Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

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1 Definição de vetor

Um vetor (geométrico) no plano \(R^2\) é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo (intensidade).

1. A direção é a da reta que contém o segmento.
2. O sentido é dado pelo sentido do movimento.
3. O módulo é o comprimento do segmento.

Uma quarta característica de um vetor é formada por dois pares ordenados: o ponto onde ele começa (origem do vetor) e um outro ponto onde ele termina (extremidade do vetor) e as coordenadas do vetor são obtidas pela diferença entre as coordenadas da extremidade e as coordenadas da origem.

Nota: Existe uma definição, não necessariamente geométrica, muito mais ampla do conceito de vetor envolvendo muitos objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais, etc.

Exemplo: Se um vetor \(v\) tem origem no ponto \((1,2)\) e extremidade no ponto \((7,12)\), ele é dado por \(v=(6,10)\), pois:

Esta classe de objetos é representada por um segmento de reta (representante) desta família que tem as mesmas características.

O representante escolhido, quase sempre é o vetor que tem origem em \((0,0)\) e a extremidade em um par ordenado \((a,b)\) no plano cartesiano e que será denotado por

2 Soma de vetores e suas propriedades

Se \(v=(a,b)\) e \(w=(c,d)\), definimos a soma dos vetores \(v\) e \(w\), por:

Propriedades da soma de vetores

1. Fecho: Para quaisquer vetores \(u,v \in R^2\), a soma \(u+v\) está em \(R^2\).
2. Comutativa: Para quaisquer vetores \(u,v \in R^2\), segue que \(v+w = w+v\).
3. Associativa: Para quaisquer vetores \(u,v,w \in R^2\): \(u+(v+w)=(u+v)+w\).
4. Elemento neutro: Existe um vetor \(\theta=(0,0)\) em \(R^2\) tal que para todo vetor \(u\) de R^2, se tem: \(\theta + u = u\).
5. Elemento oposto: Para cada vetor \(v\in R^2\), existe um vetor \(-v\in R^2\) tal que: \(v+(-v)=\theta\).

3 Aplicações geométricas

Ponto médio de um segmento: Dado um segmento de reta, cujas extremidades são também as extremidades dos vetores \(v_1=(x_1,y_1)\) e \(v_2=(x_2,y_2)\), o ponto médio deste segmento é dado por \(m=(x,y)\) onde

Centro de gravidade de um triângulo: Tomemos os vértices de um triângulo como as extremidades dos vetores \(v_1=(x_1,y_1)\), \(v_2=(x_2,y_2)\) e \(v_3=(x_3,y_3)\).

O centro de gravidade deste triângulo é dado pelo vetor \(g=(x,y)\) onde

4 Diferença de vetores

Se \(v=(a,b)\) e \(w=(c,d)\), definimos a diferença entre os vetores \(v\) e \(w\), por:

5 Produto de escalar por vetor e suas propriedades

Se \(v=(a,b)\) é um vetor e \(k\) é um número real, definimos o produto de \(k\) por \(v\), por:

Propriedades do produto de escalar por vetor

Quaisquer que sejam os escalares \(a\) e \(b\) e os vetores \(v\) e \(w\), temos que:

1. \(1v = v\)
2. \((ab)v = a(bv) = b(av)\)
3. Se \(av=bv\) e \(v\neq \theta\), então \(a=b\).
4. \(a(v+w) = av+aw\)
5. \((a+b)v = av + bv\)

Exercício: Dados os vetores \(v=(3,4)\) e \(w=(8,12)\), construir geometricamente no plano cartesiano os vetores: \(v\), \(w\), \(-v\), \(-w\), \(v+w\) e \(v-w\).

6 Módulo de um vetor e suas propriedades

O módulo ou comprimento do vetor \(v=(a,b)\) é um número real não negativo, definido por:

Vetor unitário é um vetor que tem o módulo igual a 1.

Exercício: Mostrar que para todo \(t\) real, o vetor \(v=(\cos(t),\sin(t))\) é unitário.

Notas:

1. Existem dois vetores unitários \(i=(1,0)\) e \(j=(0,1)\), que formam a base canônica para o espaço \(R^2\).
2. Para obter o versor de \(v\), que é um vetor unitário \(\hat{v}\) que tem a mesma direção e mesmo sentido que o vetor \(v\), basta dividir \(v\) pelo seu módulo, isto é: \(\hat{v} =\dfrac{v}{|v|}\).
3. Para obter um vetor \(w\) paralelo a um vetor \(v\), basta tomar \(w=kv\) onde \(k\) é um escalar. Nesse caso, \(w\) e \(v\) são paralelos.
4. Se \(k=0\) então \(w=kv\) será o vetor nulo.
5. Se \(0<k<1\) então \(|w|<|v|\).
6. Se \(k>1\) então \(|w|>|v|\).
7. Se \(k<0\) então \(w=kv\) tem sentido oposto ao de \(v\).
8. Todo vetor \(v=(a,b)\in R^2\) possui uma projeção horizontal (sobre o eixo \(OX\)) que é o vetor \(v_x=(a,0)\) e uma projeção vertical \(v_y=(0,b)\) (sobre o eixo \(OY\)) e o vetor \(v\) pode ser escrito como a soma destas projeções: \(v = v_x + v_ y = (a,0) + (0,b)\).

Exercício: Qual é a projeção vertical do vetor \(v=(3,4)\)? Qual é o módulo deste vetor? Esboce um gráfico desta situação no plano R^2.

7 Produto escalar

Dados os vetores \(v=(a,b)\) e \(w=(c,d)\), definimos o produto escalar ou produto interno entre os vetores \(v\) e \(w\), como o número real obtido por:

Exemplos: O produto escalar entre \(v=(2,5)\) e \(w=(-7,12)\) é dado por:

O produto escalar entre \(v=(2,5)\) e \(w=(-5,2)\) é:

Exercício: Faça um gráfico em \(R^2\), com muito cuidado nas medidas e mostre as posições dos vetores \(v\) e \(w\) do último exemplo.

Propriedades do produto escalar: Quaisquer que sejam os vetores, \(u\), \(v\) e \(w\) e o escalar \(k\):

1. \(v \cdot w = w \cdot v\)
2. \(v \cdot v = |v| |v| = |v|^2\)
3. \(u \cdot (v+w) = u \cdot v + u \cdot w\)
4. \((kv) \cdot w = v \cdot (kw) = k(v \cdot w)\)
5. \(|kv| = |k||v|\)
6. \(|u \cdot v| \leq |u||v|\) (desigualdade de Schwarz)
7. \(|u+v| \leq |u|+|v|\) (desigualdade triangular)

8 Ângulo entre dois vetores

Outro modo de escrever o produto escalar entre os vetores \(v\) e \(w\) é

onde \(q\) é o ângulo formado pelos vetores \(v\) e \(w\).

Com este modo podemos obter o ângulo \(q\) entre dois vetores quaisquer \(v\) e \(w\), pois:

se nenhum dos vetores é nulo. Aqui, \(0\leq q\leq\pi=3,1416\cdots\).

Exercício: Faça uma análise quando \(q=0\), \(q=\pi/2\) e \(q=\pi\). Determine o ângulo entre os vetores \(v=(1,0)\) e \(w=(1,1)\). Nunca se esqueça de construir gráficos com esses objetos vetoriais.

9 Vetores ortogonais

Dois vetores \(v\) e \(w\) são ortogonais se:

Exercício: Dado o vetor \(v=(3,7)\), obtenha pelo menos dois vetores do plano que sejam ortogonais a \(v\). Construa geometricamente estes vetores.

10 Vetores paralelos

Dois vetores \(v\) e \(w\) são paralelos se existe uma constante real \(k\neq 0\), tal que:

Exercício: Obter pelo menos dois vetores do plano que sejam paralelos ao vetor \(v=(3,7)\). Construa geometricamente estes vetores.