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No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory
, Paul Halmos ou Axiomatic Set Theory
, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.
Conjunto: representa uma coleção de objetos.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, etc, Z.
Elemento: é um dos componentes de um conjunto.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, \(\cdots\), z.
Pertinência: é uma característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo \(\in\) que se lê: pertence.
Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:
Para afirmar que \(0\) não é um número natural ou que \(0\) não pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:
Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra \(/\) traçada sobre o símbolo normal.
Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos envolvidos pelas chaves \(\{\) e \(\}\) através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:
Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves \(\{\) e \(\}\).
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: Ven-óiler
) Os conjuntos são mostrados graficamente.
Dados os conjuntos \(A\) e \(B\), dizemos que \(A\) está contido em \(B\), denotado por \(A \subset B\), se todo elemento de \(A\) também está em \(B\). Algumas vezes dizemos que um conjunto \(A\) está propriamente contido em \(B\), quando o conjunto \(B\), além de conter os elementos de \(A\), contém também outros elementos. O conjunto \(A\) é um subconjunto de \(B\) e o conjunto \(B\) é o superconjunto que contém \(A\).
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por \(\{\;\;\}\) ou por \(\emptyset\). O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra \(U\). Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.
A reunião dos conjuntos \(A\) e \(B\) é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto \(A\) ou ao conjunto \(B\).
Exemplo: Se \(A=\{a,e,i,o\}\) e \(B=\{3,4\}\) então \(A\cup B=\{a,e,i,o,3,4\}\).
A interseção dos conjuntos \(A\) e \(B\) é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto \(A\) e ao conjunto \(B\).
Exemplo: Se \(A=\{a,e,i,o,u\}\) e \(B=\{1,2,3,4\}\) então \(A\cap B=\emptyset\).
Quando a interseção de dois conjuntos \(A\) e \(B\) é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos \(A\) e \(B\), a reunião de \(A\) e \(B\), denotada por \(A\cup B\) e a interseção de \(A\) e \(B\), denotada por \(A\cap B\), ainda são conjuntos no universo que estamos trabalhando.
Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto \(A\), tem-se que:
Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos \(A\) e \(B\), tem-se que:
Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos \(A\) e \(B\), tem-se que:
Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos \(A\), \(B\) e \(C\), tem-se que:
Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos \(A\) e \(B\), tem-se que:
Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio \(\emptyset\) é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto \(A\), se tem:
Elemento nulo
para a interseção: A interseção do conjunto vazio \(\emptyset\) com qualquer outro conjunto \(A\), fornece o próprio conjunto vazio, isto é,
Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo \(U\) é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto \(A\), se tem:
Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos \(A\), \(B\) e \(C\), tem-se que:
Os gráficos abaixo mostram a distributividade.
A diferença entre os conjuntos \(A\) e \(B\) é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto \(A\) e não pertencem ao conjunto \(B\).
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:
O complemento do conjunto \(B\) contido no conjunto \(A\), denotado por \(C_AB\), é a diferença entre os conjuntos \(A\) e \(B\), ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto \(A\) e não pertencem ao conjunto \(B\).
Graficamente, o complemento do conjunto \(B\) no conjunto \(A\), é dado por:
Quando não há dúvida sobre o universo \(U\) em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra \(c\) posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.
Exemplos: \(\emptyset^c=U\) e \(U^c=\emptyset\) .
A diferença simétrica entre os conjuntos \(A\) e \(B\) é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos \(A\) e \(B\) e não pertencem à interseção dos conjuntos \(A\) e \(B\).
O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:
Exercício: Dados os conjuntos \(A\), \(B\) e \(C\), pode-se mostrar que: