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O que é o espaço? Reconhecemos e usamos o espaço, mas se alguém perguntar o que é o espaço, muitos irão ter dificuldades em explicar. Na verdade, é mais fácil explicar o que se pode fazer com este ente primitivo que não tem definição para nós.
Na casa de meu Pai há muitas moradas; se não fosse assim, eu vo-lo teria dito; vou preparar-vos lugar.
(João 14:2, A Bíblia Sagrada)
Uma primeira tentativa para explicar o que é espaço, é dizer que é tudo o que nos envolve e é o local onde podemos nos mover para a frente, para os lados e para cima e para baixo.
Pelo conceito expresso, observamos que vivemos em um ambiente tridimensional. Basta então conhecer as três direções para identificar a posição relativa que ocupamos.
Quando afirmamos que vamos andar para a frente, para o lado, para cima e para baixo, devemos quantificar e identificar o quanto vamos nos deslocar nestas direções, logo necessitamos conhecer uma origem para o sistema e identificar este ponto como \((0,0,0)\) pois esperamos que ele esteja localizado a uma distância num ponto de referência para todos os outros pontos.
Um procedimento matemático simples é tomar um ponto genérico como:
onde \(x\) indica a quantidade deslocada na direção positiva do eixo que contem os deslocamentos para frente, \(y\) indica a quantidade deslocada na direção positiva do eixo que contem os deslocamentos para o lado e \(z\) indica a quantidade deslocada na direção positiva do eixo que contem os deslocamentos para cima.
Para facilitar as coisas do ponto de vista matemático, vamos denominar tais direções por: Eixo \(OX\), Eixo \(OY\) e Eixo \(OZ\).
O sistema tridimensional é o conjunto de todos os ternos ordenados \((x,y,z)\), sendo que a ordem não pode ser mudada sob pena de nos deslocarmos para outro lugar. A palavra cartesiano se deve a René Descartes, conhecido como cartesius. \(x\) recebe o nome de abscissa, \(y\) o nome de afastamento e \(z\) o nome de cota.
Exemplo: Se um indivíduo está no centro da cidade em uma posição \(O=(0,0,0)\) e quer andar para a frente \(3\) quadras, depois andar para o lado \(5\) quadras e depois subir até o \(10\)o. andar de um prédio a posição final do mesmo após o percurso será o ponto \(P=(3,5,10)\) e podemos observar que as unidades não são necessariamente as mesmas. Se este mesmo indivíduo se deslocasse para a posição final \(P=(3,10,5)\), certamente chegaria a um lugar diferente.
Existem outras formas de localização no espaço tridimensional como é o caso do sistema de coordenadas cilíndricas e sistema de coordenadas esféricas, dentre outros. Particularmente importantes são os sistemas de coordenadas no plano. O sistema cartesiano plano é um caso particular do sistema cartesiano espacial tridimensional, mas existe um outro sistema muito importante que é o sistema de coordenadas polares.
Vamos considerar agora um mundo plano onde os pontos são indicados por \(P=(x,y)\). No sistema bidimensional a medida \(x\) recebe o nome de abscissa e a medida \(y\) recebe o nome de ordenada.
Existe um sistema que considera uma linha básica horizontal de referência, por exemplo, o Eixo \(OX\) indicado positivamente e outra forma de indicar um ponto P=(x,y).
Consideremos que a distância da origem \(O=(0,0)\) ao ponto \(P=(x,y)\) seja indicada pela letra \(r\) e que o ângulo formado entre o segmento \(OP\) e o Eixo \(OX\) indicado positivamente seja indicado por \(t\). Neste caso o ângulo deve ser um parâmetro tal que \(0 \leq t<2\pi\).
Assim, um ponto será indicado por \(P=(r,t)\), onde:
Exemplo: Para um indivíduo pontual se deslocar da origem \(O=(0,0)\) ao ponto \(P=(3,4)\), ele deve se deslocar \(5\) unidades na direção da reta que forma um ângulo de \(t=36.87\) graus com o Eixo \(OX\). Assim, o ponto será descrito como \(P=(3,4)\) ou em coordenadas polares como:
A tangente de \(36.87\) graus é igual a \(0.75 = 3/4\).
Este sistema considera duas linhas básicas que passam pela origem \(O=(0,0,0)\), uma linha de referência no plano do chão como o Eixo \(OX\) indicado positivamente, uma outra linha de referência como o Eixo \(OZ\) e o ângulo indicado por \(t\), formado pela projeção no plano do chão do segmento \(OP\) e o Eixo \(OX\) indicado positivamente. O ângulo deve ser um parâmetro tal que \(0 \leq t<2\pi\). Assim, um ponto \(P=(x,y,z)\) é indicado por
Este sistema é uma mera ampliação das coordenadas polares, mantendo a mesma coordenada \(z\), conhecida como a cota \(z\).
A ideia básica para indicar um ponto neste sistema é construir um cilindro circular reto com o centro na origem \(O=(0,0,0)\) e que passe exatamente pelo ponto \(P=(x,y,z)\).
A projeção deste ponto no plano do chão que é indicada pelo plano \(z=0\) é o ponto \(P_0=(x,y,0)\) e determinamos as coordenadas polares do par ordenado \((x,y)\) considerado como um ponto de um plano e não do espaço.
Exemplo: Para um indivíduo se deslocar da origem \(O=(0,0,0)\) ao ponto \(P=(3,4,10)\), ele deve se deslocar \(5\) unidades na direção da reta que forma um ângulo de \(t=36.87\) graus com o Eixo \(OX\) e subir \(10\) unidades, logo o ponto será descrito como \(P=(3,4,10)\) ou em coordenadas cilíndricas como:
Este sistema considera o plano do chão (\(z=0\)) que passa pela origem \(O=(0,0,0)\) contendo o Eixo \(OX\) orientado positivamente e o Eixo \(OZ\) orientado positivamente, que é uma linha reta perpendicular ao plano do chão.
Neste sistema, o ponto \(P=(x,y,z)\) é indicado por três medidas: \(r\) a distância entre \(O=(0,0,0)\) e o ponto \(P=(x,y,z)\), \(u\) o ângulo formado entre projeção no plano do chão do segmento \(OP\) e o Eixo \(OX\) indicado positivamente e \(v\) o ângulo formado entre o segmento \(OP\) e o Eixo \(OZ\) indicado positivamente.
Enquanto o ângulo \(u\) pode ser tal que \(0\leq u<2\pi\) pois a projeção de \(OP\) sobre o plano do chão pode dar uma volta completa, o ângulo \(v\) pertence ao intervalo \(0 \leq v<\pi\), pois este ângulo chega a ser no máximo um ângulo raso.
Assim, um ponto \(P=(x,y,z)\) é indicado por \(P=(r,u,v)\), onde
Há um Sistema Geográfico Posicional de identificação na face da Terra que leva em consideração outros objetos como: meridianos e paralelos, para indicar a longitude e a latitude do ponto na superfície do globo terrestre. Como uma circunferência de círculo tem um arco com \(360^0\), os cientistas dividiram \(360^0\) por \(24\operatorname{h}\) para obter \(15^0\) por hora.
Consideraram a planificação do globo terrestre traçaram linhas imaginárias geodésicas (verticais) sobre a superfície terrestre, que passam pelos polos Norte e Sul e são denominadas meridianos e a referência básica foi a cidade de Greenwich (Inglaterra) que tem o meridiano \(0\).
Fizeram o mesmo com linhas horizontais na planificação e denominaram tais linhas de paralelos. Hoje podemos observar a localização de uma cidade em qualquer lugar do mundo situada no meridiano \(M\) e paralelo \(P\). Claramente temos que cada local está localizado com a cota \(z\) acima do nível do mar, razão pela qual este sistema pode ser indicado como:
Exemplo: O Terminal Rodoviário da cidade XYZ está localizada na posição \((a,b,c)\). Resolva este problema para a sua cidade.
Você já pensou que ao invés de estar num sistema tridimensional como dissemos antes, talvez você esteja num sistema tetradimensional? Na verdade, vivemos num sistema \(R^4\), pois são necessárias \(4\) coordenadas para indicar a posição relativa de um objeto.
Um objeto colocado às \(12:00\operatorname{h}\) no ponto \((3,4,12)\) não é o mesmo objeto colocado às \(13:00\operatorname{h}\) no mesmo ponto \((3,4,12)\).
Para entender melhor, exija um sacrifício de uma pessoa e coloque a mesma parada (se possível, estática) às \(12:00\operatorname{h}\) em um local de sua casa, que tomamos como o ponto \((3,4,12)\). Você espera que esta pessoa seja a mesma pessoa às \(13:00\operatorname{h}\)? É óbvio que aconteceram modificações no comportamento da mesma, mesmo que você não tenha observado.
Você acha que uma árvore plantada em um local por mais de \(20\) anos é a mesma a cada instante? O corpo humano também é composto de átomos que se movem a uma velocidade que não pode ser visualizada, assim, um corpo está em constante movimento e dependendo dos estímulos recebidos das mais diversas fontes, terá alteração, logo não será o mesmo de antes, nem mesmo \(1\) segundo depois!
Já observamos como é possível estender o conceito de espaço a algo além daquilo que possamos desenhar ou conceber geometricamente.
Quando o governo calcula a inflação ocorrida em um certo período, ele afirma que a inflação \(inf\) é uma função que depende de várias variáveis como \(X\) (xuxu), \(A\) (abacate), \(Co\) (Condomínio), \(Ca\) (Carro), \(E\) (Escola), \(I\) (Indecisão do governo), \(D\) (Dívida Interna), \(E\) (etc) e outros objetos. Uma pessoa normal colocaria o Xuxu ou limão como um dos itens para a análise e cálculo da inflação?
Isto significa a um matemático sério, que
e é logico que esta função é bem construída e consistente, mas, você não consegue desenhar o gráfico da mesma nesse ambiente tridimensional que você vive. Isto indica que você está trabalhando em um sistema com as \(8\) coordenadas \((X,A,Co,Ca,E,I,D,E)\), logo o gráfico desta função deve estar em \(R^9\). Para obter seriamente a inflação você precisa medir o comportamento de \(n\) (ou centenas de) variáveis e não somente de poucas, como faz o governo hoje.
Isto não quer dizer que a inflação é uma função construída para enganar o povo. Na verdade, o que deveria ser feito para obter a inflação é a considerar as principais variáveis que causam esta alteração no Sistema Financeiro Nacional, mas uma coisa é óbvia: Muitas vezes o governo não leva em consideração fatores que realmente distorcem o processo inflacionário pois não considera nesses cálculos os fatores que geram tal inflação mas alguns elementos da cesta básica que nada tem a ver com a realidade nacional e alguns poucos outros.
Com este exemplo, eu espero ter dado uma ideia sobre o significado do espaço \(R^n\), que é uma mera extensão dos espaços bidimensional e tridimensional, nossos velhos conhecidos.
A nossa capacidade ainda é pequena para entender um espaço multidimensional \(R^n\).
Observemos a passagem bíblica citada no início deste trabalho, que nos diz que existem outros ambientes (espaços) que o senso de um homem comum é incapaz de conceber.
Ha uma necessidade do ser humano alterar o seu comportamento para ver algo além das coisas comuns desse mundo. Há muitas pessoas que olham para uma parede de uma casa e não conseguem ver nada além dela. Você já se imaginou num quarto de uma casa, pensando exatamente que estivesse no quarto vizinho com todas as coisas boas ou ruins que o mesmo possui? Será que você é daqueles que percorre o trajeto de sua casa até o seu serviço sempre usando o mesmo caminho? Você já pensou que na outra rua existem (coisas ruins e) coisas belas que você nunca percebeu porque nunca passou por lá?
Exercício de criatividade sobre o R5: Pense em uma pessoa no espaço \(R^3\) e simule a possibilidade dessa pessoa ter duas outras características como idade e beleza. Observamos aqui que este indivíduo já é um ente pentadimensional e talvez não tivesse percebido isto, pois além de ser tridimensional, ele tem pelo menos \(2\) outras características.
Exercício para você: Simule as características principais do ser humano e considere tais objetos como coordenadas de um sistema cartesiano.
Exercício para o governo: Tome a conta do Condomínio do local onde você mora, faça uma medida mês a mês dos custos de cada item e monte uma função com várias variáveis para determinar o custo mensal condomínio. Analise a variação entre dois meses consecutivos e observe que a inflação de seu condomínio não tem absolutamente nada a ver com a inflação que o governo utiliza para referência de detalhes econômicos nacionais.