Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

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Na página Análise Combinatória, você encontra a teoria necessária para resolver os exercícios aqui propostos, sendo que alguns deles possuem resposta ou alguma ajuda. Nem sempre os exercícios aparecem em ordem de dificuldade crescente.

1 Quinze Exercícios de permutações simples

1. Com as vogais: \(AEIOU\), quantas permutações podem ser formadas com as letras: \(A\), \(E\) e \(I\).
2. De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca?
   Auxílio: \(P(n)=n!, n=3\)
   Resposta: \(N=1{\times}2{\times}3=6\)
3. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares?
   Auxílio: \(P(n)=n!, n=5\)
   Resposta: \(N=1(2)(3)(4)(5)=120\)
4. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra \(AMOR\)?
   Auxílio: \(P(n)=n!, n=4\)
   Resposta: \(N=1(2)(3)(4)=24\)
5. Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9.
   Resposta: \(P(5)=120\).
6. Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3.
   Auxílio: Cada conjunto com os algarismos 13 e 31 forma um grupo que junto com os outros, fornece 4 grupos.
   Resposta: \(N=2{\times}P(4)=2{\times}24=48\)
7. Consideremos um conjunto com \(n\) letras. Quantas permutações começam por uma determinada letra?
   Resposta: \(N=P(n-1)=(n-1)!\)
8. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: \(ABCDEFGHI\)?
   Resposta: \(P(9)=9!\)
9. Quantos anagramas existem com as letras: \(ABCDEFGHI\), iniciando por \(A\)?
   Resposta: \(P(8)=8!\)
10. Quantos anagramas existem com as letras: \(ABCDEFGHI\), iniciando por \(AB\)?
    Resposta: \(P(7)=7!\)
11. Quantos anagramas existem com as letras: \(ABCDEFGHI\), iniciando por \(ABC\)?
    Resposta: \(P(6)=6!=720\)
12. Quantos anagramas existem com as letras: \(ABCDEFGHI\), iniciando por uma das letras \(A\) ou \(B\) ou \(C\)?
    Auxílio: Começando por uma das letras \(A\) ou \(B\) ou \(C\): \(P(8)=8!\)
    Resposta: \(N=3{\times}P(8)=3{\times}8!\)
13. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: \(ABCDEFGHI\), começando pelas três letras do grupo \(ABC\)?
    Auxílio: Começando pelas letras do grupo \(ABC\): \(P(3)=3!=6\)
    Resposta: \(N=P(3){\times}P(6)=6{\times}720=4320\)
14. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: \(ABCDEFGHI\), começando por uma vogal e terminando por uma consoante?
    Auxílio: 3 são as vogais e 6 são as consoantes.
    Resposta: \(N=P(3){\times}P(6)=6{\times}720=4320\)
15. Há 10 pessoas em um local, sendo 3 com camisas verdes, 3 com camisas amarelas, 2 com camisas azuis e 2 com camisas brancas. De quantos modos podemos perfilar todas essas 10 pessoas de modo que os grupos com as camisas de mesma cor fiquem juntos?
    Auxílio: Temos 4 grupos de camisas, logo \(P(4)\) posições para as equipes e os grupos podem permutar as suas posições, respectivamente, \(P(3)\), \(P(3)\), \(P(2)\) e \(P(2)\).
    Resposta: \(N=P(4){\times}P(3){\times}P(3){\times}P(2){\times}P(2)=3456\)

2 Dez Exercícios de permutações com repetição

1. Quantos anagramas existem com as letras da palavra: \(ARARA\)?
   Auxílio: A letra \(A\) aparece 3 vezes e a letra \(R\) aparece 2 vezes.
   Resposta: \(P_r(5;3+2)=\dfrac{5!}{3!2!}=10\)
2. Quantos anagramas existem com as letras da palavra: \(ULYSSES\)?
3. Quantos anagramas existem com as letras da palavra: \(ULYSSES\) iniciando por U?
4. Quantos anagramas existem com as letras da palavra: \(ULYSSES\) terminando por S?
5. Quantos anagramas existem com as letras da palavra: \(ULYSSES\) iniciando por \(U\) e terminando por \(S\)?
6. Quantos anagramas existem com as letras da palavra \(AMA\)?
   Auxílio: \(p_1=n(A)=2\), \(p_2=n(M)=1\), \(N=P_r(3;2+1)\), \(P_r(p;p_1+p_2)= \dfrac{(p_1+p_2)!}{p_1!p_2!}\)
   Resposta: \(N=\dfrac{3!}{2!1!}=3\)
7. Quantos anagramas existem com as letras da palavra \(AMAR\)?
   Auxílio: \(N=\dfrac{(p_1+p_2+p_3)!}{p_1!p_2!p_3!}, A=2, M=1, R=1\)
   Resposta: \(N=\dfrac{4!}{2!1!1!}=12\)
8. Quantos anagramas existem com as letras da palavra \(ARARUNA\)?
   Auxílio: \(N=\dfrac{(p_1+p_2+p_3+p_4)!}{p_1!p_2!p_3!p_4!}\), \(A=3\), \(R=2\), \(N=1\), \(U=1\)
   Resposta: \(N=\dfrac{7!}{3!2!1!1!}=420\)
9. O número \(\pi\) com 10 algarismos (sem colocar a vírgula) é indicado por \(3141592653\). Quantas são as permutações diferentes que podemos construir com estes 10 algarismos
   Auxílio: \(n(1)=n(3)=n(5)=2, n(2)=n(4)=n(6)=n(9)=1\)
   Resposta: \(P_r(10,2+1+2+1+2+1+1)=\dfrac{10!}{8}=453600\)
10. Quantos anagramas existem com as letras da palavra: \(MATEMATICA\)?
    Auxílio: A letra \(A\) aparece 3 vezes, a letra \(M\) aparece 2 vezes, a letra \(T\) aparece 2 vezes, a letras \(E\) aparece 1 vez , a letra \(I\) aparece 1 vez e a letra \(C\) aparece 1 vez.
    Resposta: \(P_r(10;3+2+2+1+1+1)=\dfrac{10!}{3!2!2!1!1!1!}=151200\)

3 Dois Exercícios de permutações circulares

1. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa circular?
   Auxílio: \(N=P(n-1)=(n-1)!, n=5\)
   Resposta: \(N=1(2)(3)(4)=24\)
2. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa retangular?
   Auxílio: \(N=P(n-1)=(n-1)!, n=5\)
   Resposta: \(N=1(2)(3)(4)=24\)

4 Trinta e três Exercícios de combinações simples

1. Um indivíduo possui 25 livros diferentes. De quantas formas distintas ele poderá empacotar tais livros em grupos de 6 livros?
2. Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas?
   Auxílio: \(C=C(m,p)=\dfrac{m!}{p!(m-p)!}; m=8,p=3\)
   Resposta: \(C=\dfrac{8!}{3!5!}=\dfrac{8(7)(6)}{1(2)(3)}=56\)
3. Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas?
   Auxílio: \(C=C(m,p)=\dfrac{m!}{p!(m-p)!}, m=1000, p=2\)
   Resposta: \(C=\dfrac{1000!}{2!998!}=\dfrac{1000{\times}999}{2}=499500\)
4. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto?
   Auxílio: \(C=C(m,p)=\dfrac{m!}{p!(m-p)!}, m=10, p=4\)
   Resposta: \(C=\dfrac{10!}{4!6!}=\dfrac{10(9)(8)(7)}{1(2)(3)(4)}=210\)
5. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre comecem pela letra \(A\)?
   Auxílio: \(C=C(m_1,p_1).C(m-m_1,p-p_1), m=10, p=4, m_1=1, p_1=1\)
   Resposta: \(C=C(1,1).C(9,3)=\dfrac{1(9)(8)(7)}{6}=84\)
6. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre estejam juntas as letras \(A\) e \(B\)?
   Auxílio: \(C=C(m_1,p_1).C(m-m_1,p-p_1), m=10, p=4, m_1=2, p_1=2\)
   Resposta: \(C=C(2,2).C(8,2)=\dfrac{1{\times}8{\times}7}{2}=28\)
7. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que não contenham nem as letras \(A\) e \(B\)?
   Auxílio: \(C=C(m_1,p_1).C(m-m_1,p-p_1), m=10, p=4, m_1=2, p_1=0\)
   Resposta: \(C=C(2,0).C(8,4)=\dfrac{1{\times}8{\times}7{\times}6{\times}5}{24}=70\)
8. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que somente uma das letras \(A\) ou \(B\) esteja presente, mas não as duas?
   Auxílio: \(C=C(m_1,p_1).C(m-m_1,p-p_1), m=10, p=4, m_1=2, p_1=1\)
   Resposta: \(C=C(2,1).C(8,3)=\dfrac{2{\times}8{\times}7{\times}6}{6}=112\)
9. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que contêm 2 dentre as 3 letras \(A\), \(B\) e \(C\)?
   Auxílio: \(C=C(m_1,p_1).C(m-m_1,p-p_1), m=10, p=4, m_1=3, p_1=2\)
   Resposta: \(C=C(3,2).C(7,2)=\dfrac{3{\times}7{\times}6}{2}=63\)
10. Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?
11. Calcular o valor de \(m\) tal que \(5 C(m+1,3)=2 C(m+2,2)\).
12. Quantos triângulos podem ser traçados contendo pontos de duas retas paralelas, sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos?
13. Quantos quadriláteros convexos podem ser traçados contendo pontos de duas retas paralelas, sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos?
14. Em uma classe com 16 pessoas, há 10 homens e 6 mulheres. Consideremos \(H\) um certo homem e \(M\) uma certa mulher. Quantos grupos podemos formar:
    1. com 4 homens e 2 mulheres?
    2. contendo \(H\) mas não \(M\)?
    3. contendo \(M\) mas não \(H\)?
    4. contendo \(H\) e \(M\)?
    5. contendo somente \(H\) ou somente \(M\)?
15. Quantos números diferentes maiores do que 100 e menores do que 1000 podem ser construídos com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6, sendo:
    1. que cada algarismo aparece somente uma vez?
    2. que cada algarismo pode repetir até 3 vezes?
    3. os números pares sem repetição?
    4. os números ímpares sem repetição?
    5. os números pares com repetição?
    6. os números ímpares com repetição?
16. Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, formamos comissões com 3 professores e 2 alunos. Quantas são as possibilidades?
    Resposta: \(N=C(6,3){\times}C(4,2)=20{\times}6=120\)
17. Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão somente 1 professor?
18. Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão somente 2 professores?
19. Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão no mínimo 2 professores?
20. Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão no mínimo 3 professores?
21. Num plano existem 4 pontos, sendo que 3 deles são não colineares. Qual é o número possível de retas que passam por esses pontos?
    Resposta: \(C(4,2)=6\)
22. Num plano colocamos n pontos, sendo que 3 deles são não colineares. Qual é o número possível de retas que passam por esses pontos?
    Resposta: \(C(n,2)=n(n-1)/2\)
23. Quatro pontos são postos num plano, sendo que 3 deles são não colineares. Qual é o número possível de triângulos construídos com esses pontos?
    Auxílio: \(C(3,2)=3\) triângulos para cada ponto.
24. Qual é o número de diagonais de um polígono regular de n lados?
    Resposta: \(N=C(n,2)-n=n(n-1)/2-n=n(n-3)/2\)
25. Qual é o número de diagonais de um cubo?
26. Qual é o número de diagonais de um prisma regular cuja base tem 5 lados?
27. Qual é o número de diagonais de um prisma regular cuja base tem 6 lados?
28. Qual é o número de diagonais de um prisma regular cuja base tem n lados?
29. Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, construir o conjunto que contém todas as combinações tomadas 2 a 2.
30. Com as letras: A,B,C,D,E,F,G e H, determinar o número das permutações possíveis que começam por ABC.
    Resposta: \(N=P(5)=120\).
31. Quantas digonais possui um dodecágono?
    Resposta: \(N=12{\times}9/2=54\)
32. Quantas digonais possui o tetraedro regular?
    Resposta: \(N=0\)
33. Quantas digonais possui um prisma triangular regular?
    Resposta: \(N=0\)

5 Dois Exercícios de combinações com repetição

1. Qual é o número de combinações com 4 elementos tomados com repetição de 7 livros.
   Auxílio: \(C_r=C_r(m,p)=C(m+p-1,p), m=7, p=4\)
   Resposta: \(C_r=C_r(7,4)=C(7+4-1,4)=C(10,4)=210\)
2. Determinar o número de combinações com repetição de 4 objetos tomados 2 a 2.
   Auxílio: \(C_r=C_r(m,p)=C(m+p-1,p), m=4, p=2\)
   Resposta: \(C_r=C_r(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=10\)

6 Doze Exercícios de arranjos simples

1. Quantos números diferentes com 1 algarismo, podemos formar com os algarismos: \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\).
   Resposta: \(N_1=A(9,1)=9\)
2. Quantos números distintos com 2 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\).
   Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 2 dígitos e sua quantidade corresponde a \(A(9,1)\).
   Resposta: \(N_2=A(10,2)-A(9,1)=10{\times}9-9=90-9=81\)
3. Quantos números distintos com 3 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\).
   Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade corresponde a \(A(9,2)\).
   Resposta: \(N_3=A(10,3)-A(9,2)=720-72=648\)
4. Quantos números distintos com 4 algarismos diferentes, podemos formar com: \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\).
   Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade corresponde a \(A(9,3)\).
   Resposta: \(N_4=A(10,4)-A(9,3)=5040-504=4536\)
5. Quantos números distintos menores que 10000 podem ser formados com algarismos diferentes da coleção: \(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\).
   Resposta: \(N=N_1+N_2+N_3+N_4=9+81+648+4536=5274\)
6. No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 4 algarismos com 2 algarismos repetidos?
   Auxílio: A quantidade de números distintos com 4 algarismos é 4536 e a quantidade total de números (com repetição ou não) com 4 algarismos é 9000.
   Resposta: \(N=9000-4536=4464\)
7. Com as 5 vogais: \(A\), \(E\), \(I\), \(O\), \(U\), obter o conjunto solução que contém todos os arranjos tomados 2 a 2.
8. Usando-se apenas os algarismos \(1,3,5,7,9\) quantos números com 3 algarismos podem ser montados?
   Auxílio: \(A=A(m,p)=\dfrac{m!}{(m-p)!}, m=5, p=3\)
   Resposta: \(A=\dfrac{5!}{2!}=60\)
9. Usando-se os algarismos \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\) quantos números com 4 algarismos podem ser montados?
   Auxílio: \(A=A(m,p)=\dfrac{m!}{(m-p)!}, m=10, p=4\)
   Resposta: \(A=\dfrac{10!}{6!}=5040\)
10. Usando-se as 26 letras do alfabeto: \(A\), \(B\), \(C\), \(D,...\), \(Z\) quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados?
    Auxílio: \(A=A(m,p)=\dfrac{m!}{(m-p)!}, m=26, p=3\)
    Resposta: \(A=\dfrac{26!}{23!}=26.25.24=15600\)
11. Com 26 letras do alfabeto: \(A\), \(B\), \(C\), \(D,...\), \(Z\) e os algarismos \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\) quantas placas de carros podem ser escritas contendo 3 letras seguidas de 4 algarismos?
    Auxílio: \(A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3, n=10, q=4\)
    Resposta: \(A=(26!/23!).(10!/6!)=78624000\)
12. Consideremos um baralho contendo 52 cartas distintas.
    1. Quantos pares distintos podem ser formados?
    2. Quantas trincas distintas podem ser formados?
    3. Quantas quadras distintas podem ser formados?
    4. Quantos pares distintos podem ser formados tendo pelo menos um Ás?
    5. Quantos pares distintas podem ser formados tendo pelo menos um Ás e um Rei?
    6. Quantas trincas distintas podem ser formados tendo pelo menos um Ás?
    7. Quantas trincas distintas podem ser formados tendo pelo menos um Ás e um Rei?

7 Dezessete Exercícios de arranjos com repetição

1. Quantos números com 4 algarismos podemos formar com os algarismos: \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\).
   Resposta: \(A_r(10,4)=10^4=10000\)
2. Quantas palavras com 3 letras podemos formar com as 26 letras de nosso alfabeto?
   Resposta: \(A_r(26,3)=26^3=17576\)
3. Quantas placas são possíveis em nosso sistema de trânsito, se em todas devem aparecer 3 letras seguidas por 4 números?
   Resposta: \(N=A_r(26,3) \cdot A_r(10,4)=175760000\)
4. No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 1 algarismo?
   Resposta: \(N_1=A_r(10,1)-A_r(10,0)=10-1=9\)
5. No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 2 algarismos (repetidos ou não)?
   Auxílio: São \(10=A_r(10,1)\) os números com 2 dígitos iniciados por 0.
   Resposta: \(N_2=A_r(10,2)-A_r(10,1)=10^2-10^1=100-10=90\)
6. No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 3 algarismos (repetidos ou não)?
   Auxílio: Existem \(100=A_r(10,2)\) números com 3 dígitos iniciados por 0.
   Resposta: \(N_3=A_r(10,3)- A_r(10,2)=10^3-10^2=900\)
7. No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 4 algarismos (repetidos ou não)?
   Auxílio: São \(100=A_r(10,3)\) os números com 4 dígitos iniciados por 0.
   Resposta: \(N_4=A_r(10,4)-A_r(10,3)=10^4-10^3=9000\)
8. No sistema decimal de numeração, quantos números existem com n algarismos (repetidos ou não)?
   Auxílio: São \(A_r(10,n-1)\) os números com \(n-1\) dígitos iniciados por 0.
   Resposta: \(N_4=A_r(10,n)-A_r(10,n-1)=10^n-10^{n-1}=9 \cdot 10^{n-1}\)
9. Num sistema de numeração com a base tendo b algarismos, quantos números existem com n algarismos (repetidos ou não)?
   Auxílio: São \(A_r(b,n-1)\) os números com \(n-1\) dígitos iniciados por 0.
   Resposta: \(N_4=A_r(b,n)-A_r(b,n-1)=b^n-b^{n-1}=(b-1)b^{n-1}\)
10. No sistema decimal de numeração, existem quantos números pares com 4 algarismos (repetidos ou não)?
11. No sistema decimal de numeração, existem quantos números ímpares com 4 algarismos (repetidos ou não)?
12. No sistema decimal de numeração, existem quantos números pares diferentes com 4 algarismos?
13. No sistema decimal de numeração, existem quantos números ímpares diferentes com 4 algarismos?
    Resposta: \(N=5.A(8,3)=1680\)
14. No sistema decimal de numeração, existem quantos números pares com 4 algarismos (repetidos ou não)?
15. No sistema decimal de numeração, existem quantos números pares com 4 algarismos (repetidos ou não)?
16. Quantos números menores do que 10.000, podem ser formados com os algarismos \(1,2,3,4\)?
    Auxílio: \(N=A_r(4,1)+A_r(4,2)+A_r(4,3)+A_r(4,4)\)
    Resposta: \(N=4^1+4^2+4^3+4^4= 4+16+64+256=340\)
17. Quantos números de 3 dígitos podem ser formados com 5 algarismos?
    Auxílio: Fórmula \(A_r(m,p)=m^p, m=5, p=3\)
    Resposta: \(A_r=5^3=125\)

8 Nove Exercícios de arranjos condicionais

1. Quantos arranjos dos elementos \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(G\) tomados 4 a 4, começam com duas letras dentre \(A\), \(B\) e \(C\)?
   Auxílio: \(N=A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1), m=7, p=4, m_1=3, p_1=2\)
   Resposta: \(N=A(3,2).A(4,2)=3!/1! \cdot 4!/2!=72\)
2. Com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, tomados 6 a 6, quantos números podem ser formados tendo nas duas posições iniciais algarismos que são números ímpares?
   Auxílio: \(N=A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1), m=10, p=6, m_1=5, p_1=2\)
   Resposta: \(N=A(5,2).A(5,4)=20{\times}120=2400\)
3. Dentre os arranjos de 5 letras: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), tomados 3 a 3, quantos contêm a letra \(E\)?
   Auxílio: \(N=(p-p_1+1).A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1)\), \(m=5\), \(p=3\), \(m_1=1\), \(p_1=1\)
   Resposta: \(N=(3-1+1).A(1,1).A(4,2)=36\)
4. Dentre os arranjos de 5 letras: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), tomados 3 a 3, quantos contêm juntas as duas letras \(A\) e \(B\)?
   Auxílio: \(N=(p-p_1+1).A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1)\), \(m=5\), \(p=3\), \(m_1=2\), \(p_1=2\)
   Resposta: \(N=(4-2+1).A(2,2).A(3,1)=18\)
5. Dos arranjos de 6 letras: \(A,B,C,D,E,F\), tomados 4 a 4, quantos contêm a letra \(A\)?
   Auxílio: \(N=(p-p_1+1).A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1)\), \(m=6\), \(p=4\), \(m_1=1\), \(p_1=1\)
   Resposta: \(N=(4-1+1).A(1,1).A(5,3)=240\)
6. Dentre os arranjos das letras: \(A,B,C,D,E,F\), tomados 4 a 4, quantos contêm juntas 2 das 3 letras \(A\), \(B\) e \(C\)?
   Auxílio: \(N=(p-p_1+1).A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1)\), \(m=6\), \(p=4\), \(m_1=3\), \(p_1=2\)
   Resposta: \(N=(4-2+1).A(3,2).A(3,2)=108\)
7. Dos arranjos das letras: \(A,B,C,D\), tomados 3 a 3, quantos contêm a letra \(A\)?
   Auxílio: \(N=(p-p_1+1).A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1)\), \(m=4\), \(p=3\), \(m_1=1\), \(p_1=1\)
   Resposta: \(N=(3-1+1).A(1,1).A(3,2)=18\)
8. Dentre os arranjos das letras: \(A,B,C,D\), tomados 3 a 3, quantos começam pelas letras \(A\) e \(B\)?
   Auxílio: \(N=A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1), m=4, p=3, m_1=2, p_1=2\)
   Resposta: \(N=A(2,2).A(2,1)=4\)
9. Dentre os arranjos de 4 letras: \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\), tomados 3 a 3, quantos contêm juntos as letras \(A\) e \(B\)?
   Auxílio: \(N=(p-p_1+1).A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1)\), \(m=4\), \(p=3\), \(m_1=2\), \(p_1=2\)
   Resposta: \(N=(3-2+1).A(2,2).A(2,1)=8\)

9 Dezesseis Exercícios com o fatorial

1. Se \(C(n,2)=28\), qual é o valor de \(n\)?
   Resposta: \(n=8\).
2. Existe um número \(n\) natural tal que \(C(n,3)=C(n,2)\)?
3. Usando o desenvolvimento binomial de \((1+1)^n\), demonstrar que:
   
   \(C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=2^n\)
4. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para demonstrar que:
   
   \((p+1)C(n,p+1)=(n-p)C(n,p)\)
5. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para mostrar que:
   
   \(n \cdot C(n-1,p)=(n-p) \cdot C(n,p)\)
6. Se \(A(n,2)=42\), qual é o valor de \(n\)?
   Resposta: \(n=7\).
7. Justificar a afirmação: Se \(n\) é um número primo e \(p<n\), então \(n\) é um divisor de \(C(n,p)\).
8. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para mostrar que:
   
   \(2{\cdot}4{\cdot}6{\cdot}8{\cdot}10·...2n=(2n)n!\)
9. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para mostrar que:
   
   
   \(1{\cdot}3{\cdot}5{\cdot}7{\cdot}9\cdots{\cdot}(2n-1)=\dfrac{(2n)!}{2^n n!}\)
10. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para mostrar que:
    
    \(2{\cdot}6{\cdot}10{\cdot}14{\cdot}18{\cdot}22\cdots{\cdot}(4n-2)=\dfrac{(2n)!}{n!}\)
11. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para demonstrar que para \(k\leq p\) vale a igualdade
    \(A(n,k)=\dfrac{A(n,p)}{A(n-k,p-k)}\)
12. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para demonstrar que para \(k \leq n\), vale a igualdade: \(Pr(n;k+(n-k))=C(n,k)\).
13. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para mostrar que:
    
    \(1(1!)+2(2!)+3(3!)+...+n(n!)=(n+1)!-1\)
14. Demonstrar que para todo número \(k\) natural: \(\dfrac{1}{k!} - \dfrac{1}{(k+1)!} =\dfrac{k}{(k+1)!}\).
15. Demonstrar que:
    
    \(\dfrac{1/2!+2/3!+3/4!+...+n}{(n+1)!}=\dfrac{1}{(n+1)!}\)
    
    Auxílio: Como esta é uma série telescópica, em que cada termo pode ser escrito como a diferença de dois outros que se anulam em sequência, basta usar o fato que para todo \(k\leq n\), vale a relação: \(\dfrac{k}{(k+1)!}=\dfrac{1}{k!} - \dfrac{1}{(k+1)!}\).
16. Demonstrar que:
    
    \(A(n,p) = p[A(n-1,p-1)+A(n-2,p-1)+...+A(p-1,p-1)]\)

10 Três Exercícios com a regra do produto

1. Numa festa, 3 meninos devem ser apresentados a 5 meninas. De quantos modos possíveis eles podem ser apresentados?
   Auxílio: \(N=p{\times}q, p=3, q=5\)
   Resposta: \(N=3{\times}5=15\)
2. Existem quatro estradas ligando duas cidades \(A\) e \(B\), e três estradas ligando as cidades \(B\) e \(C\). De quantos modos diferentes uma pessoa pode se deslocar da cidade \(A\) até a cidade \(C\)?
   Auxílio: \(N=p{\times}q, p=4, q=3\)
   Resposta: \(N=4{\times}3=12\)
3. Uma sala possui 3 portas. Quantas possibilidades existem para que uma pessoa possa entrar e sair desta sala?
   Auxílio: \(N=p{\times}q, p=3, q=3\)
   Resposta: \(N=3{\times}3=9\)