Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Material desta página

1 Introdução

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Tomaremos ponto, reta e plano como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.

2 Planos e retas

Um plano é um subconjunto do espaço R^3 de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto, podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto.

Duas retas (segmentos de reta) no espaço \(R^3\) podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.

Retas paralelas: são retas que não possuem interseção e estão em um mesmo plano.

Retas concorrentes são retas que têm um ponto em comum. As retas perpendiculares são retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto.

Retas reversas são retas que não têm interseção entre elas e que não são paralelas. Isto significa que elas estão em planos diferentes. Pode-se pensar de uma reta \(r\) desenhada no chão de uma casa e uma reta \(s\), não paralela a \(r\), desenhada no teto dessa mesma casa.

3 Posições de pontos, retas e planos

Um plano no espaço R^3 pode ser determinado por qualquer uma das situações:

1. Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta).
2. Um ponto e uma reta ou um segmento de reta que não contém o ponto.
3. Um ponto e um segmento de reta que não contém o ponto.
4. Duas retas paralelas que não se sobrepõe.
5. Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe.
6. Duas retas concorrentes.
7. Dois segmentos de reta concorrentes.

4 Posições de retas e planos

Há duas relações importantes, relacionando uma reta e um plano no espaço cartesiano tridimensional.

Reta paralela a um plano: Uma reta \(r\) é paralela a um plano no espaço \(R^3\), se existe uma reta \(s\) inteiramente contida nesse plano que é paralela à reta dada.

Reta perpendicular a um plano: Uma reta é perpendicular a um plano no espaço \(R^3\), se ela intersecta o plano em um ponto \(P\) e todo segmento de reta contido no plano que tem \(P\) como uma de suas extremidades é perpendicular à reta.

5 Distância de um ponto a um plano

Seja \(P\) um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto \(P\) ao plano é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade é o ponto \(P\) e a outra extremidade é o ponto onde ocorre a interseção entre o plano e o segmento.

Se o ponto \(P\) está no plano, a distância é nula.

6 Posições entre planos

1. Planos concorrentes no espaço \(R^3\) são planos cuja interseção é uma reta.
2. Planos paralelos no espaço \(R^3\) são planos que não tem interseção.
3. Diedro: é quando temos uma estrutura formada por dois planos concorrentes.
4. Ângulo diedral: é um ângulo formado por dois planos concorrentes. Para obter o ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes.
5. Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (tem \(90\) graus).