Matemática Essencial :: Geometria

Teorema de Heron: Se um triângulo possui os lados medindo \(a\), \(b\) e \(c\) e o seu perímetro é indicado por \(2p=a+b+c\), então a área da região triangular é dada por

\[A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

Demonstração: Seja o triângulo com a base \(a\) e os outros lados com \(b\) e \(c\), os quais têm projeções ortogonais, indicadas por \(m\) e \(n\) sobre o lado \(a\).

Tomando \(h\) como a medida da altura do triângulo, relativa ao lado \(a\), a área da região triangular é obtida por \(A=\frac12 ah\). Temos a formação de mais dois pequenos triângulos retângulos e com eles, podemos extrair as três relações:

\[\begin{align} b^2 &= m^2+h^2 \\ c^2 &= n^2+h^2 \\ a &= m+n \end{align}\]

Subtraindo membro a membro a segunda relação da primeira e usando a terceira, obtemos:

\[b^2-c^2 = m^2-n^2 = (m+n)(m-n) = a(m-n)\]

\[\begin{align} m + n &= a \\ m - n &= (b^2-c^2)/a \end{align}\]

\[\begin{align} m &= \frac1{2a}(a^2+b^2-c^2) \\ n &= \frac1{2a}(a^2+c^2-b^2) \end{align}\]

\[\begin{align} a+b-c &= a+b+c-2c = 2p-2c = 2(p-c) \\ a+c-b &= a+b+c-2b = 2p-2b = 2(p-b) \\ b+c-a &= a+b+c-2a = 2p-2a = 2(p-a) \end{align}\]

\[\begin{align} 4a^2 h^2 &= 4a^2(b^2-m^2) \\ &= 4a^2(b+m)(b-m) \\ &= 4a^2[b+(a^2+b^2-c^2)/2ab)][b-(a^2+b^2-c^2)/2ab)] \\ &= (2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2) \\ &= [(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] \\ &= (a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) \\ &= 2p\cdot 2(p-a)\cdot 2(p-b)\cdot 2(p-c) \\ &= 16p(p-a)(p-b)(p-c) \end{align}\]

\[A^2 = \frac14 a^2 h^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)\]

\[A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

Exemplo: Para obter a área da região triangular cujos lados medem \(35\operatorname{cm}\), \(45\operatorname{cm}\) e \(50\operatorname{cm}\), basta tomar \(a=35\), \(b=45\), \(c=50\), para obter \(2p=35+45+50\), assim, \(p=65\). Desse modo:

\[\begin{align} A &= \sqrt{65(65-35)(65-45)(65-50)} \\ &= \sqrt{585000} = 764,85\operatorname{cm}^2 \end{align}\]

2 Cálculo da área de região triangular usando os lados

Para calcular a área da região triangular com lados medindo \(a\), \(b\) e \(c\), devemos inserir medidas positivas nas caixas próprias e clicar no botão ÁREA.

Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

1 Fórmula de Heron

2 Cálculo da área de região triangular usando os lados