Problema: Construir um triângulo equilátero \(ABC\) no plano cartesiano sabendo-se que existe um ponto \(P\) que está distante \(7\) unidades de \(A\), \(6\) unidades de \(B\) e \(8\) unidades de \(C\) e ao final obter a sua área.
Solução: Embora a solução esteja apresentada em uma sequência, sugiro que o visitante interessado neste problema, tente resolvê-lo sem ver os procedimentos apresentados aqui pois, este é um problema simples na sua proposição mas envolve muita matemática para a sua resolução.
Vamos supor que exista um triângulo equilátero com lado de comprimento igual a \(u\) unidades.
Podemos construir este triângulo com os vértices nos pontos \(A=(0,0)\), \(B=(u,0)\) e \(C=(u/2,u\sqrt{3}/2)\) do plano cartesiano.
Pela informação do problema, existe um ponto \(P=(v,w)\) localizado a distâncias \(7\), \(6\) e \(8\) unidades, respectivamente dos vértices \(A\), \(B\) e \(C\) do triângulo.
Em função da fórmula da distância entre dois pontos no plano, podemos escrever:
Subtraindo membro a membro as equações Eq1 e Eq2, obtemos \(v\) em função de \(u\):
Substituindo este valor \(v\) na Eq2, obtemos duas respostas para \(w\):
Substituindo agora \(v\) e \(w\) na Eq3, obtemos uma equação biquadrada em \(u\):
Tomando \(u^2=x\), obtemos uma equação do segundo grau:
e voltando às variáveis originais \(u\), obtemos quatro respostas:
Em princípio, eu esperava obter apenas uma solução com \(u\) positivo, mas para cada \(u\), obtemos valores correspondentes para \(v\) e para \(w\), assim temos quatro respostas:
Com um pouco de cuidado e muito cálculo, observamos que \([u_1,v_1,w_1]\) e \([u_4,v_4,w_4]\) satisfazem ao problema, mas \([u_2,v_2,w_2]\) e \([u_3,v_3,w_3]\) não satisfazem (são as soluções estranhas ao problema).
Podemos agora construir os dois primeiros triângulos para esta situação, mas usaremos apenas 3 dígitos corretos após a vírgula, para facilitar as coisas:
Triângulo 1: (primeiro quadrante)
Triângulo 2: (segundo quadrante)
Usando um pouco a imaginação, observamos que existem também dois outros triângulos simétricos em relação ao eixo horizontal com as mesmas propriedades. A única diferença é que as coordenadas de \(w\) devem mudar de sinal.
Triângulo 3: (Terceiro quadrante)
Triângulo 4: (quarto quadrante)
Em qualquer das 4 situações, a área do triângulo é dada pela fórmula \(A=\frac12 ab\sin(U)\), onde \(U\) é o ângulo formado pelos lados de medidas \(a\) e \(b\).
Assim, a área do triângulo de área maior é
e a área do triângulo de área menor é
Passatempo: Para que você aprenda um pouco mais de Geometria, observe o desenho abaixo e calcule o valor de \(h\), apenas com as informações contidas no desenho.
O dobro da medida \(h\) corresponde à média harmônica entre os números \(8\) e \(10\), assim, você tem uma representação geométrica para a média harmônica entre dois segmentos de reta!