Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Problema: Dado o triângulo isósceles com base horizontal \(CF\), de modo que o ângulo oposto ao segmento \(CF\) tenha \(A=20^0\). A partir de \(C\) trace um segmento de reta que forma um ângulo de \(60^0\) com o segmento \(CF\) até encontrar o lado oposto ao ângulo \(C\) no ponto \(D\). A partir de \(F\) trace um outro segmento de reta que forma um ângulo de \(50^0\) com o segmento \(CF\) até tocar o lado oposto ao ângulo \(F\) no ponto \(B\). Ligue os pontos \(B\) e \(D\). Qual é a medida do ângulo \(y\) correspondente ao ângulo \(ABD\)?

Nota: Detalhes desta construção podem ser vistas no desenho seguinte:

Vamos usar a notação mais simples \(\sin(WZ)\) para o seno de \(WZ\) graus.

Procedimento:

1. Tome \(p=m(AC)\) e \(b=m(CF)\), onde \(m(XY)\) é a medida do segmento \(XY\).

2. Usando a Lei dos senos sobre o triângulo \(ACD\), obtemos:

   \[\frac{AD}{\sin(20)}=\frac{AC}{\sin(140)}=\frac{P}{\sin(140)}\]

   Como \(\sin(140)=\sin(40)=2\sin(20)\cos(20)\), então:

   \[CE=\frac{b \sin(50)}{\sin(70)}\]

3. O segmento \(AD\) pode ser escrito em função de \(p\) como:

   \[AD = \frac{p}{2\cos(20)} = \frac{p}{2\sin(70)}\]

4. Usando a Lei dos senos sobre o triângulo \(ABF\), obtemos:

   \[\frac{AB}{\sin(30)} = \frac{p}{\sin(130)}\]

5. Como \(\sin(130)=\sin(50)\) e \(\sin(30)=1/2\), o segmento \(AB\) pode ser escrito em função de \(p\) como:

   \[AB=\frac{p}{2 \sin(50)}\]

6. Usando a Lei dos senos sobre o triângulo \(BCE\), obtemos:

   \[\frac{CE}{\sin(50)} = \frac{BC}{\sin(110)}\]

7. Como os ângulos \(CBF\) e \(CFB\) têm medidas iguais a \(50^0\), o triângulo \(BCF\) é isósceles, assim \(m(BC)=b\).

8. Como \(\sin(110)=\sin(70)\), segue que:

   \[\frac{CE}{\sin(50)} = \frac{b}{\sin(70)}\]

9. Assim, podemos escrever a medida do segmento \(CE\) em função de \(b\) como:

   \[CE = \frac{b \sin(50)}{\sin(70)}\]

10. Observamos que:

    \[AD=\frac{p}{2 \sin(70)}\quad\text{e}\quad AB=\frac{p}{2 \sin(50)}\]

11. Com a divisão de \(AD\) por \(AB\) obtemos o mesmo valor numérico que a divisão de \(CE\) por \(b\), o que significa que:

12. A última proporção garante que os segmentos \(AD\) e \(AB\) são proporcionais aos segmentos \(CE\) e \(BC\), pois formam o ângulo de \(BAD\) de \(20^0\) no triângulo \(BAD\) e o ângulo \(BCE\) de \(20^0\) no triângulo \(BCE\), garantindo que os triângulos \(ABD\) e \(CBE\) são semelhantes. Como \(m(CBE)=50\) e \(m(ABD)=y\) e como os ângulos \(CBE\) e \(ABD\) são congruentes, segue que \(y=50\) graus. Logo, o ângulo \(ADB\) mede \(110\) graus e o ângulo \(BDC\) mede \(30^0\), o que garante que o ângulo \(BDF\) mede \(70^0\).

13. O resto é fácil!

Nota: Talvez existam outras soluções mais simples para este problema, mas esta é muito bonita. Caso conheça outra forma solução do problema, você pode enviar-me que eu publicarei, dando o crédito ao resolvedor.