Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Geometria
Um triângulo equilátero
Ulysses Sodré

Problema: Construir um triângulo equilátero \(ABC\) no plano cartesiano sabendo-se que existe um ponto \(P\) que está distante \(7\) unidades de \(A\), \(6\) unidades de \(B\) e \(8\) unidades de \(C\) e ao final obter a sua área.

Solução: Embora a solução esteja apresentada em uma sequência, sugiro que o visitante interessado neste problema, tente resolvê-lo sem ver os procedimentos apresentados aqui pois, este é um problema simples na sua proposição mas envolve muita matemática para a sua resolução.

Vamos supor que exista um triângulo equilátero com lado de comprimento igual a \(u\) unidades.

Podemos construir este triângulo com os vértices nos pontos \(A=(0,0)\), \(B=(u,0)\) e \(C=(u/2,u\sqrt{3}/2)\) do plano cartesiano.

Pela informação do problema, existe um ponto \(P=(v,w)\) localizado a distâncias \(7\), \(6\) e \(8\) unidades, respectivamente dos vértices \(A\), \(B\) e \(C\) do triângulo.

Em função da fórmula da distância entre dois pontos no plano, podemos escrever:

\[\begin{align} v^2 + w^2 &= 49 \tag{Eq1} \\ (v-u)^2 + w^2 &= 36 \tag{Eq2} \\ (v-\frac{u}2)^2 + (w-\frac{u}2\sqrt{3})^2 &= 64 \tag{Eq3} \end{align}\]

Subtraindo membro a membro as equações Eq1 e Eq2, obtemos \(v\) em função de \(u\):

\[v = \frac12(u+\frac{13}{u})\]

Substituindo este valor \(v\) na Eq2, obtemos duas respostas para \(w\):

\[\begin{align} w_1 &= +\frac12 \sqrt{170-\frac{169}{u^2}-u^2} \\ w_2 &= -\frac12 \sqrt{170-\frac{169}{u^2}-u^2} \end{align}\]

Substituindo agora \(v\) e \(w\) na Eq3, obtemos uma equação biquadrada em \(u\):

\[u^4 -149 u^2 + 589 = 0\]

Tomando \(u^2=x\), obtemos uma equação do segundo grau:

\[x^2 -149 x + 589 = 0\]

e voltando às variáveis originais \(u\), obtemos quatro respostas:

\[\begin{align} u_1 &= +12.0389427 \\ u_2 &= -12.0389427 \\ u_3 &= +2.01590146 \\ u_4 &= -2.01590146 \end{align}\]

Em princípio, eu esperava obter apenas uma solução com \(u\) positivo, mas para cada \(u\), obtemos valores correspondentes para \(v\) e para \(w\), assim temos quatro respostas:

\[\begin{array}{rrrr} [u_1,v_1,w_1]=& [\;12.03894270, & 6.559385873, & 2.444270233 ] \\ [u_2,v_2,w_2]=& [\;12.03894270, & -6.559385873, & 2.444270230 ] \\ [u_3,v_3,w_3]=& [+2.01590146, & 4.232314683, & 5.575617670 ] \\ [u_4,v_4,w_4]=& [-2.01590146, & -4.232314683, & 5.575617670 ] \end{array}\]

Com um pouco de cuidado e muito cálculo, observamos que \([u_1,v_1,w_1]\) e \([u_4,v_4,w_4]\) satisfazem ao problema, mas \([u_2,v_2,w_2]\) e \([u_3,v_3,w_3]\) não satisfazem (são as soluções estranhas ao problema).

Podemos agora construir os dois primeiros triângulos para esta situação, mas usaremos apenas 3 dígitos corretos após a vírgula, para facilitar as coisas:

  1. Triângulo 1: (primeiro quadrante)

    \[A=(0,0), B=(12.039,0), C=(6.020,18.058), P=(6.559,2.444)\]
  2. Triângulo 2: (segundo quadrante)

    \[A=(0,0), B=(-2.016,0), C=(-1.008,1.749), P=(-4.232,5.576)\]

    Usando um pouco a imaginação, observamos que existem também dois outros triângulos simétricos em relação ao eixo horizontal com as mesmas propriedades. A única diferença é que as coordenadas de \(w\) devem mudar de sinal.

  3. Triângulo 3: (Terceiro quadrante)

    \[A=(0,0), B=(-2.016,0), C=(-1.008,-1.746), P=(-4.232,-5.576)\]
  4. Triângulo 4: (quarto quadrante)

    \[A=(0,0), B=(12.039,0), C=(6.020,-18.058), P=(6.559,-2.444)\]

Em qualquer das 4 situações, a área do triângulo é dada pela fórmula \(A=\frac12 ab\sin(U)\), onde \(U\) é o ângulo formado pelos lados de medidas \(a\) e \(b\).

Assim, a área do triângulo de área maior é

\[A(maior) = 62.75919017\]

e a área do triângulo de área menor é

\[A(menor) = 1,759702435\]

Passatempo: Para que você aprenda um pouco mais de Geometria, observe o desenho abaixo e calcule o valor de \(h\), apenas com as informações contidas no desenho.

O dobro da medida \(h\) corresponde à média harmônica entre os números \(8\) e \(10\), assim, você tem uma representação geométrica para a média harmônica entre dois segmentos de reta!