Material desta página
Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto \(V\) localizado fora desse plano. Uma pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em \(P\) e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto \(V\) recebe o nome de vértice da pirâmide.
Exemplo: As pirâmides do Egito, também eram utilizadas para sepultar faraós, bem como as pirâmides no México e nos Andes, que serviam para finalidades de adoração aos seus deuses. As formas piramidais eram usadas por tribos indígenas e mais recentemente por escoteiros para construir barracas.
Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:
| Pirâmide triangular | Pirâmide quadrangular | Pirâmide pentagonal | Pirâmide hexagonal |
|---|---|---|---|
 |
 |
 |
 |
| base: triângulo | base: quadrado | base: pentágono | base: hexágono |
Pirâmide regular reta é aquela que tem uma base poligonal regular e a projeção ortogonal do vértice V sobre o plano da base coincide com o centro da base.
Às vezes podemos construir fórmulas para obter as áreas das superfícies que envolvem um determinado sólido. Tal processo é conhecido como a planificação desse sólido. Isto pode ser realizado se tomarmos o sólido de forma que a sua superfície externa seja feita de papelão ou algum outro material.
No caso da pirâmide, a ideia é tomar uma tesoura e cortar (o papelão d)a pirâmide exatamente sobre as arestas, depois reunimos as regiões obtidas num plano que pode ser o plano de uma mesa.
As regiões planas obtidas são congruentes às faces laterais e também à base da pirâmide.
Considerando uma pirâmide regular cuja base tem \(n\) lados e indicando por \(A(face)\) a área de uma face lateral da pirâmide, então a soma das áreas das faces laterais recebe o nome de área lateral da pirâmide e pode ser obtida por:
Exemplo: Seja a pirâmide quadrangular regular que está planificada na figura anterior, cuja aresta da base mede \(6\operatorname{cm}\) e o apótema mede \(4\operatorname{cm}\).
Como \(A(lat)=n\;A(face)\) e como a pirâmide é quadrangular temos \(n=4\) triângulos isósceles, a área da face lateral é igual à área de um dos triângulos, assim:
Exemplo: A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede \(8\operatorname{cm}\) e a altura \(10\operatorname{cm}\). Calcular a área lateral.
Tomamos a aresta com \(a=8\operatorname{cm}\) e a altura com \(h=10\operatorname{cm}.\) Primeiro vamos calcular a medida do apótema da face lateral da pirâmide hexagonal. Calcularemos o raio \(r\) da base.
Como a base é um hexágono regular temos que \(r=\frac12 a\sqrt{3}\), assim \(r=4\sqrt{3}\) e pela relação de Pitágoras, segue que o apótema é obtida com \((ap)^2=r^2+h^2\), logo:
assim
A área da face e a área lateral, são dadas por:
A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:
Exemplo: As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular formam ângulos de \(60\operatorname{^0}\) com a base e têm as arestas da base medindo \(18\operatorname{cm}\). Qual é a área total?
Já vimos que \(A(lat)=n\;A(face)\) e como \(\cos(60^\circ)=\frac12 lado/a\), então \(1/2=9/a\) donde segue que \(a=18\), assim:
Como \(A(lat) = 4{\times}162 = 648\) e \(A(base) = 18^2 = 324\) concluímos que:
Exemplo: Um grupo de escoteiros quer obter a área total de suas barracas, as quais têm forma piramidal quadrangular.
Para isso, eles usam medidas escoteiras. Cada dois passos de um escoteiro mede \(1\m\). A barraca tem \(4\) passos escoteiros de lado da base e \(2\) passos de apótema. Calcular a área da base, área lateral e a área total.
Logo, a área total da barraca é
O volume \(V(pir)\) de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:
Exemplo: Fulana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Fulana quer saber o volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de \(4\operatorname{cm}\) e a medida da aresta lateral de \(6\operatorname{cm}\).
Como \(V(pir)=\frac13 A(base) h\), devemos calcular a área da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado \(a=4\operatorname{cm}\), logo \(A(base) = a^2 = 4^2\operatorname{cm}^2 = 16\operatorname{cm}^2\).
A altura \(h\) da pirâmide pode ser obtida como a medida de um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pela altura \(L=6\operatorname{cm}\) da aresta lateral e o outro cateto \(Q=2\sqrt{2}\) que é a metade da medida da diagonal do quadrado. Dessa forma \(h^2=L^2-Q^2\), se onde segue que \(h^2=36-8=28\) e assim temos que \(h=2\sqrt{7}\) e o volume é \(V=\frac13 16{\times}2\sqrt{7}=\frac{32}{3} \sqrt{7}\).
Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma. A seção transversal tem a mesma forma que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. A razão entre uma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é dita razão de semelhança.
Notas sobre seções transversais:
Assim:
e
Então:
Exemplo: Uma pirâmide tem a altura medindo \(9\operatorname{cm}\) e volume igual a \(108cm^3\). Qual é o volume do tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirâmide é \(3\operatorname{cm}\)?
Como
então