Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Construção auxiliar

Consideremos a figura:

onde foram construídos quatro segmentos:

1. \(CH\) formando um ângulo de \(20\) graus com \(CF\);
2. \(CG\) formando um ângulo de \(20\) graus com \(CH\);
3. Após construir (1) e (2), obtemos \(BH\) e \(BG\).

Objetivo

Demonstrar que o triângulo \(HBD\) é isósceles, com o ângulo \(H\) medindo \(40\) graus, os ângulos \(B\) e \(D\) medindo \(x+40\) graus, onde \(x\) é a medida do ângulo \(BDC\). A partir destas informações segue que \(H+B+D=180\), logo

garantindo que \(x=30\) graus.

Demonstração

1. O triângulo \(CFH\) é isósceles, implicando que \(m(CF)=m(CH)\), onde \(m(CF)\) é a medida do segmento \(CF\).
2. O triângulo \(CFB\) é isósceles, logo \(m(CF)=m(CB)\).
3. Em função de (1) e (2), segue que \(m(CH)=m(CB)\) e isto implica que o triângulo \(CHB\) é isósceles.
4. Como o triângulo \(CHB\) é isósceles, segue que os ângulos \(B\) e \(H\) medem \(60^0\), logo \(C\) também mede \(60^0\), logo o triângulo \(CHB\) é equilátero.
5. Como o ângulo \(FHC\) mede \(80^0\) e o ângulo \(BHC\) mede \(60^0\), o ângulo \(BHG\) mede \(40^0\).
6. No triângulo \(HCD\), o ângulo \(C\) mede \(40^0\) e o ângulo \(D\) mede \(40^0\), logo o triângulo \(HCD\) é isósceles e concluímos que \(m(HD)=m(HC)\).
7. Por (3), segue que \(m(CH)=m(BH)\) e por (5) \(m(HD)=m(HC)\), assim \(m(BH)=m(HD)\), garantindo que o triângulo \(HBD\) é isósceles!

Detalhes

A demonstração foi fortemente baseada na solução encaminhada por Carlos Sérgio Carvalho. É interessante notar que a chave para a solução do problema foi a construção dos segmentos \(CH\) e \(CG\).