Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Ensino Médio
Teoria dos Conjuntos
Rossana M. Martins Pereira
Ulysses Sodré

Material desta página

1 Alguns conceitos primitivos

No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, Paul Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.

Conjunto: representa uma coleção de objetos.

  1. O conjunto de todos os brasileiros.
  2. O conjunto de todos os números naturais.
  3. O conjunto de todos os números reais tal que \(x^2-4=0\).

Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, etc, Z.

Elemento: é um dos componentes de um conjunto.

  1. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.
  2. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais.
  3. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação \(x^2-4=0\).

Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, \(\cdots\), z.

Pertinência: é uma característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.

  1. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
  2. 1 pertence ao conjunto dos números naturais.
  3. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação \(x^2-4=0\).

Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo \(\in\) que se lê: pertence.

Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

\[1 \in N\]

Para afirmar que \(0\) não é um número natural ou que \(0\) não pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

\[0 \notin N\]

Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra \(/\) traçada sobre o símbolo normal.

2 Algumas notações para conjuntos

Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos envolvidos pelas chaves \(\{\) e \(\}\) através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:

Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves \(\{\) e \(\}\).

  1. \(A=\{a,e,i,o,u\}\)
  2. \(N=\{1,2,3,4,...\}\)
  3. \(M=\{\text{João}, \text{Maria}, \text{José}\}\)

Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.

  1. \(A=\{x: x \text{ é uma vogal}\}\)
  2. \(N=\{x: x \text{ é um número natural}\}\)
  3. \(M=\{x: x \text{ é uma pessoa da família de Maria}\}\)

Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: Ven-óiler) Os conjuntos são mostrados graficamente.

3 Subconjuntos

Dados os conjuntos \(A\) e \(B\), dizemos que \(A\) está contido em \(B\), denotado por \(A \subset B\), se todo elemento de \(A\) também está em \(B\). Algumas vezes dizemos que um conjunto \(A\) está propriamente contido em \(B\), quando o conjunto \(B\), além de conter os elementos de \(A\), contém também outros elementos. O conjunto \(A\) é um subconjunto de \(B\) e o conjunto \(B\) é o superconjunto que contém \(A\).

4 Alguns conjuntos especiais

Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por \(\{\;\;\}\) ou por \(\emptyset\). O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.

Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra \(U\). Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.

5 Reunião de conjuntos

A reunião dos conjuntos \(A\) e \(B\) é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto \(A\) ou ao conjunto \(B\).

\[A \cup B = \{ x: x \in A \text{ ou } x \in B \}\]

Exemplo: Se \(A=\{a,e,i,o\}\) e \(B=\{3,4\}\) então \(A\cup B=\{a,e,i,o,3,4\}\).

6 Interseção de conjuntos

A interseção dos conjuntos \(A\) e \(B\) é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto \(A\) e ao conjunto \(B\).

\[A \cap B = \{ x: x \in A \text{ e } x \in B \}\]

Exemplo: Se \(A=\{a,e,i,o,u\}\) e \(B=\{1,2,3,4\}\) então \(A\cap B=\emptyset\).

Quando a interseção de dois conjuntos \(A\) e \(B\) é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.

7 Propriedades dos conjuntos

  1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos \(A\) e \(B\), a reunião de \(A\) e \(B\), denotada por \(A\cup B\) e a interseção de \(A\) e \(B\), denotada por \(A\cap B\), ainda são conjuntos no universo que estamos trabalhando.

  2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto \(A\), tem-se que:

    \[A \cup A = A \text{ e } A \cap A = A\]
  3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos \(A\) e \(B\), tem-se que:

    \[A \subset A \cup B, B \subset A \cup B, A \cap B \subset A, A \cap B \subset B\]
  4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos \(A\) e \(B\), tem-se que:

    \begin{align} A \subset B \Leftrightarrow A \cup B = B \\ A \subset B \Leftrightarrow A \cap B = A \end{align}
  5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos \(A\), \(B\) e \(C\), tem-se que:

    \begin{align} A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C \\ A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C \end{align}
  6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos \(A\) e \(B\), tem-se que:

    \begin{align} A \cup B = B \cup A \\ A \cap B = B \cap A \end{align}
  7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio \(\emptyset\) é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto \(A\), se tem:

    \[A \cup \emptyset = A\]
  8. Elemento nulo para a interseção: A interseção do conjunto vazio \(\emptyset\) com qualquer outro conjunto \(A\), fornece o próprio conjunto vazio, isto é,

    \[A \cap \emptyset = \emptyset\]
  9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo \(U\) é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto \(A\), se tem:

    \[A \cap U = A\]
  10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos \(A\), \(B\) e \(C\), tem-se que:

    \begin{align} A \cap (B \cup C ) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \\ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \end{align}

Os gráficos abaixo mostram a distributividade.

8 Diferença de conjuntos

A diferença entre os conjuntos \(A\) e \(B\) é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto \(A\) e não pertencem ao conjunto \(B\).

\[A-B = \{x: x \in A \text{ e } x \notin B\}\]

Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:

9 Complemento de um conjunto

O complemento do conjunto \(B\) contido no conjunto \(A\), denotado por \(C_AB\), é a diferença entre os conjuntos \(A\) e \(B\), ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto \(A\) e não pertencem ao conjunto \(B\).

\[C_A B = A-B = \{x: x \in A \text{ e } x \notin B\}\]

Graficamente, o complemento do conjunto \(B\) no conjunto \(A\), é dado por:

Quando não há dúvida sobre o universo \(U\) em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra \(c\) posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.

Exemplos: \(\emptyset^c=U\) e \(U^c=\emptyset\) .

10 Leis de Augustus De Morgan

  1. O complementar da reunião dos conjuntos \(A\) e \(B\) é a interseção dos complementares desses conjuntos.
    \[(A \cup B)^c = A^c \cap B^c\]
  2. O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.
    \[(A_1 \cup A_2 \cup ...\cup A_n)^c = A_1^c \cap A_2^c \cap ...\cap A_n^c\]
  3. O complementar da interseção dos conjuntos \(A\) e \(B\) é a reunião dos complementares desses conjuntos.
    \[(A \cap B)^c = A^c \cup B^c\]
  4. O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.
    \[(A_1 \cap A_2 \cap\cdots\cap A_n)^c = A_1^c \cup A_2^c \cup\cdots\cup A_n^c\]

11 Diferença simétrica

A diferença simétrica entre os conjuntos \(A\) e \(B\) é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos \(A\) e \(B\) e não pertencem à interseção dos conjuntos \(A\) e \(B\).

\[A \Delta B = \{x: x\in A\cup B \text{ e } x\notin A\cap B \}\]

O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:

Exercício: Dados os conjuntos \(A\), \(B\) e \(C\), pode-se mostrar que:

  1. \(A=\emptyset\) se, e somente se, \(B=A \Delta B\).
  2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.
  3. A diferença simétrica é comutativa.
  4. A diferença simétrica é associativa.
  5. \(A \Delta A=\emptyset\) (conjunto vazio).
  6. A interseção entre \(A\) e \(B \Delta C\) é distributiva, isto é:
    \(A \cap (B \Delta C) = (A \cap B) \Delta (A \cap C)\)
  7. \(A \Delta B\) está contida na reunião de \(A \Delta C\) e \(B \Delta C\), mas esta inclusão é própria, isto é:
    \(A \Delta B \subset (A \Delta C) \cup (B \Delta C)\)