Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Geometria
Cones
Camila R.Minaki
Ulysses Sodré

Material desta página

1 O conceito de cone

Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.

Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto \(P\) (vértice) e a outra num ponto qualquer da região.

2 Elementos do cone

Em um cone, podem ser identificados vários elementos:

  1. Vértice de um cone é o ponto \(P\), onde concorrem todos os segmentos de reta.
  2. Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.
  3. Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice \(P\) e pelo centro da base.
  4. Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.
  5. Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.
  6. Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em \(P\) e a outra na curva que envolve a base.
  7. Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.
  8. Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

3 Classificação do cone

Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. A seguir apresentamos um cone oblíquo.

Nota: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.

4 Observações sobre um cone circular reto

Um cone circular reto é denominado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone.

Na figura anterior, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles \(VAB\).

Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se \(g\) é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável no cone: \(g^2=h^2+r^2\), que pode ser vista na figura seguinte:

A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de \(g\) (medida da geratriz) e \(r\) (raio da base do cone):

\[A(lat) = \pi r g\]

A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de \(g\) (medida da geratriz) e \(r\) (raio da base do cone):

\[A(tot) = \pi r g + \pi r^2 = \pi r(g+r)\]

5 Cones Equiláteros

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

A área da base do cone é dada por:

\[A(base) = \pi r^2\]

Pelo Teorema de Pitágoras temos que \((2r)^2=h^2+r^2\), logo \(h^2=4r^2-r^2=3r^2\), assim:

\[h = r \sqrt{3}\]

Como o volume do cone é obtido por \(1/3\) do produto da área da base pela altura, então:

\[V = \frac13 \pi \sqrt{3} r^3\]

Como a área lateral pode ser obtida por:

\[A(lat) = \pi r g = \pi r 2r = 2 \pi r^2\]

então a área total será dada por:

\[A(tot) = 3\pi r^2\]

6 Exercícios resolvidos

  1. A geratriz de um cone circular reto (figura rosa abaixo) mede \(20\operatorname{cm}\) e forma um ângulo de \(60^0\) com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone.

    Como \(\sin(60^0)=h/20\), então \(\sqrt{3}/2=h/20\) e \(h=10\sqrt{3}\)cm. Como \(V=\frac13(A(base)h\), então:

    \[V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi 10^2 10\sqrt{3}=\frac13 1000\sqrt{3}\pi\operatorname{cm}^3\]

    Se \(r=10\operatorname{cm}\), \(g=20\operatorname{cm}\) e \(A(lat)=\pi r g\), escrevemos:

    \[A(lat) = \pi r g = \pi(10)(20) = 200\pi\operatorname{cm}^2\]

    logo

    \begin{align} A(tot) &= A(lat)+A(base)\\ &= \pi r g+\pi r^2 \\ &= \pi r(r+g) \\ &= \pi 10(10+20) \\ &= 300\pi\operatorname{cm}^2 \end{align}
  2. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede \(2\operatorname{cm}\) e um dos ângulos mede \(60^0\). Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtém-se um cone. Qual é o seu volume? Como \(\sin(60^0)=r/2\), segue que: \(\sqrt{3}/2=r/2\), logo \(r=\sqrt{3}\operatorname{cm}\). Substituindo os valores de \(g\) e de \(r\), na relação \(g^2=h^2+r^2\), obtemos \(h=1\)cm, logo

    \[V = \frac13 A(base)h = \frac13\pi r^2h =\frac13\pi 3 =\pi\operatorname{cm}^3\]
  3. Os catetos de um triângulo retângulo medem \(b\) e \(c\), e a sua área mede \(2\operatorname{m}^2\). O cone obtido pela rotação do triângulo em torno do cateto \(b\) tem volume \(16\pi\;m^3\). Vamos obter a medida do cateto \(c\). Como a área do triângulo mede \(2m^2\), segue que: \(\frac12 bc=2\), o que garante que \(bc=4\). Como a área da base é dada por \(A(base)=\pi r^2=\pi c^2\), temos que

    \[V = 16\pi = \frac13\pi c^2 b, \quad c = 12\operatorname{m}\]
  4. As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. Se o prisma tem altura $12 e o volume do prisma é o dobro do volume do cone, obter a altura do cone. Se a altura do prisma é \(h_p=12\), a área \(A\) da base do prisma é igual à área da base do cone, e o voluma do prisma é o dobro do volume do cone, então \(V(prisma)=2V(cone)\). Assim

    \[A h_p = \frac23(A h), \quad 12 A = \frac23 A h, \quad h=18\operatorname{cm}\]
  5. Fulano colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio \(r\) e mesma altura \(h\) da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?

    \[\begin{align} V &= V(cilindro) - V(cone) \\ &= A(base) h - \frac13 A(base) h \\ &= \pi r^2 h - \frac13 \pi r^2 h = \frac23 \pi r^2 h\operatorname{cm}^3 \end{align}\]