potências de \(10\).
A partir da propriedade
temos que o logaritmo de \(10^n\) na base \(10\) é o expoente \(n\), o que nos faz pensar que para todo \(x\) real positivo vale a relação:
A última expressão mostrada acima é correta e existe uma outra relação muito mais geral do que esta, pois o logaritmo de um número real positivo \(x\) na base \(b\) é igual ao número \(e\) se, e somente se, \(x\) pode ser escrito como a potência \(b\) elevada ao expoente \(e\), isto é:
Em livros de Matemática elementar, esta é tomada como a definição de logaritmo de um número em uma certa base, o que é estranho pois tal definição é cíclica:
Com a definição estranha é possível obter o um valor aproximado para o \(\log(2)\). Consideremos que \(y=\log(2)\) e \(10^y=2\). Inicialmente, temos que \(\log(2)\) é positivo e menor do que \(1\), pois \(1<2<10\) assim
É interessante obter dois números que sejam potências de \(2\) e que estejam muito próximos de potências de \(10\).
Por exemplo:
logo \(1000<1024<8192<10000\), assim, aplicando o logaritmo na base \(10\), obtemos:
então
e a média aritmética entre \(0,300\) e \(0,308\) é igual a \(0,304\), que é uma boa estimativa para \(\log(2)\), isto é:
O ideal é obter outras potências de \(10\) que estejam próximas de potências de \(2\), o que não é fácil para alguém que não tenha uma calculadora que opere com muitos decimais, o que pode ser visualizado através da tabela mostrando algumas de tais potências:
Em Cálculo Diferencial e Integral, podemos desenvolver a função \(\ln\) através de uma série de potências de \(x\) para calcular logaritmos de números reais positivos com \(-1 Uma outra série mais eficiente, permite obter o valor de \(\ln(y)\) para qualquer \(y\in R\) desde que se saiba o valor de \(x\) para o qual \(y=(1+x)/(1-x)\). Por exemplo, para obter \(\ln(3)\), tomamos \(y=3\) e devemos ter \(x=1/2\) para satisfazer à relação \(y=(1+x)/(1-x)\). Voltando ao estudo básico, \(\log(2)=0,3010299956639812\cdots\) e com este valor, podemos obter os logaritmos das potências de \(2\), como por exemplo: Temos também que (3)=0,47712, o que nos permite realizar uma grande quantidade de cálculos com logaritmos. Com \(\log(2)\) e \(\log(3)\), não é possível calcular os logaritmos dos números primos maiores do que \(5\), mas é possível obter uma grande quantidade de logaritmos de números naturais. Exemplo: Como \(\log(2)=0,301\) e \(\log(3)=0,477\), vamos calcular alguns logaritmos. Uma estimativa razoável para \(\log(7)=0,8451\) pode ser obtida com a média aritmética entre \(\log(6)\) e \(\log(8)\), isto é: Se um número está entre duas potências consecutivas de 10, o expoente da menor delas é a característica do logaritmo deste número e a diferença entre o logaritmo do número e a característica é a mantissa que é a parte decimal do logaritmo. Nota: Na tabela seguinte aparece o sinal negativo apenas para o número que está envolvido em parenteses, antes da vírgula. Esta notação simplifica operações com logaritmos, visando mostrar que, se a divisão de dois números é um múltiplo de 10, basta mudar a característica e preservar a mantissa do logaritmo. Isto pode ser observado na Tábua moderna de logaritmos que aparece no final desta Página. A notação \((-3),30103\) significa que apenas a característica é negativa, valendo -3 e ela deve ser somada à mantissa que é um número positivo \(0,30103\) e isto significa que o resultado deve ser um número com um sinal negativo, isto é, \(-2,69897\). Para obter o logaritmo de um número positivo, não se esqueça de colocar o ponto decimal no lugar da vírgula. Exercício: Calcular \(\log(2)\), \(\log(20)\), \(\log(200)\) e \(\log(2000)\). Você observou algo interessante sobre as características e mantissas desses logaritmos?
9 Característica e mantissa de um logaritmo na base 10
10 Tábua moderna de logaritmos