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A esfera no espaço \(R^3\) é uma superfície muito importante em função de suas aplicações a problemas da vida.
Do ponto de vista matemático, a esfera no espaço \(R^3\) é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela mesma, razão pela qual muitas pessoas calculam o volume da esfera.
Na maioria dos livros elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se fosse um sólido, herança da Geometria Euclidiana.
Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que sejam entendidas pela coletividade. De um ponto de vista mais cuidadoso, a esfera no espaço \(R^3\) é um objeto matemático parametrizado por duas dimensões, o que significa que podemos obter medidas de área e de comprimento mas o volume tem medida nula.
Há outras esferas, cada uma definida no seu respectivo espaço \(n\)-dimensional. Um caso interessante é a esfera na reta unidimensional:
Por exemplo, a esfera canônica no plano cartesiano é:
é conhecida como uma circunferência de raio unitário centrada na origem do plano cartesiano.
Um problema fundamental para empresas que armazenam líquidos em tanques esféricos, cilíndricos ou esféricos e cilíndricos é a necessidade de realizar cálculos de volumes de regiões esféricas usando a altura do líquido colocado na mesma.
Por exemplo, quando um tanque é esférico, ele possui um orifício na parte superior (polo Norte) por onde é introduzida verticalmente uma vara com indicadores de medidas. Ao retirar a vara, observa-se o nível de líquido que fica impregnado na vara e esta medida corresponde à altura de líquido contido na região esférica. Este não é um problema trivial, como observamos pelos cálculos realizados na sequência.
A seguir apresentamos elementos esféricos básicos e algumas fórmulas para cálculos de áreas na esfera e volumes em um sólido esférico.
A esfera no espaço \(R^3\) é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados a uma mesma distância denominada raio de um ponto fixo chamado centro. Uma notação para a esfera com raio unitário centrada na origem de \(R^3\) é:
Uma esfera de raio unitário centrada na origem de \(R^4\) é definida por:
Você conseguiria imaginar espacialmente tal esfera? Do ponto de vista prático, a esfera pode ser pensada como a película fina que envolve um sólido esférico.
Em uma melancia esférica, a esfera poderia ser considerada a película verde (casca) que envolve a fruta.
É comum encontrarmos na literatura básica a definição de esfera como sendo o sólido esférico, mas não se deve confundir estes conceitos. Se houver interesse em aprofundar os estudos desses detalhes, deve-se tomar algum bom livro de Geometria Diferencial que é a área da Matemática que trata do detalhamento de tais situações.
O disco esférico é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados na casca e também dentro da esfera. Do ponto de vista prático, o disco esférico pode ser pensado como a reunião da película fina que envolve o sólido esférico com a região sólida dentro da esfera.
Em uma melancia esférica, o disco esférico pode ser visto como toda a fruta.
Quando indicamos o raio da esfera pela letra \(r\) e o centro da esfera pelo ponto \((0,0,0)\), a equação da esfera é dada por:
e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior, isto é:
Quando indicamos o raio da esfera pela letra \(r\) e o centro da esfera pelo ponto \((x_0,y_0,z_0)\), a equação da esfera é dada por:
e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior, isto é, o conjunto de todos os pontos \((x,y,z)\in R^3\) tal que:
Da forma como está definida, a esfera centrada na origem pode ser construída no espaço euclidiano \(R^3\) de modo que o centro da mesma venha a coincidir com a origem do sistema cartesiano \(R^3\), e podemos fazer passar os eixos \(OX\), \(OY\) e \(OZ\), pelo ponto \((0,0,0)\).
Seccionando a esfera \(x^2+y^2+z^2=r^2\) com o plano \(z=0\), obtemos duas superfícies semelhantes: o hemisfério Norte (boca para baixo
) que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota \(z\) é não negativa e o hemisfério Sul (boca para cima
) que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota \(z\) não é positiva.
Seccionando a esfera \(x^2+y^2+z^2=r^2\) por um plano vertical que passa em \((0,0,0)\), por exemplo, o plano \(x=0\), obtemos uma circunferência maximal \(C\) da esfera que é uma circunferência contida na esfera cuja medida do raio coincide com a medida do raio da esfera, construída no plano \(YZ\) e a equação desta circunferência é:
sendo que esta circunferência intersecta o eixo \(OZ\) nos pontos de coordenadas \((0,0,r)\) e \((0,0,-r)\). Existem infinitas circunferências maximais em uma esfera.
Rodando esta circunferência maximal \(C\) em torno do eixo \(OZ\), obtemos a esfera através da rotação e por este motivo, a esfera é uma superfície de revolução (de rotação).
Tomando um arco contido na circunferência maximal cujas extremidades são os pontos \((0,0,r)\) e \((0,p,q)\) tal que \(p^2+q^2=r^2\) e rodando este arco em torno do eixo \(OZ\), obtemos uma superfície denominada calota esférica.
Na prática, as pessoas usam o termo calota esférica para representar tanto a superfície como o sólido geométrico envolvido pela calota esférica. Para evitar confusões, usarei calota esférica em negrito para o sólido e sem negrito para a superfície normal.
A partir da rotação, construímos duas calotas em uma esfera, de modo que as extremidades dos arcos sejam \((0,0,r)\) e \((0,p,q)\) com \(p^2+q^2=r^2\) no primeiro caso (calota Norte) e no segundo caso (calota Sul) as extremidades dos arcos \((0,0,-r)\) e \((0,r,-s)\) com \(r^2+s^2=r^2\) e retirarmos estas duas calotas da esfera, teremos uma superfície de revolução denominada zona esférica.
De um ponto de vista prático, vamos considerar uma melancia esférica. Com uma faca, cortamos uma calota esférica superior e uma calota esférica inferior. O que sobra da melancia é uma região sólida envolvida pela zona esférica, algumas vezes denominada zona esférica.
Consideremos uma calota esférica com altura \(h_1\) e raio da base \(r_1\) e retiremos desta calota uma outra calota esférica com altura \(h_2\) e raio da base \(r_2\), de tal modo que os planos das bases de ambas sejam paralelos. A região sólida determinada pela calota maior menos a calota menor recebe o nome de segmento esférico com bases paralelas.
No que segue, usamos a palavra esfera tanto para o sólido como para a superfície, calota esférica para o sólido envolvido pela calota esférica, a letra minúscula \(r\) para o raio da esfera sobre a qual estamos realizando os cálculos, \(V\) indica o volume, \(A(lateral)\) indica a área lateral e \(A(total)\) indica a área total.
Estas fórmulas podem ser obtidas como aplicações do Cálculo Diferencial e Integral, mas estamos limitados a apresentar um processo matemático para calcular a fórmula do cálculo do volume da calota esférica em função da altura da mesma.
Consideremos a esfera centrada no ponto \((0,0,r)\) com raio \(r\).
A equação desta esfera é dada por:
A altura da calota é indicada pela letra \(h\) e o plano que coincide com o nível do líquido (cota) está indicado por \(z=h\). A interseção entre a esfera e este plano é dado pela circunferência
Vamos obter o volume da calota esférica com a altura \(h\) menor ou igual ao raio \(r\) da esfera, isto é, \(h\) pertence ao intervalo \([0,r]\) e neste caso podemos explicitar o valor de \(z\) em função de \(x\) e \(y\) para obter:
Para simplificar as operações algébricas, vamos usar a letra \(p\) para indicar:
A região circular \(S\) de integração é descrita por \(x^2+y^2\leq r^2\) ou em coordenadas polares através de:
A integral dupla que representa o volume da calota em função da altura \(h\) é dada por:
ou seja
Escrita em Coordenadas Polares, esta integral fica na forma:
Após integrar na variável \(t\), podemos separá-la em duas integrais:
ou seja:
Com a mudança de variável \(u=r^2-m^2\) e \(du=(-2m)dm\) podemos reescrever:
Após alguns cálculos obtemos:
e assim temos a fórmula para o cálculo do volume da calota esférica no hemisfério Sul com a altura \(h\) no intervalo \([0,r]\), dada por:
Se o nível do líquido mostra que a altura \(h\) já ultrapassou o raio \(r\) da região esférica, então a altura \(h\) está no intervalo \([r,2r]\):
Usamos uma propriedades de simetria da esfera que afirma que o volume da calota superior assim como da calota inferior somente depende do raio \(r\) da esfera e da altura \(h\) e não da posição relativa ocupada.
Aproveitamos o resultado do cálculo utilizado para a calota do hemisfério Sul. Vamos tomar a altura tal que: \(h=2r-d\), onde \(d\) é a altura da região que não contém o líquido. Como o volume desta calota vazia é dado por:
e como \(h=2r-d\), então para \(h\) no intervalo \([r,2r]\), podemos escrever o volume da calota vazia em função de \(h\):
Para obter o volume ocupado pelo líquido, em função da altura, basta tomar o volume total da região esférica e retirar o volume da calota vazia, para obter:
que pode ser simplificada para:
Independente do fato que a altura \(h\) esteja no intervalo \([0,r]\) ou \([r,2r]\) ou de uma forma geral em \([0,2r]\), o cálculo do volume ocupado pelo líquido é dado por:
Entre com os dados nas caixas com fundo cinza e clique em um dos botões abaixo: