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Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.
Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto \(P\) (vértice) e a outra num ponto qualquer da região.
Em um cone, podem ser identificados vários elementos:
Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. A seguir apresentamos um cone oblíquo.
Nota: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.
Um cone circular reto é denominado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone.
Na figura anterior, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles \(VAB\).
Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se \(g\) é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável no cone: \(g^2=h^2+r^2\), que pode ser vista na figura seguinte:
A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de \(g\) (medida da geratriz) e \(r\) (raio da base do cone):
A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de \(g\) (medida da geratriz) e \(r\) (raio da base do cone):
Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.
A área da base do cone é dada por:
Pelo Teorema de Pitágoras temos que \((2r)^2=h^2+r^2\), logo \(h^2=4r^2-r^2=3r^2\), assim:
Como o volume do cone é obtido por \(1/3\) do produto da área da base pela altura, então:
Como a área lateral pode ser obtida por:
então a área total será dada por:
A geratriz de um cone circular reto (figura rosa abaixo) mede \(20\operatorname{cm}\) e forma um ângulo de \(60^0\) com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone.
Como \(\sin(60^0)=h/20\), então \(\sqrt{3}/2=h/20\) e \(h=10\sqrt{3}\)cm. Como \(V=\frac13(A(base)h\), então:
Se \(r=10\operatorname{cm}\), \(g=20\operatorname{cm}\) e \(A(lat)=\pi r g\), escrevemos:
logo
A hipotenusa de um triângulo retângulo mede \(2\operatorname{cm}\) e um dos ângulos mede \(60^0\). Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtém-se um cone. Qual é o seu volume? Como \(\sin(60^0)=r/2\), segue que: \(\sqrt{3}/2=r/2\), logo \(r=\sqrt{3}\operatorname{cm}\). Substituindo os valores de \(g\) e de \(r\), na relação \(g^2=h^2+r^2\), obtemos \(h=1\)cm, logo
Os catetos de um triângulo retângulo medem \(b\) e \(c\), e a sua área mede \(2\operatorname{m}^2\). O cone obtido pela rotação do triângulo em torno do cateto \(b\) tem volume \(16\pi\;m^3\). Vamos obter a medida do cateto \(c\). Como a área do triângulo mede \(2m^2\), segue que: \(\frac12 bc=2\), o que garante que \(bc=4\). Como a área da base é dada por \(A(base)=\pi r^2=\pi c^2\), temos que
As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. Se o prisma tem altura $12 e o volume do prisma é o dobro do volume do cone, obter a altura do cone. Se a altura do prisma é \(h_p=12\), a área \(A\) da base do prisma é igual à área da base do cone, e o voluma do prisma é o dobro do volume do cone, então \(V(prisma)=2V(cone)\). Assim
Fulano colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio \(r\) e mesma altura \(h\) da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?