Matemática Essencial :: Geometria :: Geometria Analítica Plana

Consideremos um plano e duas retas perpendiculares, sendo uma delas horizontal e a outra vertical. A horizontal denominada eixo das abscissas (eixo \(OX\)) e a vertical denominada eixo das ordenadas (eixo \(OY\)). Os pares ordenados de pontos do plano são indicados na forma \(P=(x,y)\) onde \(x\) é a abscissa do ponto \(P\) e \(y\) é a ordenada do ponto \(P\).

Na verdade, \(x\) representa a distância entre as duas retas verticais indicadas no gráfico e \(y\) é a distância entre as duas retas horizontais indicadas no gráfico.

\[\begin{array}{c|c} \text{Segundo quadrante} & \text{Primeiro quadrante} \\ \hline \text{Terceiro quadrante} & \text{Quarto quadrante} \end{array}\]

O sistema de coordenadas ortogonais é conhecido por sistema de coordenadas cartesianas e tal sistema possui quatro regiões denominadas quadrantes.

Quadrante	sinal de x	sinal de y	Ponto
Origem	não tem	não tem	(0,0)
Primeiro	+	+	(2,4)
Segundo	+	-	(-4,2)
Terceiro	-	-	(-3,-7)
Quarto	+	-	(7,-2)

2 Distância entre dois pontos do plano cartesiano

Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa \(a\) é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos \(b\) e \(c\), isto é, \(a^2=b^2+c^2\).

Dados \(P=(x_1,y_1)\) e \(Q=(x_2,y_2)\), obtemos a distância entre os pontos \(P\) e \(Q\), traçando as projeções destes pontos sobre os eixos coordenados, obtendo um triângulo retângulo e usando o Teorema de Pitágoras.

O segmento \(PQ\) é a hipotenusa do triângulo retângulo \(PQR\), o segmento \(PR\) é um cateto e o segmento \(QR\) é o outro cateto, logo:

\[[d(P,Q)]^2 = [d(P,R)]^2 + [d(Q,R)]^2\]

\[\begin{align} [d(P,R)]^2 &= |x_1-x_2|^2 = (x_1-x_2)^2 \\ [d(Q,R)]^2 &= |y_1-y_2|^2 = (y_1-y_2)^2 \end{align}\]

\[d(P,Q)= \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\]

\[d(P,Q)= \sqrt{(2-5)^2+(3-12)^2} = \sqrt{90}\]

\[d(O,P)= \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2} = \sqrt{x^2+y^2}\]

3 Ponto médio de um segmento

Aplicação: Dados os pares ordenados \(P=(x_1,y_1)\) e \(Q=(x_2,y_2)\), podemos obter o ponto médio \(M=(x_m,y_m)\) que está localizado entre os pontos \(P\) e \(Q\).

O ponto médio é obtido com o uso da média aritmética, uma vez para as abscissas e outra vez para as ordenadas.

\[x_m = \frac12(x_1+x_2),\quad y_m = \frac12(y_1+y_2)\]

Nota: O centro de gravidade de um triângulo plano cujas coordenadas dos vértices são \(A=(x_1,y_1)\), \(B=(x_2,y_2)\) e \(C=(x_3,y_3)\), é:

\[G=(\frac13(x_1+x_2+x_3), \frac13(y_1+y_2+y_3))\]

4 Retas no plano cartesiano

Na geometria euclidiana, dados dois pontos \(P_1=(x_1,y_1)\) e \(P_2=(x_2,y_2)\) no plano cartesiano, existe uma única reta que passa por esses pontos. Para obter a equação da reta existe a necessidade de duas informações e dois conceitos importantes são: o coeficiente angular da reta e o coeficiente linear da reta.

Coeficiente angular de uma reta: Dados os pontos \(P_1=(x_1,y_1)\) e \(P_2=(x_2,y_2)\), com \(x_1 \neq x_2\), o coeficiente angular \(k\) da reta que passa por estes pontos é o número real

\[k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

Significado geométrico do coeficiente angular: O coeficiente angular de uma reta é o valor da tangente do ângulo \(\alpha\) que a reta faz com o eixo das abscissas.

Se o ângulo está no primeiro quadrante ou no terceiro quadrante, o sinal do coeficiente angular é positivo e se o ângulo está no segundo quadrante ou no quarto quadrante, o sinal do coeficiente angular é negativo.

Declividade de uma reta: A declividade indica o grau de inclinação de uma reta. O fato do coeficiente angular ser maior que outro indica que a reta associada a este coeficiente cresce mais rapidamente do que a outra reta. Se um coeficiente angular é negativo e o módulo deste é maior que o módulo de outro coeficiente, temos que a reta associada ao mesmo decresce mais rapidamente que a outra.

Coeficiente linear de uma reta é a ordenada (altura) \(w\) do ponto \((0,w)\) onde a reta corta o eixo das ordenadas.

Retas horizontais e verticais: Se uma reta é vertical ela não possui coeficiente linear e coeficiente angular. Assim, a reta é indicada apenas pela abscissa do ponto onde ela corta o eixo \(OX\), que é \(x=a\).

Se uma reta é horizontal, o seu coeficiente angular é nulo e a equação desta reta é dada por \(y=b\), ordenada do ponto onde está reta corta o eixo \(OY\).

5 Equação reduzida da reta

Dado o coeficiente angular \(k\) e o coeficiente linear \(w\) de uma reta, podemos obter a equação da reta através de sua equação reduzida dada por:

Reta que passa por um ponto e tem coeficiente angular dado: Uma reta que passa por um ponto \(P=(x_0,y_0)\) e tem coeficiente angular \(k\), é dada por:

\[y-y_0 = k (x-x_0)\]

Reta que passa por dois pontos: Se dois pontos \((x_1,y_1)\) e \((x_2,y_2)\) não estão alinhados verticalmente, podemos obter a equação da reta que passa por estes pontos com:

\[y-y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)\]

6 Retas paralelas e perpendiculares

Retas paralelas: Duas retas no plano são paralelas se ambas são verticais ou se têm os mesmos coeficientes angulares.

Retas perpendiculares: Duas retas no plano são perpendiculares se uma delas é horizontal e a outra é vertical, ou, se elas têm coeficientes angulares \(k\) e \(m\) satisfazendo \(k m=-1\).

7 Equação geral da reta

8 Distância de um ponto a uma reta no plano

Seja um ponto \(P=(x_0,y_0)\) e uma reta \(r\) no plano definida por \(ax+by+c=0\).

A distância \(d=d(P,r)\) do ponto \(P\) à reta \(r\) pode ser obtida pela fórmula:

\[d(P,r) = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

\[d(P,r) = \frac{|5(0)+12(0)+25|}{\sqrt{5^2+12^2}} = \frac{25}{13}\]

9 Área de um triângulo no plano cartesiano

Dado um ponto \((x_1,y_1)\) localizado fora de uma reta que passa pelos pontos \((x_2,y_2)\) e \((x_3,y_3)\), podemos calcular a área do triângulo cujos vértices são estes três pontos, bastando para isto determinar a medida da base do triângulo que é a distância entre \((x_2,y_2)\) e \((x_3,y_3)\) e a altura do triângulo que é a distância de \((x_1,y_1)\) à reta que contém os outros dois pontos.

Como o processo é complicado, apresentamos um procedimento equivalente muito bonito, simples e fácil de memorizar.

A área do triângulo é dada pela metade do valor absoluto do determinante da matriz indica pela expressão:

\[A = \frac12 \left| \det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix}\right| = \frac12 \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\]

Exemplo: A área do triângulo cujos vértices são \((1,2)\), \((3,4)\) e \((9,2)\) é igual a \(8\), pois:

\[A = \frac12 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 9 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 8\]

Colinearidade de 3 pontos no plano Três pontos no plano, \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\) e \((x_3,y_3)\) são colineares se pertencem à mesma reta.

Um processo simples sugere que estes três pontos formem um triângulo de área nula, assim basta verificar que o determinante seguinte deve ser nulo.

\[d = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\]

\[d = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0\]

10 Circunferências no plano

Do ponto de vista da geometria euclidiana, uma circunferência com centro no ponto \((a,b)\) de um plano e tendo raio \(r\), é o lugar geométrico de todos os pontos \((x,y)\) deste plano que estão localizados à mesma distância \(r\) do centro \((a,b)\).

\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\]

Disco circular é a região que contém a circunferência e todos os pontos contidos no interior da circunferência.

Exemplo: A equação da circunferência com centro em \((2,3)\) e raio \(r=8\) é:

\[(x-2)^2 + (y-3)^2 = 8^2\]

A equação da circunferência centrada na origem \((0,0)\) e raio \(r\), recebe o nome de forma canônica da circunferência e é dada por:

Equação geral da circunferência: Dada a equação \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), podemos desenvolver a mesma para obter a forma geral da circunferência:

\[x^2+y^2+Ax+By+C=0\]

Exemplo: A equação geral da circunferência centrada em \((2,3)\) e raio \(r=8\) é:

\[x^2+y^2-4x-6y-51=0\]

Equação da circunferência com centro em um ponto e passando em outro: Dado o centro \(O=(a,b)\) da circunferência e um outro ponto \(Q=(x_0,y_0)\) que pertence à circunferência, pode-se obter o raio da mesma através da distância entre \(O\) e \(Q\) e utilizar a equação da reta normal à circunferência para se obter a sua equação.

Exemplo: A circunferência centrada em \((3,5)\) que passa em \((8,16)\) tem raio tal que:

\[r^2 = (8-3)^2 + (16-5)^2 = 25+121 = 146\]

\[(x-3)^2 + (y-5)^2 = 146\]

Equação da circunferência que passa por 3 pontos: Quando conhecemos três pontos da circunferência, podemos utilizar a equação geral da circunferência para obter os coeficientes \(A\), \(B\) e \(C\) através de um sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas.

Exemplo: Seja uma circunferência que passa pelos pontos \((-2,1)\), \((1,4)\) e \((-3,2)\). Dessa forma, utilizando a equação geral da circunferência:

\[x^2 +y^2 +A x +B y +C = 0\]

\[\begin{matrix} (-2)^2 + (1)^2 + A(-2) + B(1) + C &= 0 \\ ( 1)^2 + (4)^2 + A( 1) + B(4) + C &= 0 \\ (-3)^2 + (2)^2 + A(-3) + B(2) + C &= 0 \end{matrix}\]

\[\begin{matrix} -2A+1B+1C &= -5 \\ +1A+4B+1C &= +5 \\ -3A+2B+1C &= 13 \end{matrix}\]

e com a Regra de Cramer, podemos calcular os valores de \(A\), \(B\) e \(C\) e assim a equação geral desta circunferência toma a forma:

\[x^2 + y^2 + (\quad)x + (\quad)y + (\quad) = 0\]

11 Relações importantes no plano cartesiano

Uma relação em um plano é qualquer subconjunto deste plano, mas as mais importantes relações, do ponto de vista prático, são as que podem ser representadas por linhas, como: retas, parábolas, circunferências, elipses, hipérboles.

Muitos confundem os nomes das linhas que envolvem regiões planas com as próprias regiões. Vamos colorir algumas regiões fechadas para dar mais destaque às curvas que as contém, que são as relações matemáticas.

12 Seções cônicas

Todas as curvas apresentadas acima, podem ser obtidas através de seções (cortes planos) de um cone circular reto com duas folhas como aquele apresentado abaixo. Tais curvas aparecem como a interseção do cone com um plano apropriado.

\[\begin{array}{ll} \text{Nome} & \text{Equação} \\ \hline \text{Ponto} & x^2+y^2=0 \\ \text{Reta} & y=kx+w \\ \text{Parábola} & y=ax^2+bx+c \\ \text{Circunferência} & x^2+y^2=r^2, (r>0) \\ \text{Elipse} & \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \\ \text{Hipérbole} & \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 \\ \text{Duas retas} & \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=0 \\ \hline \end{array}\]

Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

1 Eixos Coordenados